Робототехника.Фу, Ли, Гонсалес (962794), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Основываясь на полученных выше результатах, можно определить передаточную функцию рассматриваемой системы одного сочленения манипулятора. Поскольку момент на валу двигателя линейно зависит от тока якоря н не зависит от скорости и углового положения, получим т(!) = К,ь',(т'), где К,— коэффициент пропорциональности, имеющий размерность н м/А, Используя закон Кирхгофа для контура якоря, получим )та (!) = 77ата (г) + т а е~ + еь (!)г (5 3 15) где еь — электродвижущая сила, пропорциональная угловой скорости двигателя: еь (у) = Кьбга (!) (5-3-16) а Кь — коэффициент пропорциональности, имеющий размерность В с/рад.
Производя преобразование Лапласа над полу- 230 т„(г)=7,„6 ())+(„6 (!). (5.3-10) По закону сохранения энергии работа, которая производится нагрузкой, приведенной к валу нагрузки тсбм должна равняться работе, приведенной к валу двигателя т"6 . Из этого следует, что В результате выполнецня преобразования Лапласа над уравнением (5.3-13) имеем т(з) = эту,нЕ (3)+ 4,пем(з). (5,3-18) Производя преобразование Лапласа над уравнением (5.3-!4) н подставляя в него значение 7,(з) из уравнения (5,3-17), получим Т (з) = К,Т, (з) = К, ~ (5.3-!9) Приравнивая уравнения (5.3-18) и (5.3.19) и группируя члены, получаем передаточную функцию от напряжения якоря к угловому перемещению вала двигателя (5,3-20) (З) З [а уенда + (да)еп + ратеп) Е + )!а!е>т+ Какь) Так как величина постоянной времени двигателя, обусловленная электрическим взаимодействием, намного меньше ее величины, аэа(т) Вар) Вс(е) тво Рис.
5.5. Передаточная функция разомкнутой системы одного сочленения ма- нипулятора робота. передаточный коэффициент двигателя и Т Р / оа)е>г + Кадь а постоянная времени двигателя. обусловленной механическими факторами, можно пренебречь влиянием индуктивности якоря (, Это позволяет упростить предыдущее уравнение и записать его в виде — — (5.3-2!) г ! а 00 з (зра еп + Яа!ен+ Када) ( + ) где К р! +К К (5.3-22) Поскольку выходом системы управления является угловое перемещение сочленения [6ь(з)], используя уравнение (5.3-4) и его преобразование Лапласа, можно отнести угловое положение сочленения 6ь(з) к напряжению якоря Ра(з), т.
е. и (з) пК а ( ) ( Ка ен+ Ка(еи+ К Кь) Уравнение (5.3-22) является передаточной функцией одного сочленения манипулятора, связывающей прикладываемое напряжение с угловым перемещением сочленения. Блок-схема системы показана на рис. 5.5. и подставляя У,(з) в уравнение (5.3-22), получим передаточную функцию разомкнутой системы, связывающую ошибку управляющего сигнала ]Б(з)] с текущим положением сочленения: (5 3-25) Е (з) 3 (з~аьеп + ~а(ен+ КаКь) После нескольких простых алгебраических преобразований можно получить передаточную функцию замкнутой системы, ив) тщ и 5.3.2. Устройство позиционирования для одного сочленения манипулятора Назначением устройства позиционирования является управление двигателем таким образом, чтобы реальное угловое перемещение сочленения совпадало с желаемым угловым перемещением, определяемым заданной траекторией (см.
гл. 4). Управление основано на выработке сигнала ошибки между заданным и действительным угловыми положениями сочленения для выработки соответствующего управляющего напряжения. Другими словами, прикладываемое к двигателю напряжение прямо пропорционально ошибке между заданным и действительным угловыми перемещениями сочленения; У, (()— К,е (т) К, [В~в (т) — Ев (т)[ где К,— коэффициент передачи обратной связи по положению, имеющий разьлерность В/рад, е(Е) =Ос(т) — Оь(() — ошибка системы, н — передаточное отношение, учитывающее приведение управляющего напряжения к валу двигателя. Из уравнения (5.3-23) следует, что значение действительного углового положения сочленения подается на вход системы для выработки сигнала ошибки. Этот сигнал усиливается на величину коэффициента передачи обратной связи по положению Ка для того, чтобы получить требуемое управляющее напряжение.
Таким образом, мы преобразовали систему одного сочленения робота из разомкнутой системы управления, которая описывалась уравнением (5.3-22), в замкнутую систему управления с помощью блока отрицательной обратной связи (рис. 5.5). Текущее угловое положение сочленения может измеряться с помощью оптического кодирующего устройства или потенциометра. Применяя преобразование Лапласа к уравнению (5.3-23) Уа (з) (5 3 24) К [Оь (з) — ив (з)[ К Е (з) 232 )знс.
5.6, Управление с обратной связью олнпм сочлененнем мванпуляторв. представляющую собой отношение действительного углового перемещения 6ь(з) к желаемому 6ь (з) угловому перемещению: ее (5) о (3) КаКр + Ст (з) з Катед+ з ()та)ен+ КаКь) + КаКр КаКЬ/аа(еи + ((Ка(ен + Какьтет РаУен] з + Какр7Ка)ен Ов (з) (5,3-25) К [и' (Π— О (т)[+ К. [й" ОΠ— й (т)1 К,а ОО+ К„е ОО (5.3-27) 233 Из уравнения (5.3-25) видно, что пропорциональный регулятор для одного сочленения робота представляет собой систему второго порядка, которая является устойчивой, если все коэффициенты системы положительны. Для того чтобы улучшить динамику системы и уменьшить статическую ошибку, можно уве. личить коэффициент передачи обратной связи К, и ввести демпфирование в систему путем учета производной от ошибки позиционирования, Угловая скорость сочленения может измеряться тахометром или вычисляться по соответствующим величинам между двумя последовательными положениями сочленения.
С учетом этого замечания управляющее напряжение двигателя будет прямо пропорционально ошибке позиционирования и ее производной, т. е. пб) (5,3-287 234 255 где К, — коэффициент передачи обратной связи по производной от ошибки, а и†передаточное отношение редуктора, учитывающее приведение управляющего напряжения к валу двигателя. Уравнение (5.3-27) отражает тот факт, что кроме обратной связи по положению организуется обратная связь по скорости.
Для этого измеряется или вычисляется скорость двигателя с последующим умножением ошибки по скорости на коэффициент обратной связи по скорости К.. Поскольку, как это показано в гл. 4, желаемая траектория сочленения может быть описана гладкими полиномиальными функциями, две первые производные которых существуют на интервале ((в, уе], желаемая скорость может быть вычислена по этим полиномиальным функциям и использована для получения ошибки по скорости в контуре обратной связи. Сумма напряжений, полученных с помощью контуров обратной связи, подается на двигатель сочленения.
Соответствующая замкнутая система управления показана на рис. 5.5. Производя преобразование Лапласа над уравнением (5.3-27) и подставляя Г,(з) в уравнение (5.3-22), получим передаточную функцию, связывающую сигнал ошибки (Е(з)] с действительным перемещением сочленения: Б (з) = з (з)за)ем+ )за)еп + КаКь) КаКез + Как з (зйаУеп+ йауеп+ Какя) С помощью простых алгебраических преобразований получаем передаточную функцию замкнутой системы, связывающую действительное угловое перемещение (Вс(з)] с желаемым угловым перемещением 1ге)с.
(з)1: Бс 09 ояп (в) К,К з+К К + бра (з) в оа)еп+ з()7ауеп+ КаКь+ КаКе) + КаКр (5.3-297 Заметим, что при К. = 0 уравнение (5.3-29) переходит в уравнение (5.3-26). Уравнение (5.3-29) описывает систему второго порядка, корень которой расположен на расстоянии — К,/К, в левой полу- плоскости на плоскости аргумента з. Расположение этого корня влияет на величину перерегулирования и на длительность переходного процесса. Система управления манипулятором находится также под действием возмущений [0(з)] от сил веса и центробежных сил, действующих на звено маннпулятора (рис. 5.7), Таням образом, момент, вырабатываемый на валу двигателя, должен компенсировать моменты, теряемые на самом двигателе, моменты, потребляемые нагрузкой, а также моменты, расходуемые на устранение влияния возмущений.
Отсюда с учетом уравнения (5.3-18) получаем Т (з) == ~азу,п + з~,п1 6,„ (з) + 0 (з), (5.3-30) где 0(з) — преобразование Лапласа от возмущающих воздействий, Передаточная функция,'связывающая возмущения с действительным перемещением сочленения, записывается в виде (5.3-31) ~) (з) ) вл [е) в з Ка)ен+ з (йа)еп + Какь + КаКи) + КаКа Используя уравнения (5.3-29) и (5.3-31) и принцип супер- позиции, можно получить действительное перемещение сочле- Рис.
5.7. Блок. схема управления с обратной связью манипулятором при на- личии возмушений. нения с учетом двух входных воздействий Вс(з) и 0(з) в следующем виде: Е,(з) —, '( ' ' ') '(' "„' (), (5.33) з )'аахен + з (~а(ем + КаКь + КаКе) + КаКр Ниже рассмотрена работа описанной замкнутой системы, в частности влияние вида входного воздействия на статическуит ошибку системы и нахождение значений коэффициентов передачи обратной связи по положению и скорости, 5,3.3. Критерии работоспособности и устойчивости Работа замкнутой системы управления второго порядка основана на таких критериях, как обеспечение хорошей динамики, небольшая или нулевая статическая ошибка и малые времена переходных процессов.
Сначала исследуем диапазон значений коэффициентов передачи обратной связи по положению и скорости. В предположении, что возмущения отсутствуют, где ь и гоа — соответственно коэффициент демпфирования и собственная частота колебаний системы. Сравнивая полюсы замкнутых систем, описываемых уравнениями (5.3-29) и (5.3.33), видим, что КаКр оь-„= 7 (5.3-34) 2Ьоь„= Яа(еп + какь + Кака ен" а (5.3-35) Работа системы второго порядка определяется значениями ее собственной частоты колебаний оь, и коэффициентом демпфирования ~, Из соображений безопасности система манипулятора не должна отрабатывать ступенчатое входное воздействие с недостаточным демпфированием, Для обеспечения требуемого в указанном выше смысле режима работы необходимо иметь критическое или надкритическое демпфирование системы, соответствующее значению коэффициента демпфирования, большему или равному единице.
Передаточный коэффициент обратной связи по положению определяется из уравнения (5.3-34) для собственной частоты колебаний системы К "ен а)0 ео У ее Р К, (5.3-36) Подставляя го„из уравнения (5.3-34) в ууввнеиив' (5,3-35), находим, что йа(ен + акь + ака ь/КаКр епйа где равенство дает критическое демпфирование системы, а неравенство соответствует надкритическому демпфированию си- из уравнений (5.3-29) и (5.3-3!) видно, что мы имеем систему второго порядка с нулевым корнем. Наличие нулевого корня в системе второго порядка обычно приводит к более быстрой обработке заданного значения на входе системы и сопровождается большей величиной перерегулирования по сравнению с системой второго порядка без нулевого корня. Временно пренебрегая эффектом, вызываемым наличием нулевого корня, попытаемся определить значения К и К„которые обеспечивают критическое или надкритическое демпфирование системы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
