Робототехника.Фу, Ли, Гонсалес (962794), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Подставлян т(1) из уравнения (5.3-65) в уравнение (3.2-26), имеем 0(й) ц(О+)2(а, Ч)+ с(й) =0.(й)(й" (~)+ + К [4(~(~) — й(~)) + Кр [й~(Г) — ц (~)]) + Ь (4), П)+ с„(П). (5.3-66) В ли 0,(, ) )>,(4( 4)), ср(о) соответственно Равны 0(4)), (2(ч, Ч) и с(п), то уравнение (5.3-66) будет иметь вид (5.3-67) 0 (4)) [е (~) + К,е (1) + К ре (1)) = О, где е(1)Ацб(1) — 6((1) и е(1)йч" Р) — й(~).
Поскольку функция 0(о) всегда несингулярна, Кр и К. могут быть выбраны таким образом, чтобы корни характеристического уравнения (5.3-67) имели отрицательные действительные части, при которых вектор ошибки позиционирования е(() асимптотически стремится к нулю. Вычисление моментов в сочленениях, основанное на использовании уравнений Лагранжа — Эйлера в общем виде, является неэффективным, и поэтому цифровое управление с обратной связью в режиме реального времени, как было показано в работе [226[, невозможно или очень сложно реализовать. По этой причине обычно упрощают уравнение (5.3-65), пренебрегая функцией йр(ц, 4)), зависящей от скорости, и недиагональными элементами матрицы 0,(п), характеризующей ускорение.
В этом 243 случае закон управления приобретает форму т(Г) = г((ад [О, (с()] (с(~(4) + К„[й" (4) — й (!)]+ + К, [ч (г) ч (г)]) + С, (ч). (5 3-63) Моделирование на ЭВМ показало, что указанным ми величинами прене регать в случае движения манипулятора обота с большой скоростью [226]. ора ро ота связанной Аналогичный закон управления маыипуля р б тором ро ота для ой с сочленениями системы координат может быть по- лучен из уравнений движения Ньютона — Эйлера.
Рекурсивный ния закон управления выводится путем подстановки г((4) движения Ньютона — Эйлера для опрсделения необходи- мого момента на каждом двигателе: л л Ь(Г) =ц',Я+ Х К," [[[е(Г) — г)гЯ]+ Е К,'[Че(1) — 4)у(!)1 ! ! (5.3-69) где Кц и К ~— л — соответственно коэффициенты передач об ат- ных связей по произво й р дной и положению для (-го сочленения, о рат- а е (4) =д (Г) — 4) (4) — ошибка позиционирования для (его сочле- нения.
Физическая инте и ета р р ация использования уравнения ) в рекурсивных уравнениях Ньютона — Эйлера может быть представлена следующим образом: ий мо 1, Первый член позволяет выработать желаемый упр щ мент для каждого сочленения, если правильно выбрана математическая модель объекта управления и известны физи- ческие параметры системы. Однако отклонения от желаемой траектории движеыия сочленения будут неизбежны из-за наликто е, чия в контуре сервомехаыизма ошибок от люфтов, тре ду р, неопределенности снл инерции и задержек времеыи, фт в, треыия в ре- 2, Остальные члены в уравнениях движения Ньютона — Эй- лера позволяют выработать корректирующий момент для ком- пенсации малых отклонений от желаемой траектории Приведенный рекурсивный закон управления представляет собой пропорциоыально-дифференциальное управление, компен- сирующее действие сил инерции, реакции и тяжести в маиип лято а. Д, у р .
Для того чтобы обеспечить критическое демпфисти в звеыьях рованис для каждой из подсистем сочленения, матри , матрицы передач обратной связи К, и Кл, которые являются диагональными, мо- гут быть выбраны в соответствии с методами, рассм в разд, 5.3.3 или в работах [229, 180], При свободном движеассмотренными ппи критически дсмпфированных подсистем предпо а дполагается, что вся система ведет себя как критически демпфированная. Таким образом, метод вычисления моментов представляет собой компенсационное управление по прямой связи.
Основы- 244 ваясь на уравнениях движения Лагранжа в Эйлера, записанных в общем виде, управляющие моменты в сочленениях могут быть вычислены за время 0(п4), Аналогичный закон управления, полученный с использованием уравнений движения Ньютона — Эйлера, может быть вычислен за время 0(и), Одним из основных недостатков этого метода управления является зависимость схо димости вектора ошибки позиционирования от динамических коэффициентов 0(с)), Ь(п, и) и с(п) в уравнениях движения. 5.3.5.
Компенсация в системах с цифровым управлением ! ! А! = — = —. 20мл/2л 201л (5.3-70) 5.3.6. Зависимость момента от напряжения Теоретически момент в двигателе постоянного тока с управлением в цепи якоря является линейной функцией напряжения якоря. Однако в действительности зависимость момента от напряжения нелинейыа из-за влияния трения при малых моментах и из-за явлений насыщения при большых моментах. По эгпм причинам численное преобразование вычисленного момента в требуемое входное напряжение обычно уточняется с помощью табличных значений или вычислений по приближенным формулам. Выходное напряжение реализуется, как правило, в виде В дискретных системах управления время характеризуется периодом дискретизации АГ, при этом скорость выражается не в радианах в секунду, а в радианах за период А!.
Это определяет изменение инерции звена на величину [',, где ), — частота дискретизации (1, = 1/АГ), Обычыо используется частота дискретизации 60 Гц с периодом дискретизации 16 мс. Это объясняется ее распространенностью и тем, что большинство манипуляторов имеет механическую резонансную частоту приблизительно в диапазоне 5— 1О Гц. Хотя из дискретной теоремы Найквиста следует, что отношение частоты дискретизации к частоте среза системы для возможности воспроизведения сигнала должно быть по крайней мере не меньше двух, для систем непрерывного времени это отношение увеличивается.
Для того чтобы улучшить работу системы при дискретизации, частота дискретизации должна быть мыого больше собственной частоты манипулятора, и наоборот, период дискретизации должен быть много меньше наименьшей постоянной времени манипулятора. Таким образом, для минимизации погрешностей от дискретизации обычно выбирается частота дискретизации, в 20 раз превышающая частоту среза системы, т.
е. Ширииа амадисе» «аидеаевиие (5.4-3) мемеиит < ай (5.4-4) ,мп (5.4-5) (5.4-6) в = ~ '(1 =11 1а н (5,4-7) 246 сигналов постоянной величины или в виде импульсов различной ширины, Типичная кривая преобразования напряжения в момент показана на рис. 5.9, где Уе — управление двигателем, при котором сочленение перемещается с постоянной скоростью, не вызывая усилий в направлении движения, а Ре — сила или мо- Рис. 6.9. График аависимости напряжение — вращающий момент. мент, которые сочленение развивает при управлении У с отрицательной скоростью, Величины наклонов и их приращения получены из экспериментальных кривых. 5.4.
СУБОПТИМАЛЬНОЕ ПО БЫСТРОДЕР)СТВИЮ УПРАВЛЕНИЕ Для большинства производственных задач желательно перемещать манипулятор с наивысшей скоростью для того, чтобы минимизировать время выполнения заданного технологического цикла, Это вызвало необходимость исследовать задачу оптимального по быстродействию управления для механических манипуляторов [140]. Целью оптимального по быстродействию управления является перемещение рабочего органа манипулятора из начального положения в заданное за минимальное время. Рассмотрим кратко основы оптимального по быстродействию управления на примере шестизвенного манипулятора.
Уравнения движения шестизвенного робота в пространстве состояний можно получить из уравнений движения Лагранжа — Эйлера, Определим вектор состояния манипулятора размерностью 2л и виде х"(1)=[й (1) йг(1)]=[4(1) " 4 (1) 4"'""'""— сХ [„г(1) хт(1)1в-" [х,(1) х,(1), ..., х, (1)[ (5.4-1) и входной вектор управления размерностью и в виде цг(1)=[к (1) (1) " т (1)] (54-2) В пространстве состояний уравнения движения Лагранжа — Эйлера могут быть записаны в виде х (1) = 1 [х (Л, и .')], где 1( ) — непрерывно дифференцируемая вектор-функция размерностью 2пр,' 1.
Поскольку функция Р (с() всегда несингулярна, приведенное уравнение может быть записано следующим р х, (1) = х, (1) н х,(т) =)т [х(1)]+ Ь [х1(1)] и (1), где':$йчх) — вектор-функция размерностью п,'тс,' 1: (а(х) = — 0 '(х,) [Ь(хи х,)+ с(х,)].
Можно показать, что величина Ь(х,) эквивалентна матрице П едполагается, что в начальный момент времени сиредп : стема находится в исходном состоянии х(1,) = х„ а в конечный момент времени система должна находиться в заданном конечном состоянии х(Л) = хп Кроме того, предполагается, что допустимые управляющие воздействия ограничены по величине и удовлетворяют неравенству ]и,]((и,)„„, для всех Таким образом, задача оптимального по быстродействию управления заключается в нахождении допустимого управления, которое переводит систему из начального состояния хс в конечное состояние х~ и минимизирует рабочий критерий (выражение 5.4-7), удовлетворяя ограничениям (5.4-6): В соответствии с принципом максимума Понтряги а [ 1 т ягина [1451 оптимальное управление, которое минимизирует приведенный выше ~рункцио опал Л должно минимизировать гамнльтониан.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
