Робототехника.Фу, Ли, Гонсалес (962794), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Напомним, что характеристическое уравнение системы второго порядка может быть записано в следующей стандартной форме: '+Х „+ „'=О, (5.3-33) стемы. Из уравнения (5.3-37) можно найти передаточный коэффициент обратной связи по скорости О'е/КаКр енса Ка(ен КаКь К- '" "К." (5.3-38) Для устранения колебаний и резонанса конструкции сочленения необходимо выбирать значение частоты собственных колебаний, не превышающее половины величины резонансной частоты конструкции сочленения [229), т.
е. оьа < 0,5оь„ (5.3-39) (5.3-40) Производя преобразование Лапласа, получим характеристическое уравнение выражения (5.3-40) в виде Уеиз~ + ймщ = О. (5.3-4!) Решение этого уравнения дает резонансную частоту конструк- ции системы (5.3-42) Хотя жесткость сочленения является постоянной величиной, в случае дополнительной нагрузки на манипулятор эффективный момент инерции будет возрастать, что в свою очередь приводит к уменьшению резонансной частоты конструкции. Если резоНаиеиаа ЧаСтОта КОНСТРУКЦИИ Ооо ИЗМЕРЕНа ДЛЯ ИЗВЕСтнОГО МО- мента инерции, то для другого момента инерции Уо она определяется по формуле Оэе=ЬОО(у ) (5.3-43) Используя выраженма (5.3-39), находим ограооичеиия для К, из уравнения (5.3-36): . 0<К < (5.3-44) 4Ка С учетом уравнения (5.3-43) эти ограничения преобразуются к виду 0 <Кр< 4„ (5.3-45) 237 где н, — резонансная частота конструкции сочленения (рад/с)'.
Резонансная частота конструкции зависит от материала, из которого изготовлен манипулятор. Если эффективную жесткость сочленения обозначить й,еиь то возвращающий момент йещь9р,(!) противодействует моменту инерции двигателя: /,нй. (!) + ймн,В. (Р) = О. Зная Кр, передаточный коэффициент обратной связи К„можно найти из уравнения (5.3-38): а О 'еа О ен О.а(еп ((а((ь еЕЬ е(а по скорости (5.3-46) (5,3-48) где то(Г) и тс(г) — соответственно моменты сил тяжести и цвнтробежных снл звена минипулятора, а т.— остальные возмущающие воздействия, кроме сил тяжести и центробежных сил, значения которых предполагаются равными малой постоянной величине, Соответствующим преобразованием Лапласа уравнения (5.3-49) является следующее уравнение: 0 (з) = То (и) — Тс (з) + — '. (5.3-50) Для того чтобы скомпенсировать силы тяжести н центробежные силы, можно вычислить величины моментов от 1них и эти значе- 238 На следующем этапе исследуются статические ошибки рассматриваемой системы для ступенчатых и непрерывных входных воздействий.
Ошибка системы определяется как е(()=0ь(()— — 0ь ((). Используя уравнение (5.3-32), ошибку в виде преобразований Лапласа можно записать так а еп + (Па)ен + ((а((Ь + ((а((е) + ((а((р (5.3-47) Для ступенчатого входного воздействия с амплитудой А, т. е при 0~с(()=А, и при неизвестном возмущающем входе статическая ошибка системы на ступенчатое входное воздействие может быть найдена из теоремы существования предела: е„(ступенчатое воздействие) ~~ е„р = !ип е(г) = !!ш зЕ (з) = Ь-е е "е О =1ппз [в '(еи((а + в (па(еи + ((а(гь)) '4(а + а(ьа(О (а) е.ев ' а еп + (Па!еп + ((а((Ь + ((а((е) + ((а((р 5-ЬО (.
~а еп + (~а!еп+ (а((Ь + Када) + Кадр 1 Эта ошибка является функцией возмущений. Мы можем заранее определить такие возмущающие воздействия, как сила тяжести и центробежный момент, которые зависят от скорости сочленения. К возмущениям, которые не могут быть точно определены, относятся момент трения в редукторах и помехи в системе. Таким образом, можно идентифицировать каждый из этих моментов отдельно как тв (Г) то (() + тс (() + те (5.3-49) иия подать в устройство управления, как это показано на рис. 5.8, с целью минимизации их влияния. Такая компенсация называется компенсацией по прямой связи.
Обозначим вычисленные моменты через т. О((), а их преобразование Лапласа — чеоез Театр(з). Используя эти обозна- Рис. 3.8. Компенсация возьеуцьений. чения и уравнение (5.3-50), преобразуем уравнение (5.3-47) к виду Е(з) —, " ' '' ' + !Оаленва + В (йа(еП + ((а((Ь)] 07. (О! йа(еп + О (аа(еп+ ((а((Ь + (а((е) + ((а((р Для ступенчатого входного воздействия Оь (з) = А/з статическая ошибка позиционирования системы запишется следующим образом: и(( [Га (О) + Гс (и) + Г (Я Г,а (а)) е-ео (. в -оа'(еи + а (Па)еы + ((а((ь + Ка((и) + ((а((р 1 При стремлении времени к бесконечности величина погрешности от центробежной силы в статической ошибке позиционн- 239 (5.3-54) Это выражение является малой величиной, так как значение т, предполагалось малым, Вычисление то(1) рассмотрено ниже (с использованием динамической модели манипулятора).
Если входом системы является непрерывная функция, то Оу (г) = А/5, и в предположении, что возмущения определены в соответствии с уравнением (5.3-50), статическая ошибка системы равна е„ (непрерывное воздействие) Уе е„, = [5'ТеуФа+ ' Яа(еуу+ КаКО)[ Л15' 5~6 Ка еп+ Яа)еуу+ КБКь+ КаКо) + КоКр луу [То (5) + Тс (5) + Т /5 — Т, (5)] е-ор 5 Ка еп+ Ра)еУУ+ КаКЬ+ КаКо)+ КБК Ра1еуу + КаКО) 4 К К + аида [То (5) + Тс (5) + Т уу5 — Теооу (5)[ рования равна нулю Причина этого состоит в том, что центро- бежная сила является функцией Оь(1) и при стремлении вре. мени к бесконечности 06(ОО) стремится к нулю.
Следовательно, ее вклад в величину статической ошибки позиционирования рав- ИЯЕТСЯ УУУЛЮ. ЕСЛИ МОМЕНТ теооер (1) СОЗДаЕтСЯ ТОЛЬКО СИЛОЙ тЯ жести звена манипулятора, выражение для статической ошиб- ки позиционирования упрощается; Е„р —— —. а)гаге (5.3-53) К К Поскольку значение Кр ограничено неравенством (5.3-45), пре- дыдущее выражение также упрощается: 4аге Е„р — — —, м616 блока, трения в редукторе и люфтов, могут быть записаны в виде, соответствующем уравнению (3.2-24): 6 Ь ту(1)=,5 ~Тг[ д зь( ) [д1(1)+ Ь уу У -( ~с ~~ч' тг~д д' 3е[ дд')14)1(1)ФЬ(1)— о=У у-У Ь-У 6 де Гу дчу [ дТу т а[ — У~ г, длЯ 1=), 2, ...„6, (6.3-57) где ту(1) — обобщенный управляющий момент в 1-м сочленении для перемещения у-го звена, ду(1) и д,(1) — соответственно угловая скорость и угловое ускорение 1-го сочленения, ду — обо— б бщенная координата манипулятора, определяюуцая его угловое положение; 'Т; — однородная матрица преобразования для звена размерностью 4Х4, которая связывает пространственное Р асположение между двумя системами координат (1-й и базовой системами координат), г, — положение центра масс 1-го звена относительно 1-й координаты системы, и =(пе, яо, К„О)— линейный вектор силы тяжести, ~к[=9,8062 м/СО, .Ьу — матрица п севдоинерции у-го звена относительно системы координат 1-го звена, которая может быть записана в соответствии с урав е- ннием (3.2-(8).
У авнение (5.3-57) может быть выражено в матричной форме ра в явном виде 6 6 6 О дь(1) + ~а„Е Ть дь(1) У)еу (1) + СУ тУ (1)' -у ее 1 (5.3-58) Для того чтобы упростить выражение для статической ошибки по скорости, вычислим снова момент [т„,(1) [, эквивалентный действию силы тяжести и центробежной силы. В результате статическая ошибка по скорости запишется в виде (Яа)еи+ КаКь) '4 Е„,= '"' ' + Е„р.
а р В это выражение входит конечная статическая ошибка. Вычисление т„,(1) зависит от динамической модели манипулятора. В общем случае, как это показано в гл. 3, уравнения Лагранжа — Эйлера, описывающие движение манипулятора с шестью сочленениями без учета динамики электронного управляющего 240 где [....,. (.„П)1 с,='~'~ — т,.й~ — ')г,.1, 1=(, 2, ° °, 6 (5 3-6() у 24( Б 1)уь= ~ Тг~ — ау[ д ) ~ (5.3-59) дрогу дет УЬ Тг ( — ', 1, й, пь = 1, 2, ..., 6, Уравнение (5.3-57) можно записать в матричном виде + [Ч1(Г)~ Ч2 (') ЧЗ (~) Ч4 (~) Ч5 (~) Чб (~)) Х Ьп, "12! й>31 й!ы йпз 5422 Р123 й 52 "133 й>м 51, й>!6— й134 й135 й136 Ч2 (~) Чз (1) Ч4 ( ) чб (г) + с;.
(5.3-62) 5161 ~162 й163 й1 64 ~165 й166 'гб И Р41 042 0~3 0м 04м 0м[ ч (г) Ч2 И Чз (1) ч' (г) чб(г) Чб ( ) жения Лагранжа — Эйлера или Ньютона — Эйлера. По существу метод вычисления момента представляет собой прямое управление, которое, однако, включает компоненты как прямой, так и обратной связи. Такое управление позволяет компенсиро. вать силы взаимодействия между разными сочленениями, при этом компоненты обратной связи позволяют вычислить необходимые корректирующие моменты для компенсации отклонений от желаемой траектории. Предполагается, что могут быть точно определены значения, соответствующие величинам 0(о), Ь(4), о)' и с(о) в уравнении движения Лагранжа — Эйлера (3.2-26).
Это необходимо для минимизации нелинейных эффектов и использования пропорционально-дифференциального управления двигателями сочленени(1. Таким образом, закон управления имеет следующую форму: т(() = О. (й) (й" (~) + К. [й'(() — ч (г)[+ К, [й'(~) — й(г)[) + +йб(й, Ч)+с.(Ч), (5.3-65) Используя уравнения Лагранжа — Эйлера, описывающие движение манипулятора, можно определить моменты силы тяжести, центробежной силы и кориолисовых сил я '- ИЛ ДЛЯ 4.ГО СО4!ЛЕ- пения соответственно в виде то(!)=сп 1=(, 2, ..., 6, (5.3-63) тс (~) [Ч! (~) ЧЗ (~)~ Чз Ю Ч4 ( ) Чб (') Чб (~)) Х Ч! (!) ч Р) Чз (1) ч (г) Ч5 (~) — Чб (!) ~1!4 йи5 ~116 й124 ~125 й226 й!34 й135 14136 "П! "Пг йиб Ь121 Ь122 Ь125 "13! "132 "155 ('-), 2, ..., й. Ь !61 162 ~~163 й464 й!65 й166 (5.3-64) Э та компенсация соответствует тому, что обычно называют мемомента. тодом обратной задачи динамики или методом выч в числения 5.3.4. Устройство управления многосуставным роботом Одной из основных схем управления манипулятором с несколькими сочленениями является схема, основанная на анн я на методе вычисления момента, в котором используются уравнения дви- 242 где К, и К, — соответственно матрицы передачи в обратных связях по производной и по положению размерностью 6 Х 6 для манипулятора, имеющего 6 степеней подвижности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
