Робототехника.Фу, Ли, Гонсалес (962794), страница 42
Текст из файла (страница 42)
247 Для пол ч учения оптимального вектора управления *(1) б «оптимальный вектор состояния х'(1), оптимальные сопряженные переменные р" (1) и функция Гамильтона Н(х, р, ч) =рг1(х, ч) + 1 (5.4-8) удовлетворяли условиям дН (х', р", и') х'(1) = ' ' для всех 1ец [1р, 11[, (5.4-9) дН (х*, р', и') Р () = — д ' для всех 1еэ [1с, 11[ (5.4-10) и Н(х*, р„, ц')(Н(х', р*, ц') для всех 1~[1с, 11[ (5.4-!1) иа интервале допустимых управлений. После подстановки ч'(1) из уравнения (5.4-8) в (5.4-1!) задача оптимизации сводится к двухточечной краевой задаче с граничными условиями на соавн стояние х(1) в начальный и конечный моменты времени.
Т ур ения движения нелинейны, единственным способом решеак как шеиие. О нак ния задачи управления в этом случае является числ исленное ремушений в с д о численное решение не учитывает действ ия возщю н« истеме, а позволяет только вычислить упра у фу «цию разомкнутой системы.
Кроме того, такое решение оптимально только для заданных начальных и конечных условий. Следовательно, вычисление оптимального должно ос К оме того, на сушествляться для каждого движения манипу ипулятора. р , на практике численные методы не обеспечивают достаточной точности управления механическими манипуляторами.
По этим причинам в качестве альтернативы численном р 1 [ можно использовать аппроксимацию оптимального управления, результатом которой является получение субоптимального по быстродействию управления. Субоптимальное управление с обратной связью находится путем аппроксимации нелинейной системы, описы пениями (5.4-4), линейной системой и последующего аналитического нахождения оптимального управления для линейн " стемы.
Л . Линейная система получается заменой переменных после линеаризации уравнений движений. Преобразование используется для записи в явном виде управляющих воздействий в линеаризованной системе. Обозначая новый ряд зависимых переменных через $;(1), 1= 1, 2, ..., 2и, уравнения движения могут быть с использованием новых переменных состояния записаны в виде й, (1) = х, (1) — х, (11), 1 = 1, 2, ..., и, +1 ...,2 (5412) Первый набор г«$г(1) характеризует ошибку углового положения, а второй набор пй;(1) — ошибку скорости изменения угло- 224З вого положения, В результате такой замены переменных задача управления сводится к задаче перемещения системы из начального состояния $(1з) в начало координат пространства с переменных.
Для того чтобы получить линеаризованную систему, уравнение (5.4-12) подставляется в уравнение (5.4-4) и используется разложение в ряд Тейлора в начале координат пространства й переменных, Кроме того, все тригонометрические функции также разлагаются в соответствующие ряды.
В результате линсаризованные уравнения движения будут иметь вид э (1) = А$(1) + Вч(1), (5.4-13) где ~г(1)=-Дь $з..... $л) и ч(1) — связаны с ц(1) соотношением ч(1)= ц(1)+ с. Вектор с содержит статические моменты сил тяжести в конечном состоянии. Несмотря на то что уравнение (5.4-13) является линейным, управляющая функция в нем ч(1) записана в неявном виде. Путем соответствующего отбора определяющих векторов из линейно независимых столбцов управляемых матриц А и В для выделения управляющей функции можно получить новый набор уравнений: ь(1) = Ак(1) + Вч(1). (5.4-14) 1аг-«(1)=п«1з«(1)=1з«ь 1=1, 2, 3, (5.4-!А с; » (с, ( п+ и с+ = (и,.)„,„, + с„с;. = — (и,.)„,„, + с,, (5.4-16) где с« есть йй элемент вектора с.
После этого получение оптимального по быстродействию управления н переключающих поверхностей и можно осуществить обычными способами. Линеаризованное и записанное в явном виде с помощью уравнений (5.4-15) и (5.4-16) субоптимальное управление, как правило, обеспечивает в достаточной степени близкие к оптимальным динамику и траектории движения манипулятора. Однако этот метод является слишком сложным„ о Напомним, что оптимальное па быстродействию управление представлвст собой кусочко-поставкпую фупкппю времени. Таким образом, интерес представляют тс области пространства состояний, в которых управление постоянно. Зтп абластп разделяются линиями в двумерном пространстве, повсрхпастамп — в трехмерном пространстве и гппсрповерхностамк — в л-мерном пространстве. Такие разлсляюшис поверхности называют соответственно лпнпямн переключения, повсрхнастамп переключения и гппсрповерхпостямп переключения, Если в качестве примера взять трехзвенный манипулятор и написать для него уравнения, приведенные выше, можно получить систему с двумя интеграторами для каждого из трех звеньев и несимметричными ограничениями на величину управляющего воздействия: боле если объектом управления служит манипулятор с четырьм е степенями свободы; кроме того, он не учитывает влияние неизвестных внешних нагрузок.
5.5. УПРАВЛЕНИЕ МАНИПУЛЯТОРОМ С ПЕРЕМЕННОЙ СТРУКТУРОЙ Использование теории систем с переменной структурой для управления манипуляторами было предложено в работе [320]. Системы с переменной структурой (СПС) относятся к классу систем с дискретным управлением по обратной связи, В течение последних 20 лет теория систем с переменной структурой находит многочисленные применения в различных отраслях металлургической, химической и космической промышленности. Основной особенностью СПС является наличие так называемого скользящего режима на поверхности переключения. В скользящем режиме система пе реагирует на изменение параметров и на возмущающие воздействия, а ее траектории проходят па поверхности переключения. Это свойство СПС позволяет исключить влияние сил взаимодействия между сочленениями манипулятора. Явление скользящего режима не зависит от параметров системы и носит стабильный характер.
Таким образом, теория СПС может быть использована для создания устройства управления переменной структурой (УУПС), которое организует скользящий режим прн формировании траекторий движения манипулятора робота. Для создания такого устройства управления не требуется использование точной динамической модели манипулятора и достаточно знать граничные значения параметров модели. Управление переменной структурой отличается от оптимального по быстродействию управления тем, что оио формирует траектории движения системы в скользящем режиме Кроме того, система в этом режиме нечувствительна к изменению параметров. Пусть требуется найти управление переменной структурой для шестизвенного манипулятора. Определяя вектор состоянии из уравнения (5.4-1) = (ф сс 4~ че) = (Д~ ое о~ о ) — (Рг г (5.5-1) н вводя вектор ошибки позиционирования е,(1) = р(1) — р", а также вектор ошибки по скорости ез(1)=ч(1) (чФ=О), сведем задачу слежения к задаче стабилизации.
Уравнения ошибки системы будут иметь вид е, (г) = ч (1) ч (г) = тэ (е, + Р, ч) + Ь (е, + р ) ц (г), (5 5 2) 250 где 1, и Ь определяются из выражения (5.4-5). Для системы стабилизации управление переменной структурой может быть записано в виде и ,+(р, ч), если г,. (е„о,.) > О, и;(р, ч) = 1 = 1, ..., 6 ' (5.5-3) и,— (р, ч), если з, (ео о,) < О, где ьч(еь ш) — поверхности переключения, удовлетворяющие условиям э, (еь о,) = с,е, + ои с, > О, 1= 1, ..., 6. (5.5-4) После этого синтез управления сводится к выбору управления с обратной связью в соответствии с уравнением (5.5-3) так, чтобы скользящий режим происходил на пересечении с поверхностямп переключения. Решая алгебраические уравнения поверхностей переключения з(еь о)=0, 1=1, ..., 6, (5.5-5) можно отыскать единственно существующее управление ц„= — 0 (р) (1 (р, ч) + Сч), (5.5-6) где С = — б(ай(сп см ..., се), После этого скользящий режим получается из уравнения (5.5-4) в виде е,= — с,еа 1=1, ..., 6.
(5.5-7) Это уравнение в явном виде описывает движение шести линейных систем первого порядка, каждое из которых представляет одну степень свободы манипулятора при нахождении системы в скользящем режиме. Как видно из уравнения (5.5-3), устройства управления переводит манипулятор в скользящий режим, при этом влияние сил взаимодействия между сочленениями полностью исключается. Для управления манипулятором в скользящем режиме используется устройство управления, реализующее управление в соответствии с уравнением (5.5-6). Динамика манипулятора в скользящем режиме зависит толька от конструктивных параметров сь Асимптотнческая устойчивость систем в скользящем режиме обеспечивается при выборе с, > О, а регулирование скорости движения в этом режиме достигается изменением параметров с~ Таким образом, управление переменной структурой позволяет исключить нелинейные силы взаимодействия между сочленениями путем перевода системы в скользящий режим.
Однако устройство управления вырабатывает сигналы дискретного управления по обратной связи, которые весьма быстро меняют знак управляющего воздействия, В результате действия таких сигналов может появиться вибрация, которую необходимо учи- 251 тывать в некоторых применениях управления манипулятором робота.
Более подробно многовходовые управляющие устройства для СПС описаны в работе ]320]. 5.6. НЕЛИНЕЙНОЕ НЕЗАВИСИМОЕ УПРАВЛЕНИЕ ПО ОБРАТНОЙ СВЯЗИ Нелинейное независимое управление по обратной связи является важной частью теории нелинейного управления. На его основе может быть выработано субоптимальное управление для механических манипуляторов. В большинстве существующих алгоритмов управления роботами (напримср, в методе вычисления моментов) значительное внимание уделяется нелинейной компенсации сил взаимодействия между звеньями манипулятора. В работе ]118] применен метод нелинейного управления по обратной связи к простой шаговой системе, которая содержала определенный класс нелинейностей, включающий тригонометрические и полиномиальные виды нелинсйностей. В результате были получены независимые подсистемы, позиционная устойчивость и желаемые периодические траектории. В этой работе подход отличается от метода линейного разделения системы, где расчлененная система должна быть линейной.
В работе [258] предложен итеративный алгоритм для последовательного усовершенствования нелинейного субоптимального закона управления. Он дает возможность приблизиться к получению оптимального управления манипулятором. С другой стороны, для того чтобы достичь такого высокого качества управления, этот метод требует значительного времени вычисления. Ниже кратно описана нелинейная теория декомпозиции по ра. ботам ]75, 86]. В этой теории используются уравнения движения Ньютона — Эйлера для построения нелинейного независимого управления манипуляторами робота. Пусть основная нелинейная система задана в виде х (1) = А (х) + В (х) и (1) и у (1) = С (х), (5.6-1) где х(1) — п-мерный вектор, ц(Г) и у(1) — т-мерные векторы, а А(х), В(х) и С(х) — матрицы соответствующих порядков.
Определим нелинейный оператор )ул в виде К д К=1,2,..., п, МлС. (х) = [д„йгл 'С;(х)]А(х), . ' (5,6-2) где С;(х) — 1-я компонента С(х), а М„'С,.(х)=С,.(х). Определим также порядок 4 нелинейной системы как д~ =ш1п~!'.[ — „Мл С~(х)]В(х) Ф О, /=1, 2... „п~. (5.6-3) 252 Целью управления является нахождение независимого управления по обратной связи п(г): и(1)=Г(х)+ б(х)эг(1), (5.6-4) где тч(1)' — т-мерный входной вектор, Г(х) — вектор обратной связи размерностью т р',1, определяющий разделение и расположение полюсов, а б(х) — входная передаточная матрица размерностью ту(т, такая, что вся система имеет независимые связи входов и выходов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
