Робототехника.Фу, Ли, Гонсалес (962794), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Подставляя п(1) из уравнения (5.6-4) в систему уравнений (5.6-1), запишем результат в следующем виде: х (1) = А (х) + В (х) Г (х) + В (х) б (х) и (1) у (1) = С (х). (5.6-5) Для того чтобы получить независимые связи входов и выходов в указанной системе, Г(х) и б(х) выбираются соответственно Г (х) = Г; (х) + Г; (х), (5.6-6) где Г~(х) = — 0 (х) С*(х), Гз(х) = — 0' (х)М (х) б(х)= 0 (х)А. Г'(х) представляет обратную связь в системе декомпозиции, а 1 Г",(х) является управляющей частью с произвольным расположением полюсов.
Входной передаточный коэффициент выделенной части может быть выбран с помощью б(х), а 0*(х) — матрица размерностью т Хт, ~'-я строка которой записывается в виде 0;(х)=[ — М ' С,(х)1В(х) для с(, ФО, (5.6-7) С" (х) — т-мерный вектор, 1-я компонента которого равна С,. (х) = й1з С, (х). (5.6-8) М" (х) — т-мерный вектор, 1-я компонента которого записывается в виде з,-1 М;.
(х) = ~, а„,.й(клС,. (х) для 0,. Ф О, (5.6-9) к-0 а А — диагональная матрица, элементы которой явлздются постоянными величинами )м для 1=1, 2, ...,,т. Теперь: система 253 (5.6-10) у'(г) = С'(х) + 0' (х) и (1), у(~') (1) = С*,. (х) + р*,.а (1).
и,(О) вв(1) (5.6-13) (5.6-11) 0(0) О+ Ь(0, О) + с(0) =п(1), (5.6-! 4) или ри ... рм 1 Ь~(0, О) + с (0) Используя аналогию Е(г) =— Ье (О, 0) + св (0) и, (1) 0м ° ° ° ров и, (1) у[" (г) = С„' (х) + Р," (х) и (г). 254 255 уравнений (5.6-1) может быть записана в виде где у*(1) — выходной вектор, (-й компонентой которого является у( ') (1), т. е.
Используя уравнения (5.6-4) и (5.6-6) в уравнении (5.6-11) получим У> ' (~) +ах ~ ~у; ' (1)+ ... + а,.у, (1) =Х,е>,(1) (5 6.12) где ах,; и Х; — произвольные скалярные величины. Для того чтобы показать, что Ря компонента имеет вид уравнения (5.6-! 1), предположим, что и> = 1.
Тогда у,(1) = = С,(х), и после дифференцирования получим у)п (г) = у~ (г) = д х (г) = дх ч дС; (х) [А (х) + В (х) г (х) + В (х) С (х) тг (1)) = Мл+вгС> (х) + ' [В (х) б (х) тг(1)). !У"„' „,С (х)= !У~'С,. (х)+ [д/дхЛ'„' С> (х)[В(х)Р[х), уо>(1) можно записать в виде У)н(г) = МЫС,. (х) + [дх С>(х)[В(х) г (х)+ дх [В(х) б(х) тт(Г)1.
С помощью уравнений (5.6-4) и (5.6-7) это выражение можно записать также в виде Легко показать, что и значения д> = 2, 3, ... приво я нению (5.6-11)„Таким образом, результирующая система имеет разделенные связи входов и выходов и представляет собой не зависящую от времени систему второго порядка, которая может быть использована для моделирования каждого сочленения ма- нипулятора робота, Как было показано в гл.
3, уравнения движения Лагранжа— Эйлера для шестизвенного робота могут быть записаны в виде Рп ... Рм 0,(1) й,(0, О) с,(0) и,(1) + ° + рм ... 0„0,(1) Ьа(0, 8) или в векторно-матричной форме где и(Е) — вектор управляющего момента для двигателя в сочленении размерностью 6Х 1, 0(1) — вектор угловых положений, 8(>) — вектор угловых скоростей, 0(1) — вектор ускорения размерностью 6Х 1, с(О) — вектор силы тяжести размерностью ОХ 1, Ь(0, О) — вектор кориолисовых и центробежных сил размерностью 6 Х 1, а 0(0) — матрица инерции размерностью 6Х 6. Поскольку 0(О) — всегда несингулярна, последнее уравнение может быть записано в виде О (1) = — 0-' (8) [Ь (О, 8) + с (О)) + 0-' (8) ц (1) (5 6-15) Приведенная динамическая модель состоит из дифференциальных уравнений второго порядка для каждой переменной сочленения, следовательно, в этом случае А = 2.
Трактуя каждую переменную сочленения О;(1) как выходную переменную, последнее уравнение может быть связано с уравнением (5.6-11) следующим образом. у~' (1) =у>(1) = — [О-'(0)1,[й(0, О)+с(0)[+ [О '(0)1,ц(1) = = С; (х) + 0;. (х) и (1), (5.6-17) где Сг(х) = — ГР-'(0)1, [)>(О, О)+с(0)[ хт (т) [От «) От (г)) и Р',(х) = (Р-'(0)1о (5.6-1 9) — 1 л а [Р- (0) [! — 1-я строка матрицы Р-'(О). Таким образом уп авение п(г) для выделенной системы (уравнение (5.6-5)) должно р быть следующим: а «) = — Р" ' (х) [С* (х) + М' (х) — Ли (т)) = = — Р (0) [ — Р -!(0) [(> (О, 0) + с (0)) + М' (х) — Лъ (4 = ' = (>(О, О) + с (О) — Р (О) [М' (х) — Лэг (Г)).
(5,6-20) П одробнее для г-го сочленения управление запишется в виде а,«)=Л,(0, О)+с,(0) — [Пп ... Р>,)Х ап0,(1)+а„О,«) — А,ю,«) - .: ..'.1;а Х (5.6-18) а„О,«)+ а„0,«) — А,ш,«) Из этого уравнения видно, что управление и>(1) для >-го сочленения зависит только от текущих динамических переменных н от входного воздействия и>(1).
Подставляя п(1) из уравнения (5.6-20) в уравнение (5.6-14), получим Р(0)0«)+й(0, О)+с(0)= ацО, «) + ао,О, (г) — 7о>ш! «) = Ь (О, б) + а (0) — Р (О) (5.6-22) а„Оо (г) + аооОо «) — ) ощо «) Отсюда 0,(Г)+ аиО,«)+ „О,«) — Х,э,«) Р (0) = О. (5.6-23) О,«)+ а„О,«)+ „О,«) — )„„«) Так как Р(0) — всегда несингулярна, последнее уравнение можно записать в виде О, «) + а>>0! «) + ао,О! «) = Л>о>! «) 1= 1, 2, ..., 6, (5.6-24) из которого следует полное разделение связей входов и выходов системы, Отметим, что параметры аи, и!, и )! можно выбрать произвольно, обеспечивая соблюдение критерия устойчивости.
Следовательно, манипулятор можно представить в виде шести независимых, записанных в явном виде и инвариантных ко времени систем второго порядка, а управление п(1) (уравнение (5.6-20) ) можно строить на основе динамики манипулятора. Эффективным путем вычисления уравнения в(1) является использование уравнений движения Ньютона — Эйлера. Таким образом, для получения управления ьи(Г) для >-го сочленения необходимо подставить значение О,.(!) вместе с выражением ).,ю,(1) — инО (!) — и„О,(П в уравнения движения Ньютона— Эйлера. 5.7. НЕЗАВИСИМОЕ ПРОГРАММНОЕ УПРАВЛЕНИГ ДВИЖЕНИЕМ В предыдущем разделе мы рассмотрели некоторые методы управления механическим манипулятором в связанных координатах для формирования траектории сочленения. Во многих приложениях более предпочтительным является программное уппавление движением, которое обеспечивает движение манипулятора в декартовых координатах по требуемой траектории с необходимой скоростью.
Независимое программное управление предполагает комбинированное движение различных двигателей сочленений н раздельные управляемые движения звеньев манипулятора вдоль осей неподвижной системы координат. Это означает, что несколько двигателей сочленений должны работать одновременно с различными изменяющимися скоростями для формирования заданного движения манипулятора вдоль любой оси неподвижной системы координат. Это делает возможным выбор направления и скорости произвольной траектории движения манипулятора. Такое управление существенно упрощает набор последовательности движений для выполнения поставленной задачи, потому что пользователю обычно легче ориентироваться в декартовой системе координат, чем в угловой системе координат сочленения манипулятора. Как правило, требуемое движение манипулятора записывается в виде временных траекторий манипулятора в декартовых координатах, хотя система управления оперирует входными воздействиями, относящимися к связанным с сочленениями координатам.
Математическая связь между этими двумя системами координат необходима для получения эффективного управления в декартовом пространстве. Коротко опишем основную кинематичсскую теорию, связывающую две системы координат для шестизвенного манипулятора робота. Это приведет к по- 9К.Фуиоо.
ниманию важнейших методов независимого программного управления движением. Положение конечного звена манипулятора относительно фиксированной системы координат может быть определено путем расположения арто~опальной системы координат на этом звене, т, е. путем введения системы координат конечного звена (рис. 5.10). Задача нахождения положения конечного звена при этом сводится к определению положения и ориентации системы туа!Ее>ре>лт Рнс. 5.! О Системз коорлннвз конечного звена, координат конечного звена относительно инерциальной системы координат манипулятора.
Для этого используется однородная матрица преобразования размерностью 4 Х 4: . и. (Е) з, (Е) а (Е) рк (Е) и и (Е) зк (Е) ак (Е) рн (Е) '---- *--(') =,(Е) „(Е) а,(Е) р, (Е)— О О О 1 п (Е) а (Е) а (Е) р (Е) 1 о о о =[ где р — вектор поло>кения конечного звена, а и, з, а — единичные векторы, направленные вдоль основных осей системы координат, определяющих ориентацию конечного звена. Вместо использования подматрицы вращения [и, з, а[ для определения ориентации можно использовать три угла Эйлера — угол поворота х(Е), наклона (3(Е) и вращения у(Е), которые определяются 258 О зЕ>3' ~Ф р рт оŠ٠Π— 5[3а + у 5ра — у О 5уС[3а + Сур — СТС(3а + 5уб — 5уС(3а — Су(3 СуС(3а — 5у(3 .
(5,7-5) О как вращение системы координат конечного звена соответственно вокруг осей хе, уе и ге базовой системы координат. Элементы [и, з, а[ можно получить из матрицы вращения Эйлера как результат вращения по углу а вокруг оси хе, по углу б вокруг оси уе и по углу у вокруг оси хе базовой системы координат (уравнения (2.2-19)). Таким образом, п„(Е) з„(Е) а, (Е) !чконечное звено (Е) — пв (Е) зн (Е) ак (Е) п, (Е) з, (Е) а, (Е) Су -5у О 5у Су О О О 1 СуСΠ— 5уСа + Су5135а 5у5а + Су5[3Са 5уС(3 СуСа+5у5(35а — Су5а+5у513Са, (5,7-2) — 5й С(35а С[3Са где ып а— = 5а, сова= — Са, ып (3= 5(3, соз [3= — СР, ып у = =5у, соз у = — Су. Определим векторы положения р(Е), углов Эйлера Ф(Е), линейной скорости ч(Е) и угловой скорости 33(Е) конечного звена манипулятора в базовой системе координат соответственно; р (Е) [рв (Е) рн (Е) рз (Е)[т Ф (Е) [а (Е) Р (Е) у (Е)[т ч (Е) = [о, (Е), он (Е) о (Е)[т хз (Е) = [о> (Е) о>н (Е) со (Е)[т (5.7-3) Линейная скорость конечного звена в базовой системе координат равна производной по времени от положения конечного звена ч (Е) р (Е) Так как инвертирование направляющей матрицы косинусов эквивалентно ее транспонированию, мгновенная угловая скорость системы координат конечного звена вокруг главных осей базовой системы координат может быть получена из уравнения (5,7-2); Из последнего уравнения можно получить связь между [в„(1), в„(Е), о>,(г)]г и [а(!), д(!), у(1)]г путем приравнивания ненулевых элементов в матрицах: м„(г) = Зус() Сч 0 ()(!), (5.7-6) Отсюда легко определяется обратная связь с а (1) СЧ Зу 0 м„(1) р (1) = зес 6 — ЯЧС[3 СуС!1 0 оч (1) (5.7-7) ч (г) Сук() Зу50 С() м.(г) или, записывая в матричной форме, Ф (!) — [8 (Ф)] Й (Г).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
