Робототехника.Фу, Ли, Гонсалес (962794), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Тогда х„(1) и и„(1) удовлетворяют уравнению (5.4-4); х„(7) =1[к„(1), п„(7)]. (5.8-1 8) Используя разложение в ряд Тейлора в уравнении (5.4-4) относительно заданной траектории и вычитая из него уравнение (5.8-18), а также пренебрегая членами высоких порядков, получим соответствующую линеаризованную модель возмущений лля рассматриваемого типа управления бх ( ) = Ч 1 [л бх (г) -1- М 1, бп (1) = А (7) бх (7) -1- В (1) бц (7) (5 8. Бй) 276 (5.8-20) — иск етизации и п(ФТ) — и-мерный кусочно-погде Т вЂ” период дискре ц (1) на инте вале врестоянный входной вектор управления и( ) на и р меня между двумя л я любыми последовательными моментами дискретизации йТ ( 1((Ф+ 1) Т, а х(йТ) — 2и-мерный возмушен- 277 71 7 1[ б фу 1[ (1) (1)] Р г1) бх(1) =х(1) — х„(1), а деляемые соответственно хп(1) и пл( ), ( ) — л бн (1) = ц (1) — и, (1) .
авнении (5.8-!9) заПараметры системы А(1) и В(1) в уравнении ( . - заего положения и скорости манипулятора при дви- жении вдоль заданной траектории и, следовате. ени. Из-за сложности уравнений движения меняются во времени. з- а манипулятора точное определение элементов,, и вычайно затруднительно.
Однако по р ст оение закона управлезыо:ля авнений возмущения требует, что- ния с обратной связью д.ля ур бы параметры системы в уравнении .. ыли каждый момент времени. Таким обра о , д р з м,, ля определения не- известных элементов ! и А(7) В(7) может быть использован метод параметрической идентификации.
В данной постановке задача управления манипулятором сво- дится к определен елению бп(1), которое устремляет бх(7) к нулю вдоль всей з д а, анной траектории в каждый мом и р ха акте из ется па- Следовательно, вся управляемая система хара т р у амет ами как пр ямой, так и обратной связей. После задания опорных точек траектории 9 (1), 9 ( ) 9 ( уются соответствуюгцие номинальные моменты а, 7 из авнений движения Ньютона — Эй.лера, В обрати " ф р- ми ются соответствующие м . уравнени двн ющие моменты по возмущениям бп(1), коси ют малые отклонения от заданной траектории.
торые компенсируют малые о м ения, п оизво- В . е ие моментов, компенсирующих возмущен, р ычисл н * п авле- дится с помощью од о ю одношагового оптимального закона у р тва, ния. Такая постановка ад ка задачи имеет два главных преимущест Пе вое преимушество заключается в сведении нелинейной за- дачи управления к л Р . инейному управлению вдоль заданной траектории, а второе— — в лом, что определение номинальных и компенсирующих моментов . тов может быть произведено отдельно и одновременно, л Б., агодаря наличию такой параллельной струк- т ры вычислений метод адаптивного управления легко реали- ур 'дорогих микропроцессорах. Блок-схема ассмотренного метода управления риведщш на ры.
В случае использования цифровых машин уравнение ( .- необходимо дискретизир изировать для получения соответствующих дискретных уравн ений йри определении требуемых параметров: х [(й + 1) Т] = Г (йТ) х (йТ) + 6 (иТ) и (йТ), /г= О, 1, ..., (5.8-24) или в матричнои форме ~„(й) ... )„(й) аи(й) ... 8»п(й) Вял»еуигеяия 9(й)= (й) ° ° и (й)— ный вектор состояния, который определяется выражением »т х (йТ) = Г(йТ, гв) х (гв) + ~ Г (йТ, г) В (г) и (г) Ф.
(5,8-21) ь Здесь Г(йТ, гв) — переходная матрица состояния системы, а Г(йТ) и б(йТ) — соответственно матрицы размерностью 2п Х2п и 2п Хи, которые определяются следующилл образом: Р (йТ) = Г [(й + 1) Т, йТ] (5,8-22) ы+ит и С(йТ) и(йТ) ~ Г[(й+1)Т, г]В(г) п(г) гй, (5.8-23) »т В втой модели должны быть определены все бп' параметров в матрицах Е(йТ) и б(йТ), Для простоты и ясности исключают период дискретизации Т из последнего уравнения, «яряявтры ббяжвняя рвбвяга Рнс. 5.1$, Ллаптнвное управление по возмусненннм. Задача определения параметров может быть решена с помощью различных алгоритмов, таких, как методы наименьших квадратов, максимума, вариационных методов и методов стохастической аппроксимации.
Для определения параметров системы в матрицах Г(й) и б(й) целесообразно использовать рекурсивную схему определения параметров по наименьшим квадратам в реальном времени благодаря простоте ее реализации. В данной схеме определения параметров делаются следующие предположения; 1) параметры системы медленно меняются, но при атом скорость их изменения меньше, чем скорость адапта- цип; 2) погрешности измерений пренебрежимо малы; 3) переменные состояния х(й) в уравнении (5.8-20) поддаются измерению, Для того чтобы применить рекурсивный алгоритм идентификации по наименьшим квадратам к уравнению ( . - ), ходимо трансформировать систему уравнений к удобному для вычисления виду. Записывая 1-ю строку неизвестных параметров системы через й-й момент времени в виде Зп-мерного вектора, получим 6,'(й) =()и(й),, 1г,(й), ап (й),, аг.
(й)~, г'=1,2,...,р, =[11,(й), 9 (й), ..., 9 (й)], (5,8-25) где =2п. Аналогично определяем выходы и входы возмущенной системы по уравнению (5.8-20) в й-й момент времени Зп-мерным вектором: хт(й) = [х,(й), хг(й), ..., х,(й), и, (й), ив(й), ..., и„(й)], (5.8 26) а состояние в й-й момент времени — 2п-мерным вектором: хт(й)=[х,(й), х,(й), ..., хр(й)]. (5.8-27) В результате система, соответствующая уравнени ( .
- ), . ю (5.8-20), может быть записана в виде х (й-]-1)=хт(й)6,(й), »=1, 2, ..., р, (5.8-28) В такой формулировке задачи требуется определить параметры в каждо аждом столбце б», основываясь на измерениях вектора х(й). Для того чтобы проверить точность алгоритма оценки т наименьших квадратов, при расчете учитывают ошибв ви е 2п-меку моделирования и шум в уравнении (5.8-20) в виде п-мерного вектора о ошибки е(й), часто называемого разпостным вектором: е,(й)=х,(й+1) — хт(й)бг(й), »=1, 2, ..., р. (5.8-29) При оценке параметров по методу наименьших квадратов предполагается, что неизвестные параметры являются постоянными величинами, а решение основывается на ряде из й! измерений с равными весами, используемом для оценки этих параметров.
К сожалению, данный алгоритм не может быть использован для параметров, меняющихся во времени. Кроме того, требуется производить сложное в вычислительном отношении инвертирование матриц. Чтобы уменьшить объем вычислений и проследить изменение параметров е!(!г) во времени на каждом периоде дискретизации, в схеме последовательного определения параметров по методу наименьших квадратов производится пересчет неизвестных параметров на каждом периоде дискретизации с использованием новых измерений на каждом дискретном интервале, что обеспечивает эффективное решение задачи идентификации.
Рекурсивный алгоритм определения параметров по методу наименьших квадратов находится путем минимизации экспоненциального критерия ошибки, в котором учитывается квадрат ошибки последних измерений в виде уа = Х р' ~е> (!) 1 1 (5.8-30) где 0 ( р ( 1, знак Л над О, означает оценку, Р(й) = р[Х(гг)Хг()г)] — ' — симметрическая положительно определенная матрица размерностью Зп Х Зп. Здесь Х(!г) [х(1), х(2), , х(й)] — матрица измерений до й-го дискретного момента времени.
Если ошибки е,(>г) распределены аналогично и не зависят от нулевого значения и изменения о', то Р(й) можно представить в виде ковариантной матрицы при р, равном и'. Из приведенных рекурсивных уравнений видно, что оценка параметров 0;(>г+!) в (>г+!)-й дискретный период времени равна предыдущей оценке 0,(й), скорректированной на величину, пропорциональную [х>(й+1) — хг(>г) О, (й) ] . Член хг(/г) О, (/г) представляет собой прогнозируемую величину хв(й+!), осно- 280 где вектор ошибки определяется выражением ег(>У) =[угр" — 'е,(1), з]р 'е,(2), ...> е,(йг)], (5.8-3Ц а >У ) Зп — число измерений, используемых для оценки параметров 0,(>У).
Минимизируя критерий ошибки в уравнении (5.8-30) относительно неизвестных параметров вектора О, и используя лемму об обращении матриц, после простых алгебраических преобразований получаем рекурсивную схему идентификации по методу наименьших квадратов в реальном времени.* 6>(/г+ 1) = О, (й) + у(й) Р(й) х (!г) [х, (>г+ 1) — хг(/г) Ог (й)], (5,8-32) Р (/г+ 1) = Р (>г) — у (/г) Р (й) х (й) хг()г) Р (й) (5.8-33) и у(/г) =[хт((г) р ()г) х (й) -[- р] (5.8-34) ванную на оценке параметров 0,(й) и векторе измерения х(п). Компоненты вектора у(>г) Р(й)х(й) являются весовыми коэффициентами, которые определяют величину коррекции предыдущей оценки для получения новой оценки 0,(й+ 1), Параметр р — весовой коэффициент, обычно используемый для отслеживания медленно меняющихся параметров путем реализации экспоненциального уменьшения во времени значения измеренных величин, Если р «1, наибольший весовой коэффициент получают значения, полученные на последнем дискретном периоде, и не получают значения, полученные на предыдущем периоде.
Если р = 1, точность отслеживания медленно меняющихся параметров снижается вследствие погрешности при получении и обработке экспериментальных данных. Путем подбора весового коэффициента р можно добиться компромисса между способностью к быстрой адаптации и потерей точности определения параметров. В большинстве прикладных д л, ных задач для отслеживания медленно меняющихся пара- ( 1,0. метров р обычно выбирается в пределах 0,90 р( Наконец, рассмотренный алгоритм идентификации начинается с выбора начальных значений Р(0): Р (О) = а)г„, (5.8-35) г е а — большая положительная скалярная величина, а 1,„— где а — ол тождественная матрица размерностью п Х Зп Х Зп. Начальную оценку неизвестных параметров Г(й) и б(!г) можно аппроксимировать следующими уравнениями; Г (0) 1г„ + ( д„ [х„ (0), и„(0)]( Т + ( а [х„ (О), и„ (0)]~ — , (5.8-36) б(0) = ( — [х„(0), и„(0)]~ Т+ + ( — [ „ (0) и„(0)]~ Х ( ~ [х„ (0) и„ (0)]~ Т' + + ~ [х»(0), и„(0)]~ ( ~ [х„(0), и» (0)]~ 2 .
(5.8-37) где Т вЂ” период дискретизации. Для получения требуемых корректирующих моментов, уменьшающих ошибки манипулятора по положению и скорости вдоль номинальной траектории, соответствующие законы управления могут быть построены после определения параметров Г(й) и 6(!г). Это можно сделать путем нахождения оптимального управления и *(!г), минимизирующего рабочий критерий и удов- 5.8-20: летворяющего требованиям уравнения ( . - ). Т(/г) = 1/2 [хг(/г+ 1) 11х (>г+!) + иг(>г) !хи (й)[, (5 8 38) 281 уур рр /рулль'луг/ге 0,0198 О,ООЬ В т» -0,0105 1 ф Ой 0»0257 -0,05 йоо Адаптивное устройство управление Число оеерапей умножение Число аперапай сложение 282 где б — полуположительпо определенная весовая матрица размерностью р,'>г, р, а К вЂ” положительно определенная весовая матрица размерностью пХ и.
Одношаговый рабочий критерий (уравнение (5,8-38) ) показывает, что целью оптимального управления является сведение к нулю ошибок манипулятора по положению и по скорости вдоль поминальной траектории при позиционном и скоростном управлении на дискретных интервалах. При этом одновременно достигается качество управления. Вид оптимального управления, минимизирующего функционал (уравнение (5.8-38) ) и удовлетворяющего требованиям уравнения (5.8-20), хорошо известен ]259]: ц* (й) = — 1К + бг (й) Яб (й)] б" (/г) ЯГ (/г) х (й), (5,8-39) где Г(/г) и б(й) — параметргя системы, полученные с помощью алгоритма идентификации (уравнения (5.8-32) — (5.8-34)) в й-й дискретный момент времени. Алгоритмы идентификации и управления (урав>гения (5.8-32) — (5.8-34) и (5.8-39)) не требуют сложных вычислений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
