Понтрягин Л.С. - Математическая теория оптимальных процессов (2-е издание) (955113), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Х аратишаили Рлзные задачи 234 ~гл. 4 что рассматриваемые управнення в точках разрыва непрерывны слева и (») = и (~ — 0). $у (х(г), х (» — В), и(»)) одС (Зд) принимал минимальное значение. Заметим, что пределы интегрирования в (31) не фиксированы; фиксированы лишь «краевые» условия: ~р(С) и Яд. Для однозначного определения траектории х(») уравнения (30) на отрезке г» « ~ «»д необходимо задать не только допустимое управление и(»), »» «» «1„но и начальную функцию ф~) со значениями в Х, определенную на отрезке д» вЂ” 0 «» «д». Начальную функцию Ч~ (~) мы будем предполагать непрерывной на всем отрезке д» вЂ” 0 «д «до Фукцию х(с), ааданную на отрезке 㻠— 0 «с «йд и непрерывную на всем этом отрезке, мы будем называть траекторией уравнения (30), соответствующей допустимому управлению и(Э), ~» «2 «1„и заданной начальной функции <р(~), ~» — 0 « ~ « ~„если функция х(д) на отрезке 1» = д «дд удовлетворяет уравнению (30), а на отрезке ~» — О «д « ~» совпадает с функцией <р(т).
Перейдем теперь к ф о р м у л и р о в к е оптимальной задачи, которую мы будем решать в этом параграфе. При этом мы сразу сформулируем задачу с подвижным правым концом (которая включает в себя, как частный случай, и задачу с закрепленным правым концом). Пусть дана функция (»(хд,..., х", уд,..., у", и), удовлетворяющая тем же условиям, что и функции ..., и. Пусть, кроме того, в Х задано гладкое й-мерное многообразие Яд, 0 « й « п — д, и начальная функция ф(»).
Требуется в классе допустимых управлений выбрать такое управление и (1), 1» «1 «1д, чтобы траектория х(д), ~» — 0 « ~ « ~„системы (29), соответствующая выбранному управлению и (~) и заданной начальной функции ф (~), удовлетворяла краевому условию х(1д) (-- Юд и интеграл з зц ОптимАльные пгоцессы с зАЛАздывАнием 235 Если 7'а = 1, то мы получаем задачу об оптимальных быстродействиях для систем с запаздыванием.
Если размерность многообразия Я, равна нулю, то оно превращается в точку, и мы получаем оптимальную задачу с закрепленным правым концом. Дадим теперь другую (эквивалентную) формулировку нашей оптимальной задачи, более удобную для формулировки и доказательства основного результата. Введем в рассмотрение (и + 1)-мерное фаэовое пространство Х переменной х = (ха,..., х") = (ха, х) и обоаначим через Л множество всех точек (х', х), для которых хь Я, (т. е.
Т, есть многообразие размерности е +1, являющееся прямым произведением многообразия 82 на ось ха). Тогда наша оптимальная задача эквивалентна следующей задаче (ср. стр. 20). Система уравнений движения фазовой точки х(2) = = (ха(2),..., х" (2)) имеет вид — () =~'(х(7), х(2 — З), и(7)), 7'=О, 1, ..., и, (32) или, в векторной форме, ~'„,(') =У( (2), х(2 — О), (2)). (33) 'Требуется выбрать такое допустимое управление и (2), га ( 2 ( 2ы чтобы соответствующая атому управлению и начальной функции 7р(2) = (О, <р(2)), га — О = 2 ( 8„ траектория х(2) = (хо (г), х(2)), 22 ( 2 ( 2„системы (32) удовлетворяла краевому условию х(2,)(-7 и при этом координата ха(2,) была минимальной.
Всякое допустимое управление и(2) и соответствующую траекторию х(2), удовлетворяющие сформулированным условиям, назовем оптимальными. Для решения поставленной задачи, как и раньше, введем в рассмотрение вспомогательный вектор = (7Ра,..., 7Ра) И СОСтаВИМ СнаЛЯРНУЮ ФУНКЦИЮ аа = ~Ч~~ 7р„7" = (7р, у) переменных 7ра,..., 7р„хг,..., х", а=з у',..., уа, и. Через Ж(7р, х, р) обозначим верхнюю ГРаНЬ ЗНаЧЕНИй ФУНКЦИИ аЯ ПРИ фИКСИРОВаННЫХ 7р, Х, У и при и, меняющемся на множестве 7У. РАЗНЬСВ ЗАДАЧИ ззе [гл. г Введем, далее, в рассмотрение следующие две системы уравнений для вспомогательных переменных с)сг, с(с„..., ф„: с(ф (С) доуг'" (ф (С), з (С), х (С вЂ” В), з (С)) Ыс дзс 'УУ (т(с+ )' *( + )' ()' "(с+ )) '=0 Х .. (34 дг с с=,, и; Ес)сС(С) доЯ" (ф(С), х(С), х(С вЂ” г), ч(С)) ссс дхс с'=О, 1, ..., и. (35) Мы будем говорить, что система непрерывных кусочнодифференцируемых на отрезке С, с ( сс функций с)сз((), фд(8),..., с)с„(С) соответствует функциям иЯ, Сз ( с = С„ их(с), с, — О ( с ( с„если на отрезке с, ( с ( сс — О она удовлетворяет системе (34), а на отрезке (с — 8 ( ( ( (с— системе (35).
Теперь мы можем сформулировать н е о б х о д и м о е условие оптимальности для поставленной задачи (в форме принципа максимума). Т е о р е м а 20. Пусть иЯ, сг ( г ( с„— такое допустимое управление, что соответствующая ему траектория х((), сг — О ( с ( сс, системы (32) с начальной функцией ср(с), сг — О ( с = гз, проходит в некоторый моменсп сс ) гз через некоторую точку многообразсся Х. Для оптимальности управления и(0 и соответствусощей траектории х(С) необходимо существование такой ненулевой вектор-функции с)с(С) = (фз(С), фс(С),..., ф„(С)), соответствующей функциям и(0 и х(0, что: 1' для всех с, сз ( с ( („ выполняется условие максимума оЯ (гр(с), х(с), х(с — 8), и(с))= = Ж(ср(0, х((), х(с — О)); (36) 2' в конечный момент сд выполнены соотношения с)со ((с) == 0 сд (зр (сс) т (сс) х ((с — 8)) = 0 (37) (заметим, что в силу уравнений (34), (35) мы имеем фг = сопгФ); 3' вектор (с)сс(сс),..., ф„((,)) ортогонален касательной плоскости многообразия Я„проведенной в точке х((с) = (аг((с) ° ° ° х"((с)).
Заметим, что при применении атой теоремы возникает трудность, связанная с тем обстоятельством, что неиз- О 271 ОптимАльные НРОцессы с ЗАпАздывАнием 237 вестные функции хд(1), ..., хи(1), д)дд(1),..., 7)д„(() входят в систему (32), (34) как с запаадывадощим, так и с опережающим аргументом. Для линейных систем эта трудность, очевидно, отсутствует. В случае оптимальности по быстродействию Д' = — 1) вместо функции аи( рассматривается функция Н = ~ д(1„7 а 1 переменных 7)7„..., ф„, х',..., х" у',...,у", .д; верхняя грань значений атой функции по и~ У (при фиксированных 7(д, х, у) обоаначается через М(д)д, х, у).
Заменяя в уравнениях (34), (35) функцию оУ( функцией Н, мы сможем и в этом слУчае опРеДелить фУнкЦии 7(дд((),... ..., 7)ди(7), 1, ( Ю ( 11, соответствующие функциям и(1), 1, ( ( =. (д, их(1), (е — 8 ( д'(11. После этого для случая оптимальных быстродействий сохраняется формулировка теоремы 20 с той только разницей, что функцииаЯ и Ж заменяются функциями Н и М, а условие 2' заменяется условием хди (д)д(11), х (1,), х (дд — О)) ) О. Иначе говоря, условие оптимальности по быстродействию вытекает из теоремы 20 совершенно таким же образом„ как теорема 2 получается из теоремы 1.
Доказательство теоремы 20 в общих чертах проводится по той же схеме, что и доказательство теоремы 1 (или теоремы 8). Мы проведем его, подробно отмечая те части доказательства, в которых необходимо произвести некоторые изменения, и опуская построения, ничем не отличающиеся от изложенных в главе 2. Пусть х(1) — решение уравнения (33), соответствующее допустимому управлению и(7), (а ( О ( О„и начальной функции др(д), Оо — 8 ( 1(де. Системой уравнений в вариа- 7)иях для системы (32) назовем следующую линейную систему: п 1(дхд(0) чьд ('дд( 0) (1 — О) (д)) б ° (1)+ ш дха а=о дд (х 0), х(1 — О), и (1)) б „ дуа Мы будем рассматривать такие решения системы (38) 238 РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ на отрезке га — О ( г ( 1, или на его части, которые соответствуют к у с о ч н о - не п р е р ы в я ы м начальным функциям; так как мы здесь не исключаем возможности разрыва решения в начальный момент 1м то для однозначного определения решения системы (38) необходимо задать (кроме начальной функции) начальное аначение этого решения.
Таким образом, если ч(г) — произвольная кусочно-непрерывная функция, заданная на отрезке т — О ( 1 ~ т, где т (- [1м 1,), а й — произвольныйвектор пространства Х, то решением системы (38) с начальной функцией Ч(Г) и начальным значением $ мы будем называть такую функцию бл(8) = (бхз(г), бх'(~),..., Ох"(Г)), т — О ( 8 ( 8„которая на промежутке т — О ~ 1 =.т совпадает с Ч(1), на отрезке т ( т ( 1т непрерывна и удовлетворяет системе (38) и, кроме того, удовлетворяет соотношению бх(т) = $.
Это решение мы будем обозначать символом А~ (т1, Э), т — О ( 1 ( гт. Мы условимся (при т — 0 ( ~:( ~,) считать А~ т(Ч, Ц с в я з а н н ы м вектором, исходящим из точки х(1). Таким образом, при заданных начальных элементах $ и Ч(Г), т — 0 ( т ( т, определяется векторное поле Ас,(Ч, $), т — 0 ( Г ( 1,, "мы будем говорить, что векторы А,,(Ч, $) этого поля получаются друг из друга переносом вдоль траектории л(г).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
