Понтрягин Л.С. - Математическая теория оптимальных процессов (2-е издание) (955113), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Отметим следующие легко доказываемые свойства переноса, которые нам понадобятся в дальнейшем (ср. формулы (17) гл. 2). 1. Аы, и (Ч, Ф) = $. 11. Положим т[г(г) =- А,(Ч, $), т, — О «== ~ ( т, где т (т(тг(т,; тогда А,;(ч, А, .(ч, $))=А,,(ч, $), 1п А,. (у ч +узч уЛ +Мз)= =У А, ° (ч В)+УЗАА.(ч Вз) т — 0~1~г где ут и уэ — произвольные действительные числа. 1Ч. Пусть т[г (г) — некоторая кусочно-непрерывная функция, заданная на отрезке т — О ( т ( т (где т( — [т„т,)), М вЂ” некоторая константа и й — произвольный вектор.
Пусть, далее, полуинтервалы Х, определяются так же. е зп ОптимАльные пРОцессы с ЗАпаэдывае1ием 239 как и в з 13, а Ч(1) — функция, определенная на отрезке т — 0-=. г ( т следующим образом: )'Ч(8) = зт~,(Е) + о(е) во всех точках отрезка т — 0:=:- Ю (т, не принадлежащих полуинтервалам 1,; ~ т)(1) ( ( еМ на полуинтервалах Х1. Тогда Ас, (Ч, ее + о (з)) = Ас, (еч„з$ ) + о (е), т ( г ( 11. Свойства 1 и 11 непосредственно вытека1от нэ определения символа Ас,(ч, ф). Справедливость свойства 1П на отРезке 1, =. ~ ( ~е + 0 вытекает из того, что на этом отрезке система (38) представляет собой линейную (неоднородную) систему о б ы к н о в е н н ы х дифференциальных уравнений.
На последующих отрезках длины 0 (вплоть до Г1) свойство 111 можно доказать совершенно аналогично, воспользовавшись свойством 1!. Таким же образом устанавливается и справедливость свойства 1У. Перейдем теперь к в а р и а ц и я м у п р а в л е н и й и траекторий. Пусть и(1), ~а(8(11, — допустимое управление, а л(~) — соответствующая ему траектория уравнения (33) с начальной функцией 1р(Г), 1е — 0 ( 1 ( 4„.
Правильными точками управления и(1) будут все точки его непрерывности, т. е. все, кроме конечного числа, точки отрезка ~е ( 1 «= 11. Мы условимся всякое управление и(1), й, (1~ 11, продолжать за точку Г„полагая и(Г) = иД) при Г > ~1. Важно отметить, что при атом точка 11 будет правильной точкой управления и(1). Если т — произвольная точка непрерывности управления и(1), то, каковы бы ни были действительные числа р и д, имеет место соотношение ~ ~(х(1), х(1 — О), и(1))ги= т-РРе = з (д — р)у (х (т), х (т — 0), и (т)) + о (е) (39) (ср.
формулу (1) гл. 2). Пусть теперь и(1), ~а ( Г ( 81, — допустимое управление, л(г) — соответствующая траектория уравнения (33) с начальной функцией ср(1), Г, — 0 ( 1 ~ гю а а — символ, газныв задачи 240 ~гл. 4 определяющий варьирование управления. Проварьнрованное управление обозначим через и*(1), а соответствующую этому управлению траекторию с т о й ж е начальной функцией ф1) обозначим через х*(1). (Отметим, что при любом е ) 0 траектория х*(1) представляет собой н е п р е р ы в н у ю функцию от т в силу определения решений уравнения (33).) При достаточно малом е траектория х"(1) определена на всем отрезке 1, ( 1( т, (теорема о непрерывной зависимости решения от параметров).
Покажем, что для любой точки т непрерывности управления и(~) имеет место следующая формула (ср. формулы (21), (22) гл. 2): х* (т+ ей) = х (т) + еЛх+ о (е), (40) где Лх — не зависящий от е вектор, определяемый формулой: Лх=)'(х(т), х(т — 8), и(т))й+ + ~ч~~ Аьп (О,У(х(т;), х(т; — 8), т,)— ~=! — У'(х(т;), х(т, — 8), и(т;))) йг (41) Доказательство формул (40), (41) аналогично выводу формул (21), (22) в гл. 2. Прежде всего заметим, что имеют место формулы х(т+ей) =х(т)+е~(х(т), х(т — 8), и(т)) В+о(з), (42) х*(т+еб~)=х" (т)+з~(х(т), х(т — 8), и(т)) В+о(е) (43) (при т,(т).
Эти формулы устанавливаэотся так же, как и формулы (23), (25) гл. 2 (с заменой ссылки на формулу (1) гл. 2 ссылкой на указанную выше формулу (39)). Далее, совершенно так же, как и в гл. 2, находится приращение функции хэ(1) на полуинтервале Х;: х*~г,. =еУ'(х(т;), х(т~ — 8), т,.)М;+о(е) (44) (ср.
формулу (26) гл. 2). Переходим к индуктивной проверке соотношений (40), (41). При г = 0 эти формулы справедливы (см. (42)). Предположим, что они доказаны для случая, когда число полуинтервалов 1„1„... меньше чем г, и докажем 9 гп оптимальныв шоцвссы с злсслздывднивм 24С справедливость этих формул при наличии г полуинтервалов 1„1„..., 1,.
Обозначим через )с такое цолое число, что ть-с=тдгг= =т, и тс(с, при с'=--)с (случай й = 0 не исклсочается). Заменяя точку т точкой т„число й — числом 1 д„а число г — меньшим числом )с, мы, в силу индуктивного предположения, получим из (40), (41) хг (т, + е( „,) =-х (т,) + еУ(х (т,), х (с, — 9), и (т,)) 1д, + +е ~', А,, „(О,У(х(сс), х(сс — 9),г,)— с=1 —.Х(х(тс), х(т; — 9), и(т;))) й;+о(е). (45) Это есть значение функции хг(С) в левом конце полу- интервала Х„м. Далее, так как полуинтервалы Хд~„..., Х, примыкают один к другому, то, суммируя соотношения (44) для с = й + 1,..., г и складывая полученное соотношение с соотношением (45), найдем х* (т, + е (1, + й,)) = =х(т,)+е1(х(с,), х(т,— О), и(с,)) ((дед+ йдд,+...+ОС,)+ д +е ~ Ас, с,(0, 1(х(тс), х(сс — О), о;)— с=с — 1(х(сс), х(с, — 9), и(т,))) й;+о(е) (46) (ср.
вывод формулы (28) в гл. 2; при этом ссылка на первую из формул (17) гл. 2 заменяется ссылкой на свойство 1 операции переноса, см. стр. 238). Если тд,с — — т„= с, то соотношение (46) совпадает с (40), (41). Если же с,(т, то 1,+61,=0, (д„с+Осд,с+...+Ос,=О, и соотношение (46) принимает вид х*(т,)=х(т,)+е У', Ас. дч(0, 1(х(с),х(сс — 9),гс)— с=с — Х (х (тс), х (с, — 9), и (с ))) йс + о (е) (т, ( т). (47) !гл. ! 242 глзныв злдлчи Обозначим через т)(!) функцию х*(!) — х(!), рассматриваемую на отрезке т, — 9 ( ! ( т,. Тогда (так как на отрезке т, ~ ! ( т управление иа (!) совпадает с и(!)) функцияха (!) — х(!) с точностью до о(е) является на отрезке т, — 0 ( ! ( т решением системы уравнений в вариациях (38) с начальной функцией т) (!) и начальным значением ха(т,) — х(т,) (напомним, что обе функции х(!), х*(!) непрерывны).
Иначе говоря, с точностью до о (е) векторы х* (!) — х(!) получаются друг из друга (на отрезке т, — 9 ( ! ( т) с помощью переноса: ха (!) — х (!) = Аь т (т), х*(т,) — х(т,))+ о(е), т, — 8(!=т. (48) Всюду, кроме конечного числа отрезков 1„функция т)(!), т, — 6 ( ! ( т„имеет (в силу предположения индукции) вид л т) (!)=х*(!) — х(!) = е~', Ар, ч(0, г(х(т!),х(т! — 8), о!)— !=1 — у(х(т!), х(т! — 8), и(т!))) бг!+о(е).
Поэтому, в силу свойства 1Ч (стр. 238 — 239), мы можем заменить формулу (48) формулой х*(!) — х(!)=А!... (Ч„Ц)+о(е),т,(!--т, (49) где !)г(!)=е ~ А! ч(0,у(х(т!), х(т; — 8), о!)— $=! — у(х(т!), х(т! — 8), и(т!))) бго 8 = е ~ А,, (О, 7'(х(т!), х(т! — 8), о!)— !=! — У(х (т!), х (т, — 8), и (т!))) б!! (см. (47)). В силу свойства 1Н операции переноса (стр, 238) мы можем формулу (49) переписать в виде х*(!) — х(!)=е ')~ А... (т)!!), Це) бг!+ !=! в +е 'У', А!...
(О, Ц!!) бг!+о(е), т,(г~(т, (50) !=а+1 в 271 ОПтимАЛЬНЫВ пРОцессЫ с зАПАЗДЫВАНиеМ 243 Где 2)!с (!) = А!, н (0,~(х(т!), х(т! — 6), Р!)— — у'(х(т!), х(т, — 8), и(т!))), Г, — 6(2 =т„1=1, ..., й, ф!11 = А, Н (О, ~(х (т!), х (Г! — 8), Р!)— — ~(х(т!), х(т! — 9), и(т!))), 1=1, ..., г. Яаконец, в силу свойства 11 операции переноса (стр. 238) мы получаем А1,2, (2)!в!', 9!в!1) = А! н (О, Г(х(тв), х(т! — 6), Р!)— — У(х(т!), х(т! — 9), и(т!))), 1=1,..., 1Г, а в силу свойства 1 9! =,)'(х(т!), х (т! — 6), Р!)— — у(х (т1), х(Г! — 8), п (т)), < = 6+1,..., ..
Таким образом, формула (50) принимает вид в хв(!) — х(!)=е ~ Ав 1(О,,Г'(х(т!), х(т! — 6), Р!)— 1=! — Г(х(т!), х(т! — 6), и(т1))) 6!!+о(е), т,( ! (т. В частности, прн 2 = т, х* (т) — х(т)=е ~~ А, .(О,,Г (х(т!), х(т! — 6), Р!)— 1= 1 — у (х (т1), х (т, — 6), и (т!)) ) 62! + о (е). Складывая это соотношение с соотношением (43), мы и в этом случае (т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
