Понтрягин Л.С. - Математическая теория оптимальных процессов (2-е издание) (955113), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Умножая это соотношение на (сс — 1)!с„, и суммируя ПРИМЕНЕНИЕ К ЗАДАЧАМ ПРИБЛИЖЕНИЯ 227 ь з61 по й=1, 2,..., п+1, получаем ь 1 [са + сг (а Ь) + сь (а Ь) + О + (Б — Ь) "7 д~ (*~ (~)' у (5)) Б = 0 и дх1 при любых значениях констант сю с,,..., са. Так как 66 + ЬГ(Б — Ь) +... + Са($ — Ь) ЕСТЬ П р О И З В О Л Ь- н ы й многочлен степени не более и, то мы можем объединить условия трансверсальности (24) одним требованием: Ря)дд(х'(О' у(БИ Ы$=0 дхь а для любого многочлена Р($) степени не более и.
Далее, формула (22) переписывается, в силу (25), в виде ь.хХХ. а6„6) „„ дх' и (ь) а выражение под анаком з1нп отлично от нуля; не определено, если это выражение равно нулю. Иначе говоря, почти всюду на отрезке [а, Ь) выполняется одно из соотношений: ($ г) дд(хьй) у($)) 150 дх' а (Б )адх (х Я), у(Ы) 1З Наконец, из соотношений (19) мы получаем (почти всюду на отреаке (а, Ь]). Сопоставляя все сказанное и обозначая снова хз (1) через х(г), мы получим следующее предложение. 8' 228 РАЗНЫЗ ЗАДАЧИ Т е о р е м а 19.
Пусть функция Р(х, у) и у (!) имеют непрерывные первые производные. Для того чтобы функция х(2) являлась решением основной задачи, необходимо, чтобы почти всюду на отрезке [а, Ь) выполнялось одно из соотношений (З ~)ь дР(х($), Р($)) ЦЗ дх а ! ! е и, кроме того, чтобы для любого многочлена Р(2) сте- пени не более и выполнялось условие Р (,) дР (* И, Р (!)) а дв а П р и м е р (задача о нахождении профиля дороги). Рассматривая функционал (9*), мы при и = О приходим к следующей задаче. Дана дифференцируемая на отрезке [а, Ы функция у(2) и число сс ) О.
Найти такую функцию х(с), удовлетворяющую условию Л"ипшица с константой а, для которой интеграл (9*) принимает наименьшее возможное значение. Эту задачу можно интерпретировать следующим образом. Между двумя пунктами А и В нужно провести дорогу, причем рельеф местности между этими пунктами задан (функция у(!)), а по условиям эксплуатации дороги уклон пути в любой точке не должен быть больше сс, т.
е. продольный раареэ дороги (профиль ее) должен описываться функцией, удовлетворяющей условию Липшица с константой и. Для достижения этой цели можно либо прокладывать дорогу по местности, либо сооружать насыпь, либо прорывать траншею для дороги. Если х(!) — проектируемый профиль дороги, то стоимость земляных работ (сооружение насыпей для участков, где х(2) ) у(~), и траншей для участков, где х(г) ( (у(!)) пусть оценивается интегралом (9в). Найти наиболее выгодный (в смысле материальных затрат) профиль дороги, З ЗС] ПРИМЕНЕНИЕ К ЗАДАЧАМ ПРИБЛИЖЕНИЯ 229 Решение этой задачи существует и единственно (теорема 18). Для того чтобы функция х(]) являлась искомым решением, необходимо (в силу теоремы 19), чтобы почти всюду на отрезке [а, Ь] выполнялось одно иа соотношений ~ [х ($) — у ($)] ]]$ = О, а /! х' (]) = а З1 кп ~ ~ [х (Е) — у ($)] с]Е ], а (26) (27) и, кроме того, чтобы было выполнено условие $ [х(]) — у(г)]]й=О.
а (28) Если на некотором отрезке, содержащемся внутри (а, Ь], выполнено соотношение (26), то на этом отрезке х(]) = — у (г), т. е. дорогу следует прокладывать прямо по местности. Если же на некотором отреаке выполнено соотношение (27), то в точках этого отревка х'(1) = -+- а, Рис. 8]. так что на этом участке дорога состоит иа одного или нескольких кусков с уклоном а или — а. Таким образом, общая характеристика дороги заключается в том, что она состоит иа отдельных кусков, проложенных по местности, и кусков максимально допустимого уклона, идущих по насыпям или в траншеях. Пусть, например, пункты А и В расположены на ровной местности, на которой между пунктами А и В имеется углубление (скажем, овраг, который дорога должна пересечь), так что разрез местности по линии АВ имеет вид, изображенный на рис.
81. Мы будем считать изображенную на рис. 81 линию графиком функции у (1), 2ЗО РАзныв задачи !гл. 4 предполагая, что ось абсцисс совпадает с прямой АВ, а абсциссы точек А и В равны соответственно а и Ь. Стенки оврага мы предположим крутыми (имеющими уклон ) и). Функцию, график которой представляет собой искомый профиль дороги, обозначим, как и выше, уФ Рис. 82.
череа х(г). Легко видеть, что х(г) ~ О для всех г. Действительно, если х(г ) ) О, то, в силу непрерывности у(1) Рис. 83. функции х(2), неравенство х(г) ) О будет иметь место и в некоторой окрестности точки ~'. Поатому, несколько сместив, если нужно, точку с', мы можем добиться выполпения неравенств х(с )) О, ~ (х(с) — у(с))Нг~О. Если О имеет место неравенство ) (х(с) — у (г)) Ю ) О, то, 4 261 ПРИМЕНЕНИЕ К ЗАДАЧАМ ПРИБЛИЖЕНИЯ 23$ в силу (27), х' (!) = + с!при 2 =- г' (рис.
82), и потому ~ (х (8) — у (ю)) !й = ~ (х (г) — у (8)) !й + $ (х (г) — у (е)) гй ) О, а а г что противоречит соотношению (28). Если же имеет место !' неравенство ~ (х(!) — у(г)) !й< О, то, в силу (27), х'(!) = а = — и при г ~ г' (рис. 83), а это означает, что х(~) ) у (г) !' при а ~ 2 ( ! — вопреки неравенству ~ (х (а) — у (!)) !й (О. Рис. 84. Полученное противоречие показывает, что х(~) = 0 для всех 8. Предположим теперь, что в некоторой точке выполнено неравенство х(~') (у(~'). Если при этом !' ~(х(~) — у(~)) !й(0, то при ~ ) ~' дорога спускается а с уклоном и (т.
е. х'(!) = — и)до тех пор, пока неравенство ) (х(~) — у(!)) !й(0 не нарушается. При этом а графики функций х(~) и у(!) обязательно должны пересечься при т ) ~', ибо в противном случае мы имели бы РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ х(~) а, у(~) при всех ь ) У (рис. 84), и потому ь ь $(х(С) у(~)) й=$(х(г) — у(С))й+$(х(Ю) — у(К)) й(О а а вопреки соотношению (28). Аналогично, если выполнены Р неравенства х(ь')(у(у) и ~(х(Е) — у(Е))ьй)О, то при а а О Ь Рис. 85. 8 ( ~' дорога подходит к точке ~', поднимаясь с уклоном сь (т. е.
х' (г) = +а), причем при з ( у обязательно имеется точка пересечения графиков х(~) и у(~). х(Ц,' у(г) Рис. 88. Все сказанное позволяет отыскивать функцию х(З) для различных графиков у(г). Примеры приведены на рис. 85, 86. При этом для определения точки ~ь и аначения х(~ь) на рис. 85 мы имеем соотношения б ь ) (х(1) — у (ь)) ьй = О, )(х(1) — у (()) ьй= О, а ь а для определения точек 8, и ~ь на рис. 86 имеем соотношения ь $ (х (С) — у (Ю)) сй = — О, ((х (Ю) — у (с)) <й =- О. а 1 ° Разумеется, рассмотренные на приведенных рисунках случаи очень просты.
Они были подробно изучены лишь «»П ОптимАльные пгоцессы с ЕАНАздывАнием 333 с единственной целью — показать, что соотношений (26), (27), (28) (а в общем случае — соотношений, указанных в теореме 19), вообще говоря, «достаточно» для нахождения искомой функции х(г). $ 27. Оптимальные процессы с запаздыванием е) В ряде случаев аадача оптимального управления осложняется эффектом запаадывания.
Запаздывание может возникать в связи с затратой времени на передачу сигнала или, как это бывает чаще, вызывается упрощающими явление предположениями, в силу которых считают, что действие промежуточных и усиливающих звеньев в управляемом объекте сводится к передаче сигнала с запаздыванием. Довольно обширный круг технических задач этого рода укладывается в следующую математическую схему. Двиясение объекта описывается в фазовом пространстве Х переменных х',..., х" системой уравнений ~"' ~'> ус( ' (с), ..., х" В с (с — Е), ..., х" (с — в), и (»)), с=т, ..., л, д=сопзс)0, (29) илн, в векторной форме, = Г (х (1), х (г — 3), и (г)). (30) Таким образом, эапаадывающий аргумент содержится только в фазовых координатах и отсутствует в управлении.
Функции )с(хс,..., х", р',..., у", и) предполагаются непрерывными по совокупности своих аргументов и непрерывно дифференцируемыми по хг, ..., х", уг,...,у". д(с дсс Иначе говоря, функции 7с, — ~, --Г определены и непрерывны на прямом произведении Х х Х х У. В качестве класса Р допустимых управлений мы примем класс всех кусочно-непрерывных управлений со значениями в У (нли некоторый его подкласс); см4 »0. Как и прежде, мы будем для определенности предполагать, «) Результаты »того параграфа прииадлежат Г.Л.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
