Понтрягин Л.С. - Математическая теория оптимальных процессов (2-е издание) (955113), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Поэтому мы часто будем отсылать читателя к предыдущему параграфу, проводя подробно лишь существенно новые построения. Итак, нам нужно решить уравнение 11 в — + ~~ ап (о, х) — Д--+ ~) Ьо (о, х) —, = 0 (146) 1, 1=1 1=! з 22! Вычисление ФункциОЫАлА г В Овщем случАе 379 с начальным условием Ф'(т,й, т) = О. (153) Для того чтобы получить это специальное решение, как и в 3 41, перейдем с помощью линейного преобразования откоординат$', $2, ..., $" к координатам 92, $'," ьы в которых уравнение (152) запишется следующим образом: зо -' — "+ Лц, =О.
Такое преобразование координат теперь уже зависит от параметра О. Тогда сфера Я, перейдет в эллипсоид Ю, Лг(6) (92)2+... + Л" (8)(9")2 = ег, (154) причем Л'(О), ..., Л" (О) — собственные значения матрицы (а" ( О, 2( О))). Почти буквальным повторением рассуждений предыдущего параграфа доказывается следующее предложение. Л е м и а 1'. Исчезающее в бесконечности решение внешней задачи Дирихле для уравнения дгэ агг ,(... >.,=о 845' ' " арг с граничным условием г(з)~йе г где Яе — эллипсоид (154), имеет вид УЯ) зл.г ( ) + п(9 3) "- й) Здесь а (О) — положительная константа, гладко зависящая от параметра О и однозначно определяемая размерами эллипсоида Зг; г (9) = )' (92)2 + ...
)-Д")2, а функция и (9, е) и ее производные оцениваются неравенствами (48). Доказательство этой леммы не нуждается в пояснениях. Константа а (О) вычисляется по формуле (61), если нод Я понимать эллипсоид Л'(В) (21')2+... + Л" (6) (2)')' = 1. одна стАтистичвская зздАчз 380 [гл. т Введем функцию ав (о, ц, т, т)) по формуле (63) и положим тр*' (о $ т) = е" ' + яЯ, е)— "- й) — $ а (о, $, т, т)) [е" в + п(т), з)[ т(т), или иначе ,р*в,рв [ б, *в где Очевидно, что функция трзв (о, ~, т) является решением уравнения (в52) и удовлетворяет нулевому начальному условию: !р," (т, $, т) = О.
а ~Ч~а!В(9, г(9))а в(9,з(9)) = В,',. 3=! Тогда трв(о,$,т) = е" '— а (8) с а ас (8, в (В)) Зтс)~ в, т=! — ав(о $,т,т))е" ' ( ) Р ( )" ( )„з вт'т),(155) а 1 2 ат! (8, в (8)) Чтят~ с т=! Перейдем теперь от координат Ет, Р, ..., $ к координатам зт, зв, ..., $ . Пусть при этом функции врбв (о, К, т), врв, бврав, яв перейдут соответственно в функции врат (о, з, т), р. бр!, а'. Мы можем выписать функцию вр, '(о, $, т) в явном виде. Обозначим, как и раньше, через а! (б, г (0)) элементы матрицы, обратной матрице (а" (О, г (О))): Е 42! ВЫЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИОНАЛА Ю В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ 33$ у'(о $ т, Ч) = ехр и с л и ал (В, г (е)) (т)! — е!) (т!! — е/) 1 (156) 4(т — о) (4я(т — о)]' Рассмотрим теперь функцию фоа (о, $, т), т.
е. построен- ную функцию при значении параметра 6, равном о. Функ- ция фо (о, $, т) уже нв удовлетворяет уравнению (152), в коэффициентах которого вместо 9 подставлено о. Однако, очевидно, справедлива следующая Л е м м а 2'. Функция фф'(о, $, т) = <ра (о, $, т) + бфва, где фа определена формулами (155), (156), являетея ретие- нием дифференциального уравнения т, т=! и имеет нулевое начальное значение: !р",'(т, $, т) = О. Теперь, как и в предыдущем параграфе, мы можем искать специальное решение уравнения (149), имеющее нулевые начальные значения, в следующем виде: Ф*(о,$,т) = !р,'а(о,$,т)+ !р,'(о,$,т), гдв фба (о, $, т) — только что построенная функция, а ф! — пока неиавестная функция.
Подставляя Ф* (о, $, т) в уравнение (149) и учитывая лемму 2', получим для фт(о, ь, т) неоднородное параболическое уравнение: и т, т=! +,'. (д'( ~+ г ( )) —" (о)) —,,'; = т=! и = — ( 2 ! "! .т-!.! ! — "!,.!.!!!~" и! '-!- т,! ! +Х(д (г(о) т+г(о)) гк( ))дфта(о $ )+ т=! +,эе(фо (о~ $~т))(г-а (157) ОДНА СТАТИСТИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА 1ГЛ. 7 и начальное условие 1р', (т, $, т) = О. Так как правая часть уравнения (157) имеет при $ = О полюс порядка лишь и (а не и + 1), то мы можем почти буквально повторить все рассуждения предьгдущего параграфа и докааать леммы, аналогичные леммам 3, 5, 6. Лемма, соответствующая лемме 6, формулируется теперь следующим образом: Л е м м а 6'.
Функция ф (О, $, С) = 1Ра (С, $, Т) + + ~ аг ~ р (с, $ + г (с), г, Ч + г (г))~ 2 1 (ау (г, Ч + г (г))— а ач ач' и +,~~И'(г,Ч+ ( )) — "(г)! ~" ("„",' + 1аи +--ЕЮ(г Ч* Н~,=, дЧ где ца (о„ь, т) определена формулой (155), при ~ $ () га (гав произвольное положительное число, не зависящее 'от е) с точностью до величин порядка малости о (е" г) аппраксимирует решение ц (с, 5, т) уравнения (149), удовлетворяю1цее начальным и граничным условиям (150), (151). Чтобы сформулировать теперь окончательный результат, мы вновь должны перейти к координатам х и у по формулам (32), (33). Тогда иа леммы 6' следует теорема, аналогичная теореме 26 предыдущего параграфа. Мы не будем здесь выписывать окончательные формулы, так как при желании читатель легко может сделать зто сам.
ЛИТЕРАТУРА К главе 1. 1. Б е л л м а к Р., Динамическое программирование, ИЛ, 1960. 2. Беллмак Р., ГликсбергИ., Гросс О., Некоторыевопросы математической теории пропессов управлевия, ИЛ, 1962. 3. Болтяисний В. Г., Гамкрелидве Р. В., Поит р я гик Л. С., К теории оптимальных процессов, ДАН СССР, 110, № 1 (1956), стр. 7 — 10. 4. Б оп т я повий В. Г., Привципмаксимумавтеорииоптимальных процессов, ДАН СССР, М9, № 6 (1958), стр. 1070 — 1073. 5, Болтянский В. Г., Гамкрелидзе Р. В., Поит р я г и и Л.
С., Теория оптимальвых процессов. Принцип максимума, Иав. АН СССР, серия матем., 24, № 1 (1960), стр. 3 — 42. 6. Болтянский В. Г., Гамкрелидае Р. В., Мищенко В. Ф., Понтрягин Л. С.,Прииципмаксимума в теории оптимальиых процессов, Первый конгресс ИФАК, 1960. ?. Г ам к р ел ид а е Р. В., К общей теории оптимальных процессов, ДАН СССР, 123, № 2 (1958), стр. 223 — 226.
8. К расовскийН. Н., К теорииоптимальиогорегулирования, Автоматика и телемехаяика, 18, № 11 (1957), стр. 960 — 970. 9. По и т р я г и и Л. С., Оптимальные процессы регулирования, Успехи матем. наук, 14, вып. 1 (1959), стр. 3 — 20. 10. Р о з о и о э р Л. И., Првицип максимума Л. С. Повтрягииа в теории оптимальных систем, Автоматика и телемеханика, 20, №№ 10 — 12 (1959), стр.
1320 — 1334, 1441 — 1458, 1561 — 1578. К главе 2. См. [4], [5]> [7], [9]. К главе 3, См. [2], [6], [9]. 11. Б о л т я и с к и й В. Г., Моделирование линейных оптимальных быстродействий при помощи репейных схем, ДАН СССР, 139, № 2 (1961), стр. 19 — 22. 12. В и а )т а тг П. %., РЬ. В. Тйее1а, Пераг1шепс о1 Ма1Ь., Рппсегоп ()п(т., 1952. 13. Г а ик реп идее Р. В., К теории оптимальных процессов в линейных системах, ДАН СССР, 116, № 1 (1957), стр.
9 — 11. литкРАТРРА 14. Г а м к р е л и д з е Р. В., Теория оптимальных по быстродействию процессов в линейных системах, Иав. АН СССР, серия матем., 22, № 4 (1958), стр. 449 — 474. 15. Ь а 8 а ! 1е У. Р., ТЬе Типе Ор!!ша! Соп!го! РгоЫеш, Сопзг(- ЬпИопз !о 1Ье ТЬеогу о1 НопНпеаг ОзсН!аИопз, г', Рппсе!оп, 1959. 16.
Ф ел ьд б а ум А. А., О синтезе оптимальных систем с помощью фааового пространства, Автоматика и телемехаиика, 16, № 2 (1955), стр. 129 — 149. К главе 4. См. (5). 17, Болтянский В, Г., Оптимальиые процессы с параметрами, Доклады Ак. наук Узб. ССР, № 10 (1959), стр.
9 — 13. 18. Б о л т я ко к и й В. Г., Примеиеииетеорииоптимальвыхпроцессов к задачам приближения функций, Труды Метем. ии-та им. В. А. Стеклова, 60, стр. 82 — 95. 19. Х а р а т и ш в и л и Г. Л., Принцип максимума в теории оптимальных процессов с аапаздываиием, ДАН СССР, 136, № 1 (1961), стр.
39 — 42. К главе 5. 20. Б л и с Г. А., Лекции по вариационному исчислению, ИЛ, 1950. 21. М с 8 Ь а и е, Оп Мп11!р!!егз 1ог Ьабгапбе РгоЫеш, Ашег. Хоигп. МагЬ., 61 (1939), стр. 809 — 819. К главе 6. 22. Г а ми р ел и две Р. В., Оптимальные по быстродействию процессы при ограниченных фааовых координатах, ДАН СССР, 125, № 3 (1959), стр. 475 †4. 23. !' а м к р е л и д а е Р.
В., Оптимальные процессы управления при огракичевиых фазовых координатах, Изв. АН СССР, серия матем., 24, № 3 (1960), стр. 315 — 356. 24. Л е р я е р А. Я., О предельном быстродействии систем автоматического управления, Автоматика и телемехаиика, 15, № 6 (1954), стр.
4И вЂ” 477. 25. Р о з е и м а и Е. А., О предельном быстродействии следящих систем с ограниченным по мощности, моменту и скорости исполнительиым злемеитом, Автоматика и телемехаиика, 19, № 7 (1958), стр. 633 — 653. К главе 7. 26. К о 1 ш о 6 о г о 11 А., НЬег 6!е апа1уИзсЬеп Ме!Ьодеп !и бег %аЬгзсЬе!пНсЬЬе!1згесЬпппб, МазЬ. Апп., 104 (1931), стр. 415 — 458. 27. М и щ е и к о Е. Ф., П о и т р я г и и Л.
С., Одна статистическая задача оптимального управлеиия, ДАН СССР, 128, № 5 (1959), стр. 890 — 892. 28. М и щ е н к о Е. Ф., П о и т р я г и и Л. С., Об одной статистической задаче оптимального управления, Изв. АН СССР, серия матем., 25 (1961), стр. 477 — 498. 29. Колмогоров А. Н., Мищенко Е. Ф., Поитряг и к Л. С., Об одной вероятностной задаче оптимального управления, ДАН СССР, 145, № 5 (1962), стр. 993 †9. .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
