Понтрягин Л.С. - Математическая теория оптимальных процессов (2-е издание) (955113), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Отметим сразу, что формула (28) справедлива лишь при и ) 2. До конца настоящей главы мы предполагаем, что размерность фазового пространства В больше двух: и ) 2. 4 41. Вычисление функционала У в случае, когда уравнение Колмогорова имеет постоянные коэффициенты В этом параграфе вероятность «р (а, х, т) и, следовательно, функционал (16) будут приближенно вычислены для одного важного частного случая, а именно для случая, когда уравнение (25) имеет постоянные ковффициен1пы. В процессе вычисления будут использованы некоторые факты из теории интегральных уравнений, а также понятие потенциала двойного слоя. Все это читатель может найти в учебниках по теории дифференциальных уравнений с частными производными, например в книге: г 10 вычислении ФункционглА ю в чАстном случАе 355 (32) г=$+г(с), О-=Ф(г, так что х = $+ г(а), у = ц + г (г). (33) При таком преобразовании координат сфера Ясс перейдет в сферу Я„определяемую уравнением (гс)г+ (гз)з+...
+ (г~)г = зг. (34) Положим ср(о, $, ):— ф(о, $+г( ), ). (35) Для функции ср (о, $, т) сразу же получаем дифференциальное уравнение А Н вЂ” "'+ у а*" -7-;+ у,(Ь1 — го(ОЦ3=~ (38) С, 1-1 1=1 и условия (37) (38) ср(т, $, т) =О, ср (сс, $, т) /з = 1. С. Л. С о б о л е в, «Уравнения математической физики», Гостехиздат, М., 1954. В соответствующих местах мы приводим нужные определения и формулировки используемых теорем.
Итак, мы будем решать уравнение а 3Ъ 1, 1 1 1 1 (где а", Ь' — постоянные коэффициенты) при начальных и граничных условиях (26), (27), которые в дальнейшем мы будем записывать в виде ф (т, х, т) = О, (30) с)с(о, х, т) !з =1; (3$) через Яс мы обозначаем сферу радиуса з с центром в точке г (1). Прежде всего перейдем от этой задачи к задаче с граничным условием на сфере радиуса з с центром в начале координат. Для атой цели в пространстве (г, ~) введем новые координаты по формулам 356 однА стАтистичвскАя зАдАчА ~гл, в Для того чтобы решить уравнение (36) при условиях (37), (38), нужны некоторые вспомогательные построения. Нашим первым шагом будет построение некоторого спепиального решения уравнения дЧ'о %' М д Фз до+ ~е а дрд4~ с у=1 (39) с начальным условием ~рз (т, 6, т) =- О.
(40) От координат $', ..., $" перейдем специальным линейным преобразованием к координатам $', ..., Г еь1 ее и р ее о (41) в которых уравнение (39) имеет вид д~ро „+Ар.=О (42) где й — оператор Лапласа. При таком преобразовании координат сфера Яе перейдет, очевидно, в эллипсоид Я, с уравнением 7„1 ($1)з+ + )„о ($~)з = ез (43) где (44) Л",...,Х" с зраничным условием о($) ~в =1 (46) на зллинсоиде (43) имеет вид о($)=е" ' +я($, е), ~о-В ($) (47) — собственные значения матрицы (а"). Докажем сначала следующее предложение.
Л е м м а 1. Исчезающее в бесконечности решение внешней задачи Дирихле для уравнения — дзу дзр йо= — =+... +,=О д$1~ дф'~ $40 вычисление ФункциОнАлА х в чАстном случАе 357 При доказательстве этой леммы нам понадобится понятие потенциала двойного слоя. Напомним читателю определение этого потенциала, а также некоторые его свойства. Пусть Я вЂ” гладкая аамкнутая поверхность, расположенная в и-мерном пространстве, и х = (ха, ..., х")— точка вне поверхности Я. Координаты точек, лежащих на поверхности Я, мы всегда будем обозначать через у', ..., у". Положим р (х, у) =)~ (х' — у)г+... +(х" — у")г. (49) Функция д~ — — г~ д Р(У) (50) Я д где — обозначает производную по внешней нормали к подл верхности Я, называется потенциалом двойного слоя, создаваемым поверхностью Я в точке х, а функция р (у) — его плотностью.
Легко доказываются следующие свойства потенциала двойного слоя: 1. ВС4оду вне поверхности Я функция и (х) является гармонической: 44п (х) = О. (51) 2. Потенциал двойного слоя имеет смысл, если вместо х подставить любую точку у поверхности Я. Величину функции и (х) на поверхности Я будем обозначать через пг (у). 3. Функция и (х) имеет предел при стремлении точки х к любой точке поверхности Ю извне. Если этот предел где и — положительная константа, одногначно определяемая рагмерами эллипсоида (43); т (э) — расстояние от точки $ до нач ла координат; у)ункция я (э, е) при ) Д ( 1 удовлетворяет следующим неравенствам: ~п(~, е)~(М ' д п(~, е)~(М вЂ” '„(48) ,э-4(-,), д,-( ., г-(5), 4=1, ..., и (М=сопз1).
одна статистичкская задача ~гл. 7 обоаначать череа л, (у), то имеет место формула л,(у)= — у(п)р(у)+л,(у), у(п)=сопз1)0. (52) л (х) =(л — 2) р (у) Щ сБ. Р" ' Все эти свойства непосредственно выводятся из определения потенциала двойного слоя. Доказательства читатель может провести сам или прочесть их в каком-либо учебнике по теории уравнений с частными производными, например, в цитированной книге С.
Л. Соболева. Доказательство леммы 1. Будем искать решение уравнения (45) с граничным условием (46) в следующем виде: (53) где а — пока неопределенная константа, а л Я) — потенциал двойного слоя, создаваемый эллипсоидом (43) в точке $ с неизвестной пока плотностью р (7)) (через 7) мы обозначаем координаты точек, лежащих на эллипсоиде Ю,).
Так как л Д), в силу свойства $, является решением уравнения (45), а функция $ " ' ($) также удовлетворяет уравнению (45) (что легко проверить простым дифференцированием), то функция и Д), определяемая формулой (53), удовлетворяет уравнению (45). Граничное условие (46) дает нам еп-в л, (7)) =1 — а Г" ~(71) (54) 4. Обозначим через ~Р (л, р) угол, составленный направлением внешней нормали в произвольной точке у поверхности Я с радиусом-вектором р, проведенным из этой точки у в точку л.
Тогда потенциал двойного слоя может быть представлен в виде з м) Вычисление ФункционАлА г В чАстнОм случАЙ 350 для любого ~~Я,. Но, в силу свойства 3, по формуле (52) имеем: — 7(п))е(Ч)+ и (Ч)=1 — а . (55) Вводя обозначения: — (о — 2) сое <р — — - 1 К(Ч Че)= ( ) — — е Ч>Чеб~е~ т о ~ее(Ч Ф(„)- — '( " ' — 1~, (56) получаем неоднородное интегральное уравнение для не- известной плотности р (Ч): (57) у(Ч) = ~ К(ЧИЧ) )А(Че) гео,. в, (58) Докааательство этой теоремы читатель может найти в уяге цитированной книге. Там же докааано, что если ядро К (Ч, Ч,) определяется формулой (56), то уравнение (58) имеет только одну собственную функцию. Обозначим эту функцию через ть (Ч) и будем считать ее иавестной. Условие ортонональности, о котором идет речь в формулировке теоремы Фредгольма, дает воаможность определить аначение константы а, при котором уравнение (57) разрешимо относительно )е (Ч).
Уравнение (57) является интегральн м уравнением Фредгольма второго рода. Для таких уравнений имеет место Теорема Ф р е д г о л ь м а. Для рагрешимести уравнения (57) необходимо и достаточно, чпеобы его свободный член был ортогонален ко всем собственным функциям сопрялсенного однородного интегрального уравнения 360 ~гл. т ОднА стАтистячнскАН 3АдАчА В самом деле, запишем это условие ортогональности: — ~ [а — 1~ то(Ч) оЫ,=О. зе Отсюда )то(Ч) еете (59) „, С о(Ч) о" оное „, ейе з В атой формуле величина а, казалось бы, зависит от е. Зависимость эта, однако, лишь кажущаяся. В самом деле, обозначим через Я эллипсоид У (Ч')' +)ео(Ч')' + ...
+)о"(т)")' = 1, (60) получающийся из эллипсоида Я, увеличением всех осей ( в — раз. Мы без труда обнаружим, что ~то (Ч) еео з а= (61) то (Ч) 1,-- е(К г" '(Ч) 3 Таким образом, число а не зависит от е и полностью определяется собственными значениями матрицы (ам). В формуле (61) под то (Ч) мы понимаем собственную функцию интегрального уравнения (58), записанного для поверхности Х Итак, функция и ф), заданная формулой (53) (см. (47)) при значении а, определяемом из (61),является решением задачи (45), (46). Неравенства (48) могут быть доказаны на основании более подробного изучения свойств потенциала двойного слоя п($), определяемого формулой (50).
$ тн Вычисление ФункционАлА э В чАстном случАН 361 ди дел дэй — — +...+ ==О. да дрз ' ' а~из (62) Известно, что зто фундаментальное решение имеет сле- дующее явное выражение: у(а, $, т, т))= ехр( 4 — а)) (63) (4Л (т — а)) з Полая<им теперь фэ(а, $, т)=е" ' +л(з, е)— Го ЗЯ) — $ д(а, В, т, Чф"-з + Я(Ч, е)1 гц, (64) или иначе фо(о' $ т)=фа(а, з, т)+б(р,*(а, $,т), (65) где ф,(а, $,т)=е ' — ~д(а, З,т, ц)е" ' Ыц. (66) ~" 'Й) д ~" 'Й) Очевидно, что функция ~р3 (а, $, т) является решением уравнения (62) и удовлетворяет начальному условию <р,'(а, $, т)=0 при а=т.
(67) Перейдем теперь от координат $', ..., $" к координатам $т, ..., $Ч. Докааанная лемма будет использована позже. Сейчас же мы воспользуемся лишь константой а, определенной в ходе доказательства леммы. Константу а мы назовем размером эллииеоида (60); размер зллипсоида, таким образом, гладко зависит от собственных значений матрицы (а"). Переходим к построению одного специального решения уравнения (39), удовлетворяющего начальному условию (40). Обозначим через я (а, $, т, т)) фундаментальное решение и-мерного уравнения теплопроводности однА стАтистичвскАя зАдАчА 1гл. 1 362 Пусть при этом функции рб(.,~,.), ~.(., Ь,.), брб(.,Ь.), б(, Ь., ц) перейдут соответственно в функции 1ро (о, 5, т), 1аа (о, $, т), 61рз (о $, т), д (с, $, т, 1)).
Нам впоследствии понадобится явное выражение для функции ~рз (о, $, т). Чтобы выписать его, надо знать, как запишутся в координатах $', ..., $" функции г ($) и А (о, $, т, т~). Но это легко выяснить. В самом деле, обозначим через а„ элементы матрицы, обратной матрице (а"), так что а"а, =61. Х ГИ А' 1=1 (68) Тогда без труда можно убедиться, что . а~= ( х .Зт)'. 1 и 12 (Ч вЂ” $(=~ Х „(ц1 — ~')(ц' — й~ 11,;=1 (69) Учтем еще, что Ж=~ ОР;.;Рып. (70) ре(о,~, )= -' ( 2 "гг) — д(о, $, т, ц) е" 2, а ' ' ',„2й), (7$) а11211212~ 2 1,ф 1 ! Таким образом, функция ~р, (о, $, т) имеет следующее явное выражение: 446 вычислвнив атнкциопяля вв частном слгчяв дсд где у(о $ т,ц)= с о ~ вц()с — ~с)(ча — 44) ь с=с ехр (72) 4 (т — о) (4я(т — о)) з Итак, доказана следующая Л ем м а 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
