Понтрягин Л.С. - Математическая теория оптимальных процессов (2-е издание) (955113), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Далее, будем иметь в виду следующее неравенство: д(о $ т Ч)~р(о $ т Ч). (121) Тогда из формулы (118) получаем: г(о, $, т)(у(е)+ ~ еЬ ~ р(о, $, г, ц) е" е „„,' е(е)+ е кв + 1 е(г '1 р(о, $, г, т)) е" ' „' ) е1ц. (122) Интегралы, стоящие в правой части неравенства (122), обозначим соответственно через Хы 1,. Оценим отдельно величины Х и Х . Мы имеем: 1,<" А,ев ' " ~ еЬ 1 р(о, $, г, е)) „, е(ц( ( А,е" —" -' ~ Ф (а, $, г) еЬ.
в (123) Нам остается, таким образом, оценить лишь функцию У (О ВЬ т) Прн ~ез~ ) ГВ. СНаЧаЛа ЗаМЕтИМ, ЧтО однА стАтистнчискАя 3АдАчА и'Л. 7 Принимая во внимание неравенство (102), отсюда сразу же получаем: 7 (4С еа — Я вЂ” т~йг (124) 1 сн — т(ц где 0 ( т ( 1. Следовательно, прн т — о ( е имеет место оценка 7,(М'"„', ', (125) г (Ц т.
е. (126) Т,=о(е" ') при ~ З) ) гг. Аналогично получим: 1г=о(е" ') (127) при ~ $! ) гг. Таким образом, функция о (о, $, т), мажорирующая на границе сферы Я, решение и1 (о, $, т) при ! $ ! ) гг и при т — о ( е, имеет порядок о (е" '). Отсюда следует, что и само решение и, (о, $, т) прн т — о ( е и при ~ з ! ) гг имеет порядок о (е" '). Несколько изменяя предыдущее построение, можно легко убедиться в том, что такая же оценка для й, (о, з, т) имеет место н при т — о ) е.
Лемма доказана. Теперь мы можем доказать, что функция Фв (о, $, т), фигурирующая в формулировке леммы 3, вне сферы любого конечного радиуса с точностью до величин порядка о (е"-') аппраксимирует решение задачи (36), (37), (38). Иными словами, справедлива следующая Л е м и а 5. Пусть <р (о, $, т) — решение уравнения (36), удовлетворяющее начальным и граничным условиям (37), (38), а Фв (о, ьь, т) — решение уравнения (36), определенное в лемме 3. Тогда дяя любого гг, не гоаисящего от е, при ) $! ) гг решение Ф* (о, $, т) с точностью до величин порядка о (е" г) аппраксимирует решение ~р (о, $, т): ~р(о, $, т) — Ф*(о, $, т) =о(е" г).
(128) Доказательство. Обозначим через и(о, $, т) разность функций ~р и Фв: и (о, $, т) = у (о, $, т) — Ф* (о, $, т). (129) з зи Вычисленив ФункциОКАлА з В чАстном случАИ 373 Функция и (и, $, т) является решением уравнения (36) и удовлетворяет нулевому начальному условию. Далее, из формулы (80) видно, что граничные аначения функции и (О, $, т) на сфере Я, совпадают с граничными аначениями функции у (и, $, т) — ~р3 (О, $, т). Оценим эти последние.
Для этого аапишем разность ~р — уз в следующем виде: ~р (о, $, т) — р,' (а, $, т) = = ~~р (О, $, т) — ~е" ' + и ($, е)1)— — ~ «(и, $, т, ц)~е" т +п(ти е)1оц (130) г" '(Ч) (см. формулу (64)). Граничные значения слагаемого заключенного в фигурные скобки в правой части формулы (130), равны нулю. Остается, таким образом, оценить лишь граничные значения второго слагаемого на сфере Я, (в координатах а1, ..., з" — на эллипсоиде Я,).
Так как для потенциала двойного слоя я ($, е) имеет место оценка (48), то, очевидно, мы получим: ~л(п, $, т, Ч)~зч-т +п(Ч, з)1(Ч~- ~ А,е" тюе т(п, $, т)+ А,е" 'Ф„,(о, $, т), (131) гдеА,иА, — постоянные, а ю„,не„, — функции, определенные формулой (88) соответственно при л = и — 2, к = и — 1. Используя теперь неравенства (90) и (91), сразу же получаем, что граничные значения второго слагаемого в формуле (130), а следовательно, и граничные значения и (и, т) функции и (О, $, т) удовлетворяют условиям леммы 4.
Следовательно, на основании леммы 4 об оценке решений параболического уравнения мы можем заключить, что соотношение (128) справедливо. Лемма 5, таким образом, доказана. Теперь нам остается лишь упростить полученное приближенное решение Ф* (и, $, т), отбросив в нем величины, имеющие при )$ ~ ) го порядок о (з" '). Чтобы сделать это, выпишем решение Ф* (а, $, т) в явном виде.
Вспоминая формулы (63), (64), (65), (75), (80), мы можем 374 ОднА стАТистическАя ЗАдАчА ИГЛ. 1 написать: Ф'(о, $, т) = 1ре(о, $, т)+61р,'(о, $, т)+ + ~ (г ~ 17е (о, Е, г, Ч) ~е (Ь1 — ге (гЦ Х а Ве 1=1 х г 1(фе(г, Ч, т)+61Ре)йй (132) Прежде всего ясно, что при ~ $ ~ ) ге 61р',(о, $, т) = о (е" '). (133) Несколько сложнее упрощается интеграл, стоящий в правой части формулы (132). Во-первых, можно отбросить член е а 71 = ~ «г ~ 9*(о, $, г, Ч),~,(Ь' — г' (г)! 'ЗЧ1 ' ' «Ч.
а Ве 1=1 (134) В самом деле, (1,! =. г, Ч) ~~~~(Ь1 — зе (г)) ~ т'(',"' ~1(Ч. 1=1 (135) Так как, далее, (136) (см. (65), (66)), где В (Ч) в нуле имеет полюс порядка не более чем и, то !Х1 !(е" 1 е ~ Ыг ~ р*(о, $, г, Ч) ~!Ь' — з" (г)) ~В,(Ч)!с1Ч, а Ве 1 1 где В, (Ч) имеет теперь в нуле полюс порядка не более чем и — т (О ( т ( 1). Таким образом, 11 = о (е" '). (137) з 10 Вычисление ФункциОнАлА 1 В «1Астном случАВ 375 Нам остается теперь лишь упростить член ).= ] о ) и'а.
1 *. п)А')и' — *') ))и п)п.),п. )пп. (138) Докажем, что при ] з] ) г, 11 $ о( ~ ' (о'ьо' г' О) Х(Ь з (г)]аЧЧЧ)о(г, Ч,т)с)Ч+ а 11 + а (е" '). (139) Мы имеем: и .( = ~ о]г ~ ро (о, $, г, Ч) ~ ]Ь' — г' (гИ 1)ро(г Ч '1) о(Ч+ а 1-1 + $ (г (Р* — д*],5„(Ь' — г'(г)]г 1)Ро(г Ч '))(Ч+ а ло ! 1 и и ~ )(г ~ р*(о, $,г, Ч) ~~ (Ь) — гк(г)] —,)ро(г, Ч,'1) п]Ч. (140) а в — во 1=1 Последнее слагаемое в формуле (140) имеет, очевидно, порядок а (е" '). Обозначим второе слагаемое через и (о, $, т).
Функция и (о, $, т) при с = т имеет нулевые начальные значения и является в области В, решением уравнения (36). Так как 'го~с е 1В(Ч) (141) 1 ( ' В' ) ] ! $ С е~(Ме" гоаб(о,4 т))~ з (142) Из неравенств (142), (92) мы заключаем, что ] и (оп еп т)! ! о й яо ( б (з)) где В (Ч) имеет полюс порядка не более чем л — 1, то граничные значения функции и (о, $, т) оцениваются следующим образом: 376 ОДНА СТАТИСТИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА 1гл. 7 где 6 (е) -» О при з — » О.
Следовательно, всюду в области П« ~ и (о, $, т) ~ ( 5 (с) 1р (о, 6, т). (143) Лемма 5 и полученные неравенства (133), (137), (143) доказывают следующую лемму. Лемма 6. Функция ч» (о, $, т) = 1р«(о, $, т) + + ~ Ыз ~ р (о,$,з, 7)) У [51 — г1 (з)) т'~" 1' ) г(77, (144) а 1=1 где 67«(о, 6, т) определена формулой (71), при ~$))г, (㻠— произвольное положительное не зависящее от е число) с точностью до величин порядка малости о (з») аппраксимирует решение 1р (о, $, т) уравнения (36), удовлетворяющее начальному и граничному условиям (37), (38). Чтобы подвести итог всем рассмотрениям настоящего параграфа, нам остается вновь возвратиться к старым координатам х и у согласно формулам (32), (33). Проведя соответствующие замены, мы можем на основании леммы 6 формулировать теперь следующее предложение.
Т е о р е м а 26. Пусть движение управляемой точки г, имеющей в начальный момент времени о положение г (о), описывается системой дифференциальных уравнений (15). Пусть, долее, в пространстве П движется также случайная точка 17, плотность вероятности перехода которой р (о, х, г, у) удовлетворяет параболическому дифференцильному уравнению (29) с постоянными коэффициентами. Обозначим через Х, шар радиуса с с центром в точке г, движущийся вместе с г.
Обозначим, далее, через »р (о, х, т) вероятность того, что случайная точка 1), и ходящаяся в момент о в положении х, на отрезке времени о ( 8 ( т будет «накрыта» шаром Х,. Тогда вероятность 7[7 (о, х, т), являющаяся функционалом над управлением и (1), представляется при ) х — г (о) ~ ) г», где 㫠— произвольное положительное число, в следующем виде: 7[7(о,х,т) =з" »[7[7 (о,х,т)+ 7[7 (о,х,т)) + о(е" ').
(145) т зи вычисление ФункциОнАлА з в ОБщем случАБ 377 Чтобы выписать явные выражения для функций фа (о, х, т) и $1(о, х, т), введем следующие обозначения: а) Л1, Лз, ..., Л" — собственные значения матрицы (а"); б) (ац) — матрица, обратная матрице (ац); в) С(о,х,т,1)) = у(о, х — з(о), т,7)) = ~ ац (Б1 — з1+а1(о)) (1)7 — х)+з7(о)) 1=1 4 (т — о) ( -( (4п(т-о)] з г) а — константа, не зависяща от системы уравнений (15) и определенная формулой (61).
Тогда а $а(о, х, т)— а — 2 П з 1 ап (з1 — з1 (о)) (з1 — з) (о)) с)=! Лц з — ~ С(о,х,т,т)) — ' '"„, 'т), а111)11)/ $1(о,х,т) = ~аз ~ р(о,х,г,у) ) (о1 — з' (г)] — ' — -'-1ю — ау. а 1=1 Таким образом, теорема 26 дает явное выражениедля главного члена вероятности $ (о, х, т) и, следовательно, для главного члена функционала (16). 9 42. Вычисление функционала з в общем случае В настоящем параграфе вероятность 1]1 (о, х, т), а следовательно, и функционал (16) будут вычислены для случая, когда коэффициенты уравнения Колмогорова зависят от о и х. Мы предполагаем, что эти коэффициенты удовлетворяют условиям, сформулированным в т 39.
ОДНА СТАТИСТИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА !РЛ. 7 378 при условиях (147) (143) 18(т, х, т) = О, о(1 (о, х, т) ~„зз — — 1. Как и в 8 41, с помощью аамен (32), (33), (35) приведем зту задачу к задаче решения уравнения оо 4+ '~~' пя+ г(о), о) ~.,~~~ + 1, ~=1 + ~ (Ь1 (ф + г (о), о) — г"(о)) ф = 0 (149) при условиях р (т, $, т) = О, (150) 1Р (о $ «) 1зе~ (151) Перепишем уравнение (149) в несколько иной форме: д + ~ а (о' г(о)) д од51+ ~~~ (а (о'з+ г(о)) 1, 8=1 1, 1=1 — ан(о,г(о))) — ++ У (Ьо(11,$+ г(о)) — го (о)) — ~,.
= О. 1-1 Нашим первым шагом будет конструкция некоторого специального решения 1ро, (о, $, т) уравнения з То + ~Р ан (д г (д)) То 0 (152) Схема вычисления в значительной степени воспроизводит схему, которой мы следовали в предыдущем параграфе.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
