Понтрягин Л.С. - Математическая теория оптимальных процессов (2-е издание) (955113), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Функция 04 = срв (о, $, т) + Ьрз, определенная формулами (65), (71), (72), является решением уравнения — '+ у а — — с — — 0 дфр ъ~ са дсфр ао .2, а4саР. = с,р (73) Ф"(о, $, т) = ср," (о, $, т) + ф,"'(о, $, т), (75) и удовлетворяет нулевому начальному условию ф, (т, ~, т) = О. (74) Следует отметить, что функция фз (о, $, т) не равна единице на сфере Я,. Однако, как будет выяснено впоследствии, ее граничное аначение в некотором смысле лишь несущественно отличается от единицы.
'Теперь уже все подготовлено для решения уравнения (36). Сначала мы найдем некоторое специальное решение уравнения (36), удовлетворяющее нулевому начальному условию. Оценив затем граничное значение этого специального решения, мы увидим, что оно лишь несущественно отличается от единицы. Отсюда мы выведем, что и само это специальное решение лишь несущественно, с точностью до величин более высокого порядка малости, чем з, отличается от точного решения задачи (36), (37), (38). После этого полученное специальное решение будет упрощено путем отбрасывания некоторых членов и, таким обрааом, мы получим приближенное решение задачи (36), (37), (38).
Приступим к осуществлению этой программы. Будем искать специальное решение уравнения (36), удовлетворяющее нулевому начальному условию, в виде 364 ОДНА СТАТИСТИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА 1ГЛ. 1 где 1уэ' — только что построенное решение уравнения (73), удовлетворяющее условию (74), а 1р"' — пока неизвестная функция. Непосредственно проверяется, что функция 1р7 должна удовлетворять следующему неоднородному параболическому уравнению: М+ ~~~~ и 6'И + ~>1 (д1 «( )) 6%7 За 641 а~г 661 1,1=1 1=1 (д1 1'( ц 6%7(а $ «) 1=1 а41 (76) и нулевому начальному условию: 1р"1' (т, $, т) =О. (77) д*(о, $, г, ц) =д(о, $+г(а), г, ц+г (г)) = =д(а, х, г, у) (78) (см.
формулы (32), (33)) является вне сферы 8 фундаментальным решением уравнения (36) и удовлетворяет граничному условию (79) Решить задачу (76), (77) во всем пространстве В с помощью формулы, аналогичной формуле (44) т 38, оказывается невозможным, так как правая часть уравнения (76) при $ = 0 имеет полюс порядка и, получающийся при дифференцировании функции и (6, е). Однако эту трудность можно обойти, так как мы желаем знать решение 1р1 (а, $, т) лишь вне шара, ограниченного сферой 8,.
Для этого привлечем к рассмотрению функцию д (а, х, г, у), введенную в $40 и равную плотности вероятности того, что случайная точка Д, находящаяся в момент времени а в положении х, будет в момент г находиться в положении у, не встречаясь при этом на протяжении времени о ~ 1 ( г с шаром Х'<1, радиуса е с центром в управляемой точке г (с). Очевидно, функция 6 з0 вычисление ФункциОЕАлА з в чАстном случАВ 366 а решением задачи (76), (77) вне сферы Яг будет функция (р,'(о', $, т) = =(ь* ((ь*(,, 1, *, „) ~ (ь -* ())" (,"," ь)ьъ д11' (80) где Вг обозначает дополнение в В к шару, ограниченному сферой 8,.
Очевидно, что р,(а, ~, )~„г,=о. Таким образом, нами получена следующая Л ем ма 3. Функция Ф*(о, $, т)=(рь*(О, $, т)+(р,'(о, $, т), (8() удовлетворяющее условиям и(т, 6, т)=0, ( ' ~ь ~)~зггг (о' т)' (83) где с овет при т — о ( е, и)(о', т)( б (е) прн т — а) е (84) где (рг (а, 6, т) определена формулой (65), а (р( (О, з, т)— формулой (80), является решением уравнен я (36), удовлеп(еоряет нулевому начальному условию Ф (т, $, т) =. 0 и имеет те ате граничные значения на сфере в„что и функц я фг (о, 6, т).
Теперь мы докажем, что функция Фв (о, $, т) вне сферы радиуса гг (гг — любое конечное, не зависящее от е число) аппраксимирует решение задачи (36), (37), (38). Доказательство етого фанта базируется на одной важной лемме об оценке решений параболического уравнения. Сформулируем зту лемму. Л е м м а 4 (об оценке решений параболического уравнения).
Пусть и (О, 6, т) — решение параболического уравнения — — а" (а, $) ", — ~~( дь(о, $) — †: А,(и), (82) ь,)=1 д4 64~ ОднА стдтистнчесйдя здцдчд [гл. о зев (88) (б (е) — и 0 при е д О). Тогда для решения и (о, $, т) спра- ведлива оценка (и(о, $, т)~(Л($, е)+б(з))((о, $, т), (85) где Л (з, е) — положительная функция, имеющая при всех ~$ ~ ) гг порядок о (е" д), а 1( (о, $, т) — решение уравне- ния (82), имеющее при о = т нулевое начальное значение и на сфере дг принимающее значение единица. Доказательство леммы 4 не просто и требует значи- тельных вычислений. В них существенно используются различные оценки для решений уравнения теплопровод- ности ди Гдди дди 1 (86) до ~д$ * д4и'! Мы начнем с вывода этих оценок.
Фундаментальное решение уравнения (86) обозначим здесь через у (о, ь, т т)): ~~ — Во д и — о) (87) [4я (т — о)) Положим, каки раньше, г (З) = )~$м + ... + $"' и введем следующие обозначения: д(о, $, т) = ~ у(п, $, т, Ч) ~— ,„) «Ч, ( о Чтобы интегралы, стоящие в правых частях формул (88) и (89), имели смысл, мы должны, конечно, считать, что Й ( и. Нам нужны будут следующие три неравенства, оце- нивающие функции юд (о, $, т) и Ид (о, $, т) при усло- вии, что точка $ принадлежит сфере 8,: юд(о, ь, т)~дев,( — д — при т — а)е, (90) Ь (е) С сод(о, ь, т)|деви( д пРи т — а~е, (91) д(с ь т)Неви( гк — д (92) 5 4!] вычисление ФункционАлА х В чАстном случАе 3з7 Здесь С вЂ” константа, не зависящая от з, а 6 (з) -э О при е- О.
В ы в о д н е р а в е н с т в (90), (9$). Легко видеть, что ФА(п, Зг, ..., З", т) = оэь(а, г(З), О, ..., О, т)= ( г — 69)'+ (ч')'+ ." + (ч")' — — 4(~. (93) х ) '(ч) [4Л (т — ЛП г Положим т)х=т($)Х', т — а=ха(З) 4. (94) Тогда из (93) мы получим: 1 хь я где (хг — 4)г+ (хг)г+ ... + (х")4 Р(~)хх ' ~ а 44 ' ((х (96) (4зг) Очевидно, что Р(4)-~ 1 при 4 — О. (97) Г(г)=0 1 . (98) Действительно, если в (96) сделать замену 2 у'Туг=хг, то получим: ~~ ( -~("-Д'+(")'+...+(.") ~ У(4)хх — ) и ,А(„) У~ (99) г где К вЂ” константа, откуда и следует соотношение (98). Итак, мы имеем: 4 )т — а) ~А(а' В' ~)( хь(Р (~~~Р(.
(1ОО) Для дальнейшего еще отметим, что при больших значе- ниях ~ функция у'(8) имеет следующую асимптотику: ОДНА СТАТИСТИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА [ГЛ. 7 Но легко видеть, что имеют место оценки йг(, )(б(е) при т — о)е, (101) Р(, )(сопев при т — о(е, е' откуда и вытекают неравенства (90) и (91). Одновре- менно мы видели, что всегда .( ° $ )(-. (102) Вывод неравенства (92). Легко видеть, что 12А (о, $4, ..., 34, т) =йе (и, г(В), О, ..., О, т) = (чй г ц))й + (чй)й + ... + 4ча) й 1 — 1 4(г ~ Е 4 (в — а) 4(й) а ге (й)) [4л (е — а)]й Полагая т)' = т Я) л', г — о = г' Я) ~, мы получим отсюда г' и) У ()) 1), где йг — функция, определенная формулой (96).
В част- ности, й — а е* а(о, 1, т))4 е в,=-~~=; — )г ())й11. (104) учитывая теперь асимптотику функции йг ()) при больпйих значениях Т (см. формулу (98)), мы сразу получаем неравенства е — а е' )г())ей(С)1пе) при ге=2, (105) о е — а ев У (т) в11 <" С при )е) 2, (106) з э 41] ВычислвниВ ФункциОнАлА ю В чАстном случАВ зээ из которых и следует неравенство (92). Одновременно мы видели, что сопэ1 1)А (о~ ь~ т) ( „А-в д) (107) 3 а м е ч а н и е к н е р а в е н с т в а м (90), (91),(92). Пусть р~ (о, $, т, 1)) — фундаментальное решение уравнения (82). Исходя из этого фундаментального решения, определим функции ФА(о, $, т) и ЯА(о, $, т) по формулам (88), (89) (поставив в них вместо д функцию р*). Оказывается, что для определенных таким образом функций юь(о, $, т) и ПА (о, $, т) справедливы те же неравенства (90), (91), (92).
Действительно, в теории параболических уравнений доказывается, что при ограничениях на коэффициенты уравнения (82), которые мы предположили выполненными в $ 39, фундаментальное решение уравнения (82) мажорируется фундаментальным решением некоторого уравнения теплопроводности, т. е. для него имеет место неравенство — т' р*(о, $, т,ц)( „е т — о (т — о) где функции и (о, т) и ю, (о, т) определены следующим образом: ( С ю1(о, т) =-[ [ 0 при т — о(е, (109) при т — о) е; — 0 при т — о(е, ю,(о, т) = (110) Ь(е) при т — о) е. Решения уравнения (82), имеющие нулевые начальные где у — константа.
Эта оценка обеспечивает возможность буквального повторения вычислений, проведенных при выводе неравенств (90), (91), (92). После этих предварительных оценок мы можем осуществить Доказательство леммы 4. Положим в(о, т)=ю,(о, т)+ю,(о, т), (108) однА стАтистичвскАЯ 3АдАчА 370 1ГЛ. 7 значения и краевые значения ю (а, т), юс (о, с), в, (а, т), обозначим соответственно через и (а, $, т), и, (а, $, т), и, (а, $, т). Очевидно, что и(а, $, т)=и,(а, З, т)+и,(а, $, т). (111) Далее, на основании теоремы о максимальном значении решений параболических уравнений решение и (а, $, т) задачи (82), (83) оценивается следующим образом: и(а, $, т) ( и(а, $, т).
(112) Оценим отдельно функции и, (а, $, т) и и, (а, $, с). Для и, (а, $, т) оценка сразу получается из той же теоремы о максимальном значении решения параболического уравнения: и,(о, $, т)~б(е)71(а, $, ). (113) Для получения оценки функции йс (а, $, т) требуются болев тонкие рассуждения. Прежде всего оценим и, (а, $, т) при т — а ( е.
Положим еи г у( ) г" ' ($) ' (114) где К = сопзс ) С. Будем теперь искать решение уравнения (82) с начальными значениями, равными у (з), и с граничным значением на сфере Я„ равным К, в виде Воз+ Ч~~~~ аа( р ~ ~е + ~" йс( ц зоо ~~ (йц (118) 1,7=1 1=1 которое мы должны решить при нулевых начальных и при нулевых граничных условиях. Такое решение, как Тогда для функции г, (а, $, т) сразу же получаем не- однородное уравнение 1 вп вычисление ФункциОнАлА г в чАсп1ом случАе 371 мы знаем, вне сферы Яе дается формулой и (о, $, т)= — ~ е(г ~ д(о, $, г, е))Х,[у(ц))йц. (117) вв Итак, у(о, $, т)=у(е) — ~ еЬ ~ д(о, $, г, е))Х [у(е)ЦЫе). (118) Ве Очевидно, что и (о, $, т) ( у (о, $, т). (119) где А, А, — достаточно большие константы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
