Понтрягин Л.С. - Математическая теория оптимальных процессов (2-е издание) (955113), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Недостает еще у с л о в и я с о и р я ж е н и я, которому удовлетворяет всякая пара примыкающих друг к другу участков оптимальной траектории, один из которых лежит в открытом ядре области 6, а другой — на ее границе. Это условие мы называем условием скачка для вектор-функции ф (с), которая в момент перехода от одного участка к другому может терпеть разрыв (см. формулировку теоремы 24). Докажем прежде всего одну простую лемму, которая нам понадобится ниже. Л е м м а. Пусть х (с), св ( с( с„— траекторияуравнения (5), лежащая в замкнутой области 6 и соответ- УСЛОВИЕ СКАЧКА 327 Я 361 ствующая некоторому допустимому управлению, и пусть х («о) — единственная точка траектории, лежащая на границе у (х) = 0 области 6.
Если вектор бх («г) не касается границы у (х) = 0 в точке х («о) и направлен внутрь области 6, то варьированная траектория хв («), «о ( «( «ы с начальным значением х~ («в) = х («в) + ебх («) целиком лежит в открытом ядре области 6. Доказательство. Мы имеем: х" («)=х(«)+ебх(«) + о(е), /~д™ ', бх(«о))=а(0. Следовательно, при достаточно малых з) 0 величина у(х*(«))=у(х(«))+з( э (), бх(«))+о(е), отрицательна. В самом деле, для значений «) «„ близких к «„ это следует иэ неравенств у(х(«))(0, а(0.
Для аначений «, удаленных от «о, величина )у(х(«)) ( больше величины ~е~ ( ()), бх(«))+о(е)~ и, кроме того, у (х («)) ( О. Пусть и («), «, ( « =- «„— допустимое управление, а х («) — соответствующая траектория (не обяаательно оптимальная) уравнения (5), целиком лежащая в замкнутой области 6. Некоторые участки траектории могут лежать на границе области 6, некоторые — внутри области, т. е. в открытом ядре области 6. Точку х (т) траектории, лежащую на границе области 6, назовем точкой стыка, если «, ( т ( «г и существует такое о ) О, что хотя бы один из участков траектории х(«) при т — о ( «(т или при т( «(т+ о лежит в открытом ядре области 6.
В дальнейшем для определенности будем всегда считать, что внутри области 6 лежит участок траектории при т — о ( «( т. Время т нааовем моментом стыка. Мы будем рассматривать траектории с к о н е ч н ы и числом точек стыка, не оговаривая этого особо. 323 пРОцессы пРи ОРРАниченных кООРдинАтАх (гл. В Траекторию х (В), ВВ ( В ( Ги целиком лежащую в замкнутой области 6, назовем регулярной, если регулярен всякий ее участок, лежащий на границе л (х) = 0 области 6. Предположим, что и (В), ВВ ( Э ( Ги — оптимальное управление, а х (В), ГВ ~ В ( В, — соответствующая оптимальная регулярная траектория уравнения (5), лежащая целиком в области 6. Пусть х (т) — точка стыка траектории х (Г), ВВ ( Г ~ Г,. Обозначим через т, ( Г ( тэ максимальный интервал отрезка ВВ = В ( Г„содержащий единственный момент стыка т.
Таким образом, участок тРаектоРии х (В) пРи тг ( г (т лежит в откРытом ЯДРе области 6; что же касается участка этой траектории при т ( В ( т„то он либо целиком лежит на границе л (х) = О, либо также принадлежит открытому ядру области 6, и тогда х (т) — единственная точка участках (В), т, ( В ( тв, лежащая на границе области 6. Следовательно, участок х (В), т ( В ( т, удовлетворяет принципу максимума (ср.
стр. 288). Соответствующая этому участку ненулевая функция Вр (1)=(фв(В) ф (В) . фй(В)) тг~В~т (72) непрерывна и удовлетворяет системе уравнений (15) гл. 1. Участок х (1), т -. 1( т„удовлетворяет либо требованиям теоремы 22 (если он лежит на границе л (х) = 0), либо принципу максимума (если он лежит внутри области 6). Соответствующая непрерывная ненулевая функция ф+(В)=(ф,'(г),~Р,'(г), ...,~+(В)), т~В~им (73) удовлетворяет либо системе (10), (11) и условиям а) — в) теоремы 22, либо системе (15) гл. 1. Мы будем говорить, что в точке стыка х (т) оптимальной регулярной траектории х (В), ВВ = В =. Г„целиком лежащей в замкнутой области 6, выполняется условие скачка, если существует такой участок х (г), тг ( г ~ т„траектории, что т, ( Г(т, является м а к с и м а л ь н ы м и нт е р в а л о м отрезка ГВ ( В ( Г,, содержащимединственный момент стыка т, и если для участков х (1), т, =.
В ( т, х(В), т = В(тэ, определенные выше функции (72), (73) можно подобрать таким образом, чтобы выполнялось одно 9 ЗВ> 329 условия скачкА иэ следующих двух (как легко видеть, не совместных между собой) условий: ф'(т)=чу (т)+)сягайд(х(т)), (74) чр (т)+иягайд(х(т))=О, уф О, (75) где р — действительное число. Если участок х (~), т(Ь(т„ лежит на границе у (х) = О, то условие (74) эквивалентно условию Ф+ (т) = $ (т), так как начальное значение чу+ (т) функции чу+ (~), т - 8 ( тг, можно наменять на произвольный вектор вида р йгайу(х(т)) (см. замечание 4 к теореме 22).
Т е о р е м а 24 (условие скачка). Пусть регулярная оптимальная траектория уравнения (5), лежащая в замкнутой области 6, содержит конечное число точек стыка. Тогда в каждой точке стыка выполняется условие скачка. Доказательство. Пусть и(~), ~о(~(~ы— оптимальное управление, х (~) — соответствующая оптимальная траектория, х (т) — точка стыка, тт( ~(т— максимальный интервал, содержащий единственный момент стыка т. Для определенности считаем, что участок х (~), тт ( 8 ( т, принадлежит открытому ядру области б, а участок х (г), т = г ( т„лежит на границе у (х) = О.
Точка х (тт) может лежать как внутри области 6, так и на ев границе. Мы предположим сначала, что х (т,) лежит внутри г7; в этом случае, очевидно, т, = ~в. Введем уравнение — '„', = — У($, о) (76) и будем рассматривать его решения на отрезке 0 ( 2-= ~ т — т, + е69, где 69 — любое действительное число. Очевидно, решением уравнения (76) являются функции о(й)=и(т — Е), 9(Ю)=х(т — Х), 0 —.Ю(т тд+е66.
(77) Обозначим череа А, „, о оператор переноса вдоль траектории (77) уравнения (76) (см. стр. 94). Далее, пусть Ь$ означает вектор смещения (ср. формулу (22) гл. 2) при произвольном варьировании траектории (77) уравнения (76). Наконец, пусть 69в — произвольный вектор, исходящий из 330 ПРОЦЕССЫ ПРИ ОГРАНИЧЕННЫХ КООРДИНАТАХ ИГЛ. 0 точки л(т) и либо направленный внутрь области 00 (не касательный к границе области 6), либо равный нулю.
Тогда определен вектор Ь=А.—,, 0(650)+Д$ (78) который мы будем считать исходящим из точки х(т,). Множество всех векторов (78) образует выпуклый конус К с вершиной в точке х(т,) = $ (т — т,) (ср. стр. Ю5). Через К* обозначим конус, определенный в $33, рассматривая его для траектории л (0), т ( ~ = т,. Точка л (т,) является вершиной конуса К". Конус Ке лежит в касательной плоскости Т (л (т,)) границы я (л) = О, проведенной в точке х (т,), и образован всевозможными векторами вида Ь*=Р..,.(бр)(бл(т))+Дл*, 0 (79) (см.
формулу (53)), исходящими из точки х (т,). Важно заметить, что варьированная траектория $* (з) при достаточно малом з лежит вся в замкнутой области 6. В самом деле, если 690 = О, то начальный кусок траектории $0 (з) совпадает с траекторией $ (г), и потому точки траектории ~0 (Г) при ~ ) О являются внутренними точками области б. Если же 6$, ~ О, то, в силу выбора вектора Ьс„наше утверждение следует из леммы (стр. 326). Траектория ле (З) также лежит в замкнутой области С (см. з 33). Рассмотрим теперь прямое произведение КХК'СКХТ( (,)) (80) конусов К и К*. Это прямое произведение КХК0 также является выпуклым конусом. Черезе2Г обозначим содерясащийся в КХК* выпуклый конус, образованный всевозможными парами векторов (78), (79), для которых (81) 600 6~ (т) Далее, обозначим через й выпуклый конус, определенный в 3 14 и рассматриваемый для траектории $ (Г), О ( г ( т — т„а через йе — конус, определенный в $33 н рассматриваемый для траектории х (1), т ( ~ ( та.
9зю УСЛОВИЕ СКАЧКА Очевидно, что йс:К, Рс:К*, и потому з2Г~ЙХх(т,), е'з' ~х(т,) Хк~. (82) Обозначим через Ь луч, выходящий из х (т,) и направленный вдоль отрицательной полуоси х'. Покажем, что луч х(т,) Х Ь, лежащий в прямом произведении К Х Х Т (х (тз)), не является внутренним лучом конуса ВЯ . Допустим обратное. Тогда совершенно так же, как в $34, для любого достаточно малого е ) 0 можно доказать существование таких варьированных траекторий 9 (1), 0 ( 1 ( т — тг + е69, х* (1), т - Ю =.
тз + ей, (83) начальные смещения которых удовлетворяют условию (81), что точка ез (т — тг+е69), х*(т, +з61) (84) лежит на луче х (т,) Х Ь и не совпадает с его началом х (т,) х х (т,). Иначе говоря, ее (т — т, + з69) = х (т,), х*(т,+е61)=х(т,)+Л( — 1, О, ..., 0), (85) где Л ) О. Определим допустимое управление и (1), т — е60~Ь( «=т, + ебг, и соответствующую траекторию х (г), т, — е60( (1 =. т, + збг, уравнения (5) формулами: й(г)=з*(т — г), х(1)=$з (т — г) при т,— е69(г-=т, и(г)= и*(~), х(1)=х*(~) при т(г(т,+ебг, где $з (г), х*(г) — варьированные траектории (83), уе(~), и* (~) — соответствующие им управления.
Очевидно, функции и (г), х (г), тг — зб 0~1(тз + ей, удовлетворяют уравнению (5), и, в силу условия (81), траектория х (О, тт — е60 ( г(т, + з68, непрерывна в точке т и, следовательно, на всем отрезке т, — з60 ( ~ ( тз + збб Кроме того, согласно (85) имеем: х(т — е69) =х(т,), х(т +ей) =(хз(т,) — Л, х'(т,),..., х" (т,)), Л)0. 333 пРОцессы пРи ОРРАниченных кООРдинАтАх [гл. з Но эти неравенства противоречат тому факту, что участок х (1), т>~1(т„оптимальной траектории х (г), 1е(~ =т„также оптимален. Итак, луч х (~>) х Т, не является внутренним лучом для конуса еЯ".
Из включения (80) следует, что размерность аппп еЯ конуса еЯ удовлетворяет неравенству 6)т еЯ (2п+ 1. Следовательно, существует опорная 2п-мерная плоскость к конусуеЯ в его вершине х(т>) Х х(та), лежащая в Х х Т (х (т,)) и отделяющая конус еЯ от луча х (т,) х Т. Обоаначим через (Х, Х*) исходящий из точки х (т,) Х х (т,) вектор, ортогональный к этой плоскости, лежащий в Х х Т (х (т,)) и направленный таким образом, что луч х (т>) х А лежит в том же замкнутом полупространстве, что и вектор (Х, Х*), а конус еЯ вЂ” в другом. Мы имеем: Х" = (Хе, Х>, ", Х*) б Т ( (,)), (86) ((Х, Х ), (Ь, Ь*)) =(Х, Ь)+(Х*, Ь*) ~ О, Х,*~О, (87) где векторы Ь, Ь" определяются формулами (78), (79) (при условии (81)).
Далее, (Х Х)Ф0 (88) и потому векторы Х, Хе одновременно в нуль не обращаются. Обозначим через ь(г), О~т~т — т, (89) решение уравнения сЯ~ дУ(3 (>), о (>)) д> д$ удовлетворяющее краевому условию ь(т — т>) =Х где функция $ (0 определена формулой (83), а Р (т)— соответствующее управление.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
