Понтрягин Л.С. - Математическая теория оптимальных процессов (2-е издание) (955113), страница 46
Текст из файла (страница 46)
«Достаточная малость» окрестности характеризуется тем, что скалярное произведение ~'~,(', Л,.) .>О (15) при х(:Ог(, ! = 1,..., г. Череа а! (х) обозначим непрерывно дифференцируемую скалярную функцию, удовлетворяющую условиям а! (х) =1 в некоторой окрестности точки ~о содержащейся в Ой, а! (х) ) 0 при х~02,, а! (х) = 0 вне ОГ!. Введем скалярную функцию (1б) где (А — скалярный параметр. Функция Й (х, )А) аависит, очевидно, от выбора злементов а! (х) и Х(, участвующих в ее построении. Если (3 ) 0 достаточно мало и точка х, лежащая вблизи границы области С, удовлетворяет уравнению Ь(х, )3) =О, то х(-С; если, кроме того, х не принадлежит объединению окрестностей 02! или если р = О, то х лежит на границе у (х) = О.
Если х не принадлежит объединению окрестностей ОГ(, 3 = 1,..., 3, или если р, = О, то л(х,р) = = у (х) = О, и утверждение справедливо. Пусть х~Ос,. Тогда 298 ПРОЦЕССЫ ПРИ ОГРАНИЧЕННЫХ КООРДИНАТАХ [ГЛ. В Но при достаточно малом»в в силу неравенств (15) имеем: в в(вв,". ~ .! у;о)в.(в>>о, а=! следовательно, у (х) ( О. В дальнейшем параметр р будет принимать близкие к нулю значения вида еб(в, где е имеет тот же смысл, что и в главе 2, а б(в — неотрицательное число.
В определение функции а (х, ебр) входят точки б„..., ~„функции а, (х),..., а, (х), векторы Ю„..., )т', и чйсло б(в. Совокупность всех этих величин обозначим теперь через б: б = ЯО а! (х), !Тв, б)г). (17) Чтобы подчеркнуть аависимость функции й (х, еб(А) от этих величин, мы будем теперь обозначать ее через Ь» (х, еб(в). Пусть б, и б, — два символа вида (17); запишем их в виде б =ДО а,(х), Л!„б(в), 1=1, ..., г„ ба=(б, а (х), !т, б(А), »=а!+1, ..., г,+го.
СИМВОЛ б = ЯО а! (Х), вв'„6»В), ! = 1,..., г, + г„МЫ будем называть суммой символов б, и б, и писать б=» +б,. Произведение символа б = ЯО а! (х), Ю„б»в) на произвольное н е о т р и ц а т ел ь н о е число )о определим формулой 7»=ДО а;(х), втв, М»!), т. е. точки б„функции а, (х) и векторы )т! остаются прежними, а число б»в умножается на Х. Таким образом, если б' и б" — два символа вида (17), а )!' и А" — произвольные неотрицательные числа, то определен символ )о'б' + )о" б". 300 пРОцессы пРи ОГРАниченных коогдинАтАх ~гл.
о Ниже мы опишем способ, позволяющий по заданной начальной точке вида у (В) = х (В) + ебхо+ о (е), го ~ В ( Ю„(22) стандартным образом строить решение и (й), у (Е), О(с~с„ системы (21), имеющее вид Р(й) = и(»)+зби(»)+о(е), (23) у(й) = х(Е)+ебх(г)+о(е), (24) где би (~) — кусочно-непрерывная, кусочно-гладкая функция, бх (~) — непрерывная функция. Как уже отмечалось выше, если начальное значение (22) удовлетворяет уравнению Ь (у (О), еб)А) = О, то вся траектория у (г), О (» =- ~„принадлежит замкнутой области о».
Те участки траектории, которые не принадлежат объединению окрестностей Ог,, входящих в определение функции )» (у, ебр), лежат на границе д (х) = О; если же у (~) ~Ос, то у (~) принадлежит открытому ядру области С. Следует в заключение отметить, что формулой (21) определяется не одна система, а целое множество систем, зависящих от выбора символа В (см.
(17)). Построение решения системы (21) по начальному значению вида (22) ОтРезок Го =.1( ~, поДРазДелим точками со = то(т»( ° ° («А(»оы = ~п на частичные отрезки т, ~ » ( т;„Г, 1 = О, 1, ..., /с, достаточно малой длины. Точки т, выберем так, чтобы среди них содержались все точки разрыва управления и его производной. «Достаточная малость» длин частичных отрезков характеризуется требованием выполнимости всех описанных ниже построений. Будет непосредственно видно, что, в силу регулярности траектории х (»), такой выбор точек деления (естественно, неоднозначный) возможен. Допустим, что решение Р (~), у (~) системы (21), представимое в виде (23), (24) и удовлетворяющее начальному условию (22), уже построено на отрезке О ( с ( т« Продолжим зто решение, сохранив непрерывность тра- з гг) доказатвльство твогвмы гг 001 ектории у («) и выраженные в равенствах (23), (24) свойства, до точки с,+, включительно.
Пусть дс (и), с = 1,..., е (з ) 0), — функции (1) для точки и (тс + 0). В силу (19) и регулярности траектории х («) векторы дВ(х(т), и(«с+О), еб)с) дис(и(сс+О)) дд,(и(с;+О)) линейно независимы. Так как длина отрезка тс ( «( тс+, мала, то линейно независимы и векторы дВ (х (с), и (с), еь)с) дес (и (с)) дд, (и (с)) ди ' ди '''' ' ди тс+,. Пусть, например, тс ( «( ад, дис на полуинтервале дВ дис д'Хв дис (25) дВ дч, диехс ди~+~ дЬ диевс Следовательно, вблизи системы значений тс, и (тс + 0), х (т,), ебр = 0 система уравнений В(у, и, ебр) = ос(и, «) =... = о,(и, «) = О, (26) где ас (з, «) = д; (з) — дс (и («)), с = 1,..., з, однозначно разрешима относительно е+ 1 переменных ис,...,з'+'.
ис = цс(у и'+г .. р" ебр «) « = 1 ... з-)-1 (27) гдв т)', « = 1,..., з + 1, — непрерывно дифференцируемые функции своих аргументов. Подставив в (27) вместо з'+г,..., и" соответственно и"' («),..., и" («), получим з + 1 функций Ос (у, ебр, «), с = 1, ..., з + 1.
Определим теперь вектор-функцию и (у, збр, «) равенством и(у, ебр, «) = = (Ос(у, збр, «),..., О+с(у, ебр, «), и'+г(«),..., и" («)). (28) Подставим, наконец, в уравнение ,—," =У(у, з) вместо з функцию (28). Взяв решение полученного 302 пРОцессы пРи ОГРАниченных НООРдинАГАх ~гл. з таким образом дифференциального уравнения на отрезке т, = г ( тьи с уже имеющимся начальным значением у (т,), мы получим желаемое продолжение решения у (г).
Продолжением управления и (~) на полуинтервал ч,( г ( т,~, служит функция Р(Г) = Р(У(Г), збР, ~), т;(~(тым (29) которая получается подстановкой в (28) вместо р продолжения у (Г), т, ( Г ( т,,д. Свойства, выраженные в равенствах (23), (24), проверяются для полученных нами продолжений непосредственно. Допустимость управления (29) следует иэ равенств (26).
В самом деле, для любого 1 = 1, ..., г О, (Р (Ю), 8) = д~ (Р (й)) — д; (и (й)) = О, т. е. д;(Р(г)) = д,(и(г))(0, т,(г(тьн 3 а м е ч а н и е. Описанная здесь конструкция определяет решение системы (21) по заданному начальному значению (22) неоднозначно, так как выбор точек деления ти 1 = 1,..., й, а также выбор г + 1 переменных Р', относительно которых разрешается система (26), неоднозначен. Легко, однако, видеть, что эту неоднозначность можно устранить, зафиксировав для заданного управления и (Г) и регулярной траектории л (~), ~ ( г ( ~, как точки деления т„так и те г + 1 переменных (для каждого отрезка т, = г ( тоа), относительно которых разрешается система (26). После этого решение Р (~), у (~) системы (21) можно уже строить стандартным образом по начальному значению (22).
Во всех дальнейших построениях этого параграфа, в которых применяется описанная здесь конструкция, упомянутая стандартизация будет предполагаться выполненной. У равнениев вариациях для системы (21) Пусть Р (Г), у (~), О ( г ( Ä— решение системы (21), построенное при помощи указанной выше конструкции и удовлетворяющее начальному значению (22). Мы докажем докАЭАтнльство теогнмы 22 Я 33~ Л (2) = (А,в(в),, Аи(в)), определенной на всем отрезке 23 ~ 8 = 33 и зависящей только от и (2), л (2) (и, следовательно, не зависящей от вида функции В), что главная (по з) часть би (2) разности э (3) — и (3) удовлетворяет на отрезке 0 ( 3 = 23 уравнению дУ( (3), (3)) +Л(2) Зр(х(3), и(3)) ~б (Е) =О. (30) ! ди ди Тот факт, что Л (2), 23 ( 2 ( 2„не зависит не только от и (г), но и от В, играет в дальнейшем важную роль.
Для доказательства существования такой функции предположим, что она уже построена на отрезке 33 ( 2 ( т,, 3 = О, и определим ее на полуинтервале т, ( Г ( т,, Точки т,, 3 = 1,..., я, выбраны, как и вйше. пусть на полуинтервале тв ( г ( тв„система (26) разрешалась, например, относительно первых г + 1 переменных э',..., э"3. Тогда для каждого у = О, 1,..., п на этом полуинтервале определим 3+ 1 непрерывных и гладких функций У (2), в~ (2), 3 = 1,..., 3, как решение линейной неоднороднои системы д)в(х(3), и(3)) ) в 3 др(х(3), и (3))+ в 2=3 (31) где д, (и),..., д, (и) — функции (1) для точки и (т, + 0). (Индекс а в уравнениях (31) пробегает г+ 1 значений, соответствующих номерам переменных эи, относительно сейчас, что главная часть приращения у (в) — л (в) или, что то же самое, вектор-функция бх (2), 0 ( 2 ( 2„однозначно определяется главной частью начального смещения (т.
е. вектором бл3) и удовлетворяет некоторому линейному дифференциальному уравнению (см. уравнение (35)) с начальным аначением блв. Для этого докажем прежде всего существование такой кусочно-непрерывной, кусочно-гладкой вектор-функции 3О4 ПРОЦЕССЫ пРИ ОГРАНИЧЕННЫХ кООРДИКАтАХ [ГЛ, з которых разрешается система (26) на полуинтервале тв (1( твы, в рассматриваемом случае а = 1,..., з+1.) Система (31) разрешима, так как ее определитель совпадает с определителем (25) при ебр = О. Вектор-функция(У (1),...,)." (1)), тв(1 ~ тв „и является желаемым продолжением. Независимость функции Л (1) от функции В следует из независимости матрицы коэффициентов и свободных членов систем (31), у = О, 1,..., л, от Ув.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
