Понтрягин Л.С. - Математическая теория оптимальных процессов (2-е издание) (955113), страница 43
Текст из файла (страница 43)
(25) а=1 Введем обозначения дхо —, =х 1'=1 д! д! д! д! д! ди! дхо диа+! дх™М ду ду! до! дха+1 , и, (т. е. — „, =х), 1=1,..., Уо, у'=1, ..., и — Уо. (26) щая функциям х (!), Р (!) ненулевая абсолютно непрерывная вектор-функция. Функция оу1"(ор, х, 1, г) имеет вид о а — А (о(! хо 1 Р) о(ооуо (! х Р) + У о)оа!а+ ~~ о)!А+ахи ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛКНИЕ !Гл. 5 Кроме того, имеем (см.
(18)) при ! = 1,..., Ус дат! А! 1(у'(й, да! два! ду' = — —.—., 1(у (и — й. даАв ! даввв! (27) Перепишем теперь соотношения (24) в виде вас=в !вс — ( (~в а+ ~ —,— ', (+в.~вв.)]в, св а=! с=1,..., и. (28) Равенства (25) да!от (см. (26)) Втвв!вп-) — ( —.",„.а.В у,,„."'„.
( '!. В. ВВ.ф а=! у'= 1, ..., и — й. ду ~д;! ау ( ау ) а = ! 'Г В с, О=! у'= 1, ..., и — й. (29) Наконец, введем й иамеримых и ограниченных на отревке уа ~! = с! функций )с! (!), ! = 1,..., й, равенствами Увс(!)= У('*".)' ()) !(!а+!(!с(!), !'=1, ..., й, (30) да! Сравнивая полученные равенства с последними и — й равенствами (28), получим е га) ЗАДАЧА ЛАГРАНЖА 275 и перепишем соотношения (28), (29) в виде ! са = — ( ( «! а, -,. т л.
†", ) л, .л аасла, ссл> с «1 с=1, ..., и, л(!гас (Са) ! = 1 ° и — лсс (32) Сформулируем и докажем теперь правило множителей Лагранжа. Пусть абсолютно непрерывная кривая (1) является экстремалью для интеграла (3) при заданных краевых условиях (2) и заданной системе (18). Тогда найдутся сс таких измеримых и ограниченных Функ!(ий )лс (С), С ~ = с„называемых множителями Лагранжа, и такая постоянная с(л = О, что функ!(ия р (г, х (!), х (с)) = = — !(са 7 (с, х (с), х (С)) + ~~Р Х, (с) Р« (с, х (С), х (С)) « почти всюду на отрезке са =.
с ( с! удовлетворяет равенствам! д)с (с, х(с), й(с)) (' др(т, х(т), х(т)) дх! дхс где с; — постоянные. Д о к а з а т е л ь с т в о. Определим множители 2ч (с), с = 1,..., сс, равенствами (30), а за постоянную !)ла примем координату с нулевым индексом вектор-функции ар (с). 276 ВАРИАНИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Ггл.
ь Тогда при 1 ( 1 ( 1с равенства (27), (30), (31) дают А др д1 ч1 ара д( — "то . + ~, 2а . = 'то '1+ дхо дхо А О дх1 О дх1 а 1 о =1ро(С)= — ~ ~ —,ор + т Х вЂ”,(Ыт+оро(1)= 1Ф а 1 !! о а=1 ах + "т1 (оа) . г дР д д*о ~ю Далее, ив соотношений (32) получаем при у = 1,..., н — М Фо ° ~ )~ ° (=) дР д1 ~ д(~ дхо+1 дхо+1 дха+~ а=1 1' о (=) ~ д а+~оуо+ ~ )а а с(т+оуо+д(1о) = н а !, а=1 Г дР дд 1+1 + тоос ("о)' Таким обрааом,правило множителей Лагранжа докаеано. Н е р а в е н с т в о В е й е р ш т р а с с а Обоаначим черве 1 некоторый (1с + 1)-мерный вектор 1 = (1о, 11,..., 1о) и определим функцию Веперштрасса е (С, х, х, $, 1), аависящуто от аргументов с, х = (х', ..., х"), х = (х',..., х"), $ = (Е1,..., $") и 1 = (1„о1,..., 1о), 5 зю ЗАДАЧА ЛАГРАНЖА 277 формулой т(7,х,х, З,1)= =Р(7,х,$,1) — 7Р(1,х,х,() — ~ (та ха) (1,х,х, ) Заа а=1 где Р (», х, х, 1) = — 1а~ (1, х, х) + ~ 1 1Ра (7, х, х), а 1 а функции 7'(Г, х, х), 1р1 = х1 — /1 (7, х, х"1,..., х"), 1 = 1,..., Й, — те же, что и выше.
Для удобства обозначений последние и — й координат вектора $ будем обозначать через Ут,..., У" "; первые же й координат будем обозначать по-прежнему через ~м (ть1 ~а у1 уа-1) у (у1 уа й) Вычислим теперь функцию Вейерштрасса в случае, когда х = х (~) — зкстремаль задачи Лаграюка при заданных уравнениях (18), х =,, Е = Л (Г) = (ф„Л, (7),... Л„(С)) (см. (30)), и первые й координат вектора с =(Ч1,..., $~, У1,..., У" ~) удовлетворяют уравнениям ~а у~ (Г х (Г) у1 уа — А)— = — К1 — ~1 (7, х (ю), У) = О, 1= 1,..., й.
(33) Из сделанных допущений следует, что (и — Й)-мерная вектор-функция является оптимальным управлением, соответствующим 279 в зо) ЗАДАЧА ЛАГРАШКА Так как х (с) — экстремаль, то почти всюду ка отреаке = 1 ( вт выполняются равенства (25) и, следовательно, из условия максимума почти для всех 1 следует керавекство е (г, х (1), х (1), $, 2 (г)) » О, (35) которое и выражает необходимое условие В е й е р ш т р а с с а: если х (1) — экстргмоль рассмотренной нами задачи Лагранжа, то найдутся такие ограниченныг и игмгримыг функции 2ч (1), ( = 1,..., Й, и такая нгпагожитгльная постоянная фг, что почти для всех 1 выполнягтся неравенство (35) при любом выборг вектора $, удовлетворяющего условиям (ЗЗ).
Итак, в случае, когда область 5г изменения переменкых о~,..., о' совпадает со всем лростракством К„(или является его открытым подмкожеством), правило миожителей Лагранжа и критерий Вейерштрасса вытекают из принципа максимума. Мы адесь подробно рассмотрели случай вариационной аадачи с закреплеккыми концами. Известные в вариациокком исчислепии результаты для задач с п о д в и жи ы м и концами легко выводятся с помощью условий траксверсалькости (см. з 6). Обсудим теперь вопрос о вааимооткошевия принципа максимума и критерия Вейерштрасса в случае, когда множество У ке является открытым.
Полагая К=о(1)+йо и считая йо бесконечно малой, мы можем ка основании формулы Тейлора записать соотношение (34) (с точностью до бесконечно малых более высокого порядка) в виде 1 у даа" (ф(с),х(г),с,г(г)) д ай в (38) 2 ~ы д адоВ а, в=1 Это делает совершенно естественным условие Вейерштрасса е»О во внутренних точках области возможкых зкачекий У (ибо функция аа", в силу теоремы 8, должка достигать при о = о (1) максимума, и, следовательно, и (1) вагихцноннов исчислвнив 280 ~гл. ь является стационарной точкой функции оЯ ). Однако в граничных точках, где, вообще говоря, перестают обращаться в нуль производные —,— (т.
е. в разложении дерг" функции яУ2"(ф (г), л (8), ~, г (~) + Ли) вблизи этих точек имеются члены п е р в о г о порядка малости относительно Ли), неотрицательность функции е (имеющей в т о р о й порядок малости) перестает быть необходимым условием максимальности функции Л? . Иными словами, условие Вейерштрасса Ж ) О, вообще говоря, перестает быть справедливым в граничных точках множества У. ГЛАВА 6 ОПТИМАЛЬНЫЕ ПРОЦЕССЫ ПРИ ОГРАНИЧЕННЫХ ФАЗОВЫХ КООРДИНАТАХ В оптимальной аадаче, наученной в главах $ — 3, ограничивалась лишь область У воаможных значений управляющего параметра и, в то время как на возможные значения фазовой точки х не накладывалось никаких ограничений и, следовательно, область воаможных аначений фаэовой точки совпадала со всем фаэовым пространством Х.
Поэтому не исключен случай, когда при оптимальном (в смысле гл. 1) переходе фазовой точки из начального положения ха в блиакое к нему конечное положение л, траектория л (~) сначала сильно отклонится от точек хю хм а уже потом попадет в положение л,. Однако часто в инженерной практике такое поведение системы является не только нежелательным, но и недопустимым. Дело в том, что в ряде случаев мощность допустимых сигналов управления вполне достаточна для перевода системы в состояние, недопустимое с точки зрения безопасности или надежности работы (например, перегрев в моторе, перегруаки и т.
д.). В этих случаях приходится ограничивать не только область У возможных значений управляющего параметра, но и область возможных значений фаэовой точки. Другими словами, разрешается выбирать только такие допустимые управления, для которых соответствующие фазовые траектории лежат в заданной фиксированной области В, выделенной наперед в л-мерном фазовом пространстве Х. 232 ПРОЦЕССЫ ПРИ ОГРАНИЧЕННЫХ КООРДИНАТАХ ~ГЛ.
6 В этом случае оптимальная задача состоит в выборе такого допустимого управления, для которого соответствующая траектория целиком лежит в области В и удовлетворяет заданным краевым условиям, причем минимнэируется заданный функционал. Полная система необходимых условий, которым удовлетворяют оптимальные управления и соответствующие им оптимальные траектории этой обобщенной оптимальной задачи, дается теоремой 25 (см. стр. 337), которая и является основным реаультатом настоящей главы. Еслиобласть — открытое множество фазового пространства Х, то сформулированная здесь оптимальная задача эквивалентна оптимальной задаче гл. 1,2, и ответ дается принципом максимума (так как при докааательстве принципа максимума мы пользовались лишь сколь угодно малой окрестностью оптимальной траектории). Новые трудности возникают в интересном для приложений случае, когда рассматривается з а м к н у т а я о б л а с т ь В (т.
е. замыкание открытого в Х множества) и иследуемая оптимальная траектория частично или целиком лежит на границе области В. В дальнейшем мы будем предполагать, что  — замкнутая область пространства Х, а ее граница — гладкая или кусочно-гладкая гиперповерхность пространства Х. Мы будем рассматривать только такие оптимальные траектории, которые можно разбить на конечное число участков, каждый из которых либо целиком лежит на гладком куске границы области В, либо принадлежит (аа исключением, быть может, своих концов) открытому ядру области В. Участки оптимальной траектории, целиком лежащие на гладком куске границы области В, удовлетворяют необходимым условиям, укаэанным в теореме 22, аналогичной принципу максимума.
Формулировке и доказательству этой теоремы, а также некоторым ее обобщениям посвящены Я 32 — 35 настоящей главы. Участки оптимальной траектории, принадлежащие, (за исключением, быть может, своих концов) открытому ядру области В, удовлетворяют обычному принципу максимума (гл. 1, 2).
283 постановка 3АдАчи Я ЗЦ Наконец, всякая пара примыкающих друг к другу участков оптимальной траектории, один из которых лежит в открытом ядре области В, а другой — на ее границе, или лея«ащих на двух разных гладких кусках границы области В, удовлетворяет некоторому условию сопряжения, которое мы называем условием скачка (теорема 24).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
