Понтрягин Л.С. - Математическая теория оптимальных процессов (2-е издание) (955113), страница 38
Текст из файла (страница 38)
при т,(т) получаем соотношения (40), (41), что и завершает индукцию. Тем самым, формулы (40), (41) полностью доказаны. Так как 21 — правильная точка управления и(2), то формулы (40), (41) применимы, в частности, при т = 111 х* (21+ еб!) = х (21) + ейх+ о (е), (51) глзньск задачи 244 ~ГЛ, 4 где Лх = С (х (С,), х (С, — 6), и (С,)) й + в + ~Ч', А1„п(О,С(х(т1), х(т, — В), а1)— 1 — С (х(т1), х(т1 — 6), и(т1))) й1. (52) Обозначим теперь через К множество всех векторов (52), исходящих из точки х(С,). Дословно так же, как в главе 2 (стр. 105 — 110), устанавливается, что К— в ы п у к л ы й к о н у с пространства Хи что имеет место лемма 3 (при т = С,). Справедлива также и лемма 4 для т = С„что следует непосредственно из леммы 3, Таким обрааом, если траектория х(С) оптимальна, то конус К не содержит внутри себя луча Е1,.
Поэтому через вершину х(С1) конуса К можно провести такую гиперплоскость Г, что конус К расположен в одном из двух замкнутых полупространств, определяемых гиперплоскостью Г, а луч Ь1, — в другом. (Конус К здесь ааменяет предельный конус, рассмотренный на стр. 118.) Это позволяет, как и в главе 2, определить нетривиальное решение 1р(С) = (1ра(С), 161(С),..., 1р„(С)) системы уравнений (34), (35), для которого выполнены соотношения 1р,=сопят(0, (53) (1Р (С1), Лх) =0 при Лх 1-.
К. (54) Докажем, что 1Р(С) — искомая функция (существование которой утверждается в теореме 20). Пусть т,— произвольная правильная точка, т. е. точка непрерывности управления и(С), С, ( т, ( С,. Рассмотрим символ а (см. 2 14) с единственной точкой т, (т. е. а = 1) и с числами бг„й, соответственно равными единице и нулю.
Тогда вектор Лх (см. (52)), соответствующий атому символу а, будет иметь аначение Лх = А1о Ь (О, С'(х(т ), х (т, — 6), г1)— — 1(х(т,), х(т, — 6), и(т,))). (55) Положим д (С) А1 т (О г (х (т1) х (т1 6) г1) —,С (х (т1), х (т, — В), и (т1))), т, — В ~ С ( С,. о 2Н ОПТИМАЛЬНЫЮ ПРОЦВССЫ С ЗАПАЗДЫВАНИКМ 24д е (т,) =с (х (т ), х(т, — д), ес) — 7'(х (т,), х (т, — 0), и (т,)). (56) Кроме того, согласно (55) и (54), мы имеем (вссс (сс) 8'(вс)) ~ 6 (57) Мы сейчас докажем, что имеет место равенство (вг (тс) е" (тс)) = (вр(сс) й'(сс)). (58) В самом деле, мы имеем (в силу (34), (35) и (38)) с, р (С,), а (2,)) — ( З (т,), й (т,)) - ~ †„", ( ) (С), 8 (2)) 2 = = $ ~( '„~„~'~ ., й (С)) + ( р (В), ~„(") Л асв = т~ а с,— в ( даЯ" (с(с (с), (с), (с — О), (с)) =-Х д„а а о д у' (ф (с+ е), х (с+ о), * 6), а (с+ од аа (С) а с, ~' д,у'(д(с),*(с), ( — о), 6)) .(,),(, -Х дха а=ос, -в и с, а + ~' ~ ( ), (с) ~~в' ' (* (')' ' (' )' " (')) 8' (с) + дас а ОН с=О +,С, (С) 15~ дга(х(с), х(с — 0), а(с)) с(С вЂ” д)) (С дф и а а (с) с(с ' р ду' ( 2 (с+ о), х (с+ а), * (с), а К+ о)) а О Тогда, по определению, й(С) = (ло(2),лс(С),..., 4 "(2)) есть решение системы (38), соответствующее начальной функции, тождественно равной нулю (на отрезке т — 6 ( 2 = тс) и начальномУ значению (ГЛ, О РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ 246 а ч; ~ д,б2-(8(О,.(1),*(1 — О),.(1))...,„ аа (( — 8) о11 = а=ОН а 1,— О дМ (ф (1 + О), а (1+ О), * (1), а (1+ О)) =-Х .
даа а=О а 1,— О дЛ (ф(1+О),*(1+О), О), (+О)) . ~,2(=О ба(г)Ж=О а=о, — О (при вычислении мы использовали определение функции аУ" и тот факт, что з(() = О на интервале т, — 8 (((т,). Таким образом, равенство (58) доказано. Из (57) и (58) получаем (ар (т,), л' (т,)) = О, откуда, согласно (56) и определени1о функции Й, находим аа (Ор(т1), х(т,), х(т, — 8), Р1)( ( М (ОР(т1), х(т,), х(т, — 8), и(т,)). Так как зто неравенство справедливо для всех точек Р1~У, то при ( = т равенство (36) выполняется.
Итак, равенство (36) доказано для всех точек непрерывности управления и((). Так как функция и(() в точках разрыва непрерывна слева, а функции а78 и аз непрерывно зависят от своих аргументов, то соотношение (36) справедливо и в точках разрыва управления и((). Таким образом, равенство (36) доказано полностью. Первое из соотношений (37) нами также доказано (см. (53)).
Далее, полагая в формуле (52) бг, =, ... = бт, = О, мы получим дх=у(х(г,), х((, — 8), и((,)) бт, и потому, в силу (54), аа( (Ор (Г,), х (О,), х (г, — 8), и ((1)) Ьг аа О. Так как это неравенство справедливо при л1обых В 247 ОДНА ЗАДАЧА ПГИСЛВДОВАНИЯ «281 (как положительных, так и отрицательных), то оЯ" (тр (г,), х (г,), х (г, — 8), и (г,)) = О, и второе иэ соотношений (37) установлено (см.
(36)). Итак, теорема 20 для случая закрепленного правого конца установлена. Условие трансверсальности (условие 3' в теореме 20) для задачи с подвижным правым концом устанавливается так же, как и в главе 2 (с очевидными изменениями). Тем самым теорема 20 полностью доказана. з 28. Одна задача преследования *) Предположим, что в и-мерном фазовом пространстве Х движутся две управляемые точки, одну из которых мы будем называть «преследующей», а другую — «преследуемой».
Движение каждой из этих точек подчиняется своей собственной системе дифференциальных уравнений со своим собственным управляющим пераметром. Управляющий параметр, область управления и траекторию движения преследующей точки мы будем обозначать соответственно через и, Н, х(г). Для преследуемой точки будем эти величины обозначать символами л, г', у(~). Пусть и(~), о(~) — некоторые допустимые управления, а х(~), у(г) — соответствующие им траектории с начальными условиями х(0)=х„, у(0) =у . (59) Если для некоторого г, ) 0 выполняется равенство х(С,) = = у(»,), то число ~д мы будем называть моментом встречи, а сам факт выполнения равенства х(С,) = у(»,) — встречей. Вообще говоря, если управления и(г) и о(г) выбраны произвольно, то встречи может не произойти ни при каком г ) О.
Если же встреча происходит, то мы будем говорить, что иЯ является преследующим управлением (для заданного управления о(г) и заданных начальных условий х„у,). При этом для заданных х„у„о(1) и выбранного управления и(г) может произойти не одна встреча. Наи- *) Результаты этого параграфа принадлежат Д. Л. Келенджеридэе. РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ ~гл. 4 меньшее положительное число Сы являющееся моментом встречи, мы будем называть временем преследования, соответствующим управлениям и(г), о(г). Время преследования мы будем обозначать через Т„„. В дальнейшем начальные условия (59) предполагаются фиксированными (в связи с чем в обозначение времени преследования начальные условия аю у, не входят). Мы будем в дальнейшем предполагать, что преследующая точка обладает следующим свойством: для любого заданного управления о(1) существует (при заданных начальных условиях (59)) преследующее управление и(г).
Коли управление о(г) преследуемой точки выбрано, то можно поставить вопрос о нахождении такого преследующего управления и(е), чтобы соответствующее время преследования Т„„принимало минимальное значение. Мы будем предполагать, что для любого допустимого управления о(1) с у щ е с т в у е т допустимое управление и(8), осуществляющее м и н и и у м времени преследования. Этот минимум мы будем обозначать через Т,: Т„=шгпТ, „. о Мы будем, далее, предполагать, что существует допустимое управление о(т), осуществляющее м а к с и м у м величины Т„.
Этот максимум мы обозначим через Т: (60) Т = шах Т„= шах (пйп Т „). Задача заключается в том, чтобы выбрать такую пару допустимых управлений и(г), о(8), что для соответствующего времени преследования Т„„выполняется равенство Т„„= Т. Такую пару управлений и(г), о(г) мы будем называть оптимальной парой управлений, а соответствующую пару траекторий к(г), у(1) (с начальными значениями (59)) — оптимальной парой траекторий. Итак, управление и (при любом заданном управлении о(~)) выбирается таким образом, чтобы по возможности у с к о р и т ь встречу преследующей точки с преследуемой; выбор же управления о подчинен задаче максимально отдалить (во времени) момент встречи.
Отметим еще, что при выборе управления и(~), определяющего ОДНА ЗАДАЧА ПРЕСЛЕДОВАНИЯ 249 2 28) движение преследующей точки, мы каждый раз предполагаем заранее и з в е с т н ы м управление и(2) для преследуемой точки; в соответствии с этим при определении величины Т с н а ч а л а берется минимум по всевовможным управлениям и(2) при некотором фиксированном управлении Р(2), а з а т е м берется максимум по всевозможным управлениям Р(().
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
