Понтрягин Л.С. - Математическая теория оптимальных процессов (2-е издание) (955113), страница 40
Текст из файла (страница 40)
87. множества Хь, к множеству И'), т. е. И'с:Хь. Следовательно, а есть в н у т р е н н я я точка множества Хьг Вернемся снова к оптимальным управлениями(«), и(«) и оптимальным траекториям х («), у («), упоминаемым в теореме 21 (при упрощающих предположениях (77)), и покажем, что точка х (Т) лежит н а г р а н и ц е тела Хт. В самом деле, допустим, что точках(Т) является внутренней точкой этого тела. Тогда в зту точку можно попасть (двигаясь от начала координат в силу системы (74)) за время «' ( Т. Следовательно, взяв точку «„ удовлетворяющую неравенствам «' ( «, ( Т, мы найдем, что множество Х, (состоящее из точек, в которые можно попасть за время «,~ содержит точку х(Т) внутри себя, а следовательно, содержит внутри себя шар некоторого радиуса г с центром в точке х (Т). При «г ( «( Т множество Х, также содержит внутри себя шар радиуса г с центром в точке х(Т).
Выберем теперь число «(принадлежащее интервалу «г ( «( Т) настолько близким к Т, чтобы расстояние между точками у (Т) = х(Т) и р («) было меньше, чем и. Тогда множество Х, содержит внутри себя точку р(«), причем «( Т. Но это означает, что в положение у(«) преследующая точка может попасть в момент «( Т, т. е, что (при выбранном управлении и(«) для преследуемой точки) встреча может произойти в момент «( Т. Однако ОДНА ЗАДАЧА ПРЕСЛЕДОВАНИЯ 8 282 255 это противоречит определению числа Т.
Таким образом, точках(Т) лежит на границе Бт множества 2т. Из этого следует, что и(г), О ( г ( Т, есть оптимальное по быстродействиго управление, соответствующее переходу иа начала координат в точку л(Т) (в силу системы (74)). Действительно, если бы это управление было не оптимальным, то в точку х(Т) можно было бы попасть за время, меньшее чем Т, и тогда точка х(Т) лежала бы в п у т р и множества А'т, что не имеет места. В силу сказанного, управление и(8), рассматриваемое на отрезке О ( 2 ( Г, (где 22 ( Т), также является оптимальным по быстродействию управлением, соответствующим переходу (в силу системы (74)) из начала координат в точку л(22). Иначе говоря, в точку л(г,) (О ( г', ( Т) нельзя попасть быстрее, чем за время гм и потому точка х(г,) лежит на границе множества Е, Обозначим через Е объединение всех мноя1еств Е„ 2 ) О.
Ясно, что Š— открытое множество пространства Х, содержащее множество Ет и, следовательно, точку х (Т) = р (Т). Поэтому найдется такое число 8~ ( Т, что у(2) Е Е при га ~ 2 ( Т. для любого 2, гэ ( 2 ( Т, мы обозначим череа т (2) такое число, что р (2) ~ Я,<О.
Легко видеть, что т(2) — непрерывная функция переменного 2, гэ =2 =Т. Далее, так как п(8), э(2) — о п т и м а л ь н а я пара управлений и Т вЂ” время преследования, то имеют место соотношения т(Т) =-7', (78) т(г))8 при 8(Т. (79) В самом деле, если бы для некоторого 8 ( Т было выполнено неравенство т(2) ( 2, то в точку у(2)~Я,<сс: Е, преследующая точка могла бы попасть в момент времени Г, т. е. (при выбранном управлении с(2) для преследуемой точки) была бы возможна встреча в момент 2 ( Т, что противоречит определению числа Т.
Так как точка у(г) лежит на границе Яме выпуклого тела Епо, то можно провести в Х опорную гиперплоскость к телу Епо, проходящую через точку у(2). Эту гиперплоскость (любую из них, если она не единственна) мы обозначим через Лис. Единичный вектор, ортогональный к гиперплоскости Лпо и идущий из точки у (2) в то полупро- РАЗНЫВ ЗАДАЧИ 256 <гл.
4 странство, которое не содержит множества Хко, мы обозначим через е,<». Так как для любой точки х~Х,<о вектор х — у(<)направлен в то полупространство, которое содержит множество Е,<о, то (х — у(<), е,<о) ( 0 (при хб~т<о). В частности, из (79) следует, что В<с:Х,«>, и потому (х — у (<), е, «>) =.0 при х Я Х<. (80) Выберем теперь некоторый способ варьирования управления Р(<) (см. стр. 97 — 98). Соответствующая варьированная траектория (с прежним начальным условием, см. (59)) имеет вид: у*(й) =-у(<)+збу(<)+о(е), 0(<(Т; (81) при атом вектор Лу = бу(Т) определяется формулой (22), гл.
2, в которой следует положить т = Т, 6< = 0 и отбросить координату хз (ибо рассматривается фазовое пространство Х, а не Х). Пусть теперь Р„Р,„..., з<. произвольная сходящаяся к нулю последовательность положительных чисел. Траекторию (81), соответствующую значению е = з<, обозначим через уз (1), а соответствующее управление — через ит(>). Время преследования, соответствующее управлению иа(<), мы обозначим через <<=Т„,.
Таким образом, у,.' (~<) Е ~;.<. > = 1, 2,... (82) из оптимальности пары управлений и(<), Р(<) вытекает, что 1>(Т, >=1, 2,... (83) Далее, легко видеть, что 11ш <> = Т. (84) В самом деле, допустим, что соотношение (84) не выполнено. Переходя, если нужно, к подпоследовательности, мы можем считать, что 11ш г< существует и ( Т. Положим 1<ш << = г. Так как Иш з, = О, то из (81) следует, <-О) < и что 1>л| у, (Е<) = у (Е).
< й ОДНА ЗАДАЧА ПРЕСЛВДОВАННЯ 257 з 28! Далее, из (82), переходя к пределу, получаем 1(п у,'(28) (= Х7. Таким образом, у(8)~27, где 2 ( Т, но зто противоречит определению Т. Следовательно, соотношение (84) выполнено. Из (83) и (84) следует, что при достаточно большом 8 определены числа т(2,); мы будем считать (отбрасывая, если нужно, несколько йервых членов последовательности), что числа т(22) определены для всех 8 = 1, 2,... Далее, из (78) и (84), в силу непрерывности функции т(8), следует 11шт(2,) = Т.
(85) т го Рассмотрим теперь векторы ень1, 1= 1, 2, ..., (86) В силу компактности единичной сферы и-мерного пространства Х, мы можем считать (перейдя, если нужно, к подпоследовательности), что векторы (86) сходятся при 8 -+ со к некоторому единичному вектору е пространства Х. Пусть теперь х — произвольная в н у т р е н н я я точка тела В т.
Тогда при достаточно большом 1 будет выполнено включение х~В, и потому (х — у(8,), егор)-=.0 (см. (80)). Переходя в атом соотношении к пределу при 8 -э со, мы получим (учитывая соотношение у(Т) = х(Т) и соотношение (85)): (х — х(Т), е)(0. (87) Соотношение (87) справедливо для всех внутренних точек х тела Хт, а значит, и для всех вообще точек х этого тела. Далее, из (82) следует, в силу (80), что (у,' (2,) — у (2 ), етп8) ( О, 1 = 1, 2,... или, согласно (81), (З,бУ (22) + О (З) !я я., ЕП2 >) ( О, 8 = 1, 2,... Разделив зто соотношение на з; и переходя к пределу 9 Л. С, Понтрягин и ир. ~гл, е глзныв злдлчи 258 при 1 — л сю, получим (в силу соотношения Иш — = 0) о (е) е ю е (бу(Т), е) =.О, или, иначе, (Лу, е)(0.
Наконец, рассмотрим функцию р,. (г) = (х (с) — у (г), е„,,). Так как х(~)(:~"„при любом ~, то из (80) следует, что <р;(Г,):== О. Далее, <р (Т) = О, ибо х(Т) = у(Т). Кроме того, функция ~р,.(с) имеет при достаточно большом е непрерывную производную на отрезке ~, ( ~ ( Т (ибо управления и(с) и о(с) кусочно-непрерывнй и имеет место соотношение (84)). Поэтому существует такое число $,, 8,. ( $,. ( Т, что ср,:(8,.) ) О, т. е. (У (х (е,), и ($,.)) — д (у Я,), о Я,), $;), ееир) ) О. Переходя в этом соотношении к пределу при $ -~ со, получим (89) (ю, е)(0, где и'=в" (у(Т), о(Т), Т) — 7(х(Т), и(Т)). (90) Обозначим теперь через Л гиперплоскость пространства Х, проходящую через точку х(Т) и ортогональную вектору е. Кроме того, будем считать векторы Лу и и исходящими из точки х(Т).
Тогда соотношения (87), (88) и (89) показывают, что все тело лт и векторы Лу и ш расположены по одну сторону зиперплоскости Ь. Иначе говоря, если мы обозначим через л,* выпуклую оболочку тела л'т и вектора и, то мы найдем, что тело л;е и вектор Лу лежат по одну сторону гиперплоскости Ь. Поэтому тело л'е и вектор — Лу расположены в двух р а з н ы х замкнутых полупространствах, определяемых гиперплоскостью Л.
Отсюда мы, наконец, заключаем, что вектор — Лу, исходящий из точки х(Т), не проходит через внутренние точки тела Ее. Будем теперь рассматривать всевозможные способы варьирования управления о(г), откладывая получающиеся векторы Ьу = Ьу(Т) (см. (81)) из точки х(Т). Концы этих в вм ОДНА ЗАДАЧА ПРВСЛВДОВАННЯ векторов заполнят некоторое множество К в пространстве Х, являющееся, как легко видеть (ср. стр.
105 — 106), выпуклым конусом с вершиной в точке х(Т). Концы векторов — Лу заполняют выпуклый конус, симметричныи конусу К относительно точки х(Т). Этот конус мы обозначим через — К. Из сказанного выше вытекает, что конус — К не пересекается с внутренностью выпуклого тела Е*. Так как при етом тело Х* содержит внутренние точки (ибо тело Хт содержит внутренние точки), то тела Х* и — К являются разделяемыми. Иначе говоря, существует в Х такая гиперплоскость Л*, что тело Х* содержится в одном замкнутом полупространстве, определяемом гиперплоскостью Л*, а конус — К в другом. Следовательно, выпуклые множества Е* и К расположены в одном замкнутом полупространстве, определяемом гиперплоскостью Л*.
Обозначим черев ее единичный вектор, исходящий из точки х(Т), ортогональный гиперплоскости Л* и направленный в полупространство, не содержащее тел Е* и К. Таким образом, вектор е* удовлетворяет соотношениям (ср. (87), (88), (89)): (х — х(Т), е")(О при х~ Хт, (91) (Ьу, е*) ( 0 при Ьу (-- К, (92) (ю, е*) (О. (93) Обозначим через вр(в) решение системы (63) с начальным условием еу(т) = е*, а через т(1) — решение системы (64) с начальным условием у(Т) = е*. Мы покажем сейчас, что функции вр(1) и )((1) — искомые (т. е. они удовлетворяют условиям, указанным в теореме 21).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
