Понтрягин Л.С. - Математическая теория оптимальных процессов (2-е издание) (955113), страница 33
Текст из файла (страница 33)
положим го<то~то~" ~т,~т=бо Наконец, мы выберем некоторый вектор бпу пространства И' и через х* (~) будем обозначать (при достаточно малом з) решение системы ех' — =1'(х, ео(1), и~о+збю), 1=0, 1,..., п, |Й т. е. траекторию, соответствующую проварьированному управлению ио(т) и смещенному значению ю = юо + збю параметра и. При этом линию е(з) мы будем считать вы- родившейся в точку х„т. е. будем считать, что решение хо(о) удовлетворяет тому же начальному условию (~0) хо ! что и решение х(1).
Формулы (21), (22) гл. 2 теперь можно будет записать в виде х*(10+ ебо) = х(ог)+зпх+ о(е), где пх = 1'(х (10), и (~,), ю ) И + А~~..(0) + (8) + Х Ао „и ГУ(х (то) Ро, юо) — У(х (то), и (ту), юо)) В, 0=1 (ибо $0 —— О). Обратимся теперь к т 14. Мы включим вектор боо в символ а, т. е. будем полагать а = (т;, и;, ЙО Й, бил) (мы опустили обозначение точки т, так как теперь т = г, есть фиксированная точка). Линейная комбинация сим- волов а определяется так же, как и раньше, только РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ (гл.
е с учетом и последнего аргумента: А (, Ьв)+Л (, бш )+.. =(, Ли+Лабиуа+.. ). После этого доказательство лемм 2, 3 (при т = г,) про ходит без изменения, а лемма 4 становится просто ненуж ной (ибо т = г,). В результате мы получаем конус дости жимости Кн, для которого справедлива лемма 3. Рассуждения 3 15 также сохраняются (с заменой т на (,), а предельный конус становится ненужным, так как у нас имеется лишь один конус Ка, построенный как раз в конце л(г,) траектории л(г) (в силу этого лемма 9 не нужна — она просто сводится к лемме 3).
Наконец, рассуждения, приведенные в конце 4 15, доказывают (при бв = О) условия 1', 2', 3' и заключительную часть теоремы 17. Остается показать, что для выбранного таким образом вектора ар(~) выполняется условие 4'. Положим в фор- муле (8) б( = бгг = б(а= ... = 5(, = О. Мыполучимтогда Ья= А~, (О). Согласно сказанному выше (ср. формулы (34), (36) гл. 2), мы имеем (аР(г,),йх)(0 для любого вектора Лх вида (8), и потому (см.
(7)) и 1и (р(() А (0)) 1 '~ ~р (г) '' " (' 'б да~о. ц 1=э д=~ (7*) Так как эти соотношения справедливы при любых дей- ствительных значениях параметров бвд, то мы имеем и Н () д)а(а(0,а(0, а) ((=0 Д = 1 2 ... мВ ~а и теорема 17 полностью доказана.. Заметим в заключение, что если параметр и может изменяться не во всем пространстве И~, а лишь в неко- торой замкнутой области И',С )т', имеющей кусочно- гладкую границу, то условия (5) в формулировке теоре- мы 17 заменяются соотношениями п ~~) ~ ( ) д)а (а (0, и (с), а~а),( 0 а=а г, ПРИМЕНЕНИЕ К ЗАДАЧАМ ПРИБЛИЖЕНИЯ 215 1 26] где производная под знаком интеграла берется по любому направлению и, исходящему из точки и1, и проходящему в области И',.
Иначе говоря, для любой дифферен- цнруемой кривой ю(О), исходящей при О = О из точки юю н проходящей в области И;, должно быть выполнено соотношение и 1, ф(1) ',, -О. ,, д)а (а (1), и (1), и (з)) ( '('а (1) а=6 1, то у~~~р~де~~~ непосред ння (7*). 9 26. Применение теории оптимальных процессов к задачам приближения функций Пусть Р(х, у) — функция, определенная и непрерывная для всех действительных значений аргументов. Тогда для любых двух функций х((), у(2), заданных на отрезке а - г ( Ь, величина ь У = ) Р (х (1), у (6)) 6(( (9) а может быть использована для сравнения функций х(6) н у(1). Например, если Р(х, у) = (х — у)2, то интеграл (9) принимает вид ь Х = ~ (х(1) — у (())26(1 (9*) а и представляет собой в этом случае квадрат расстояния между элементами х(1) и у(2) пространства 22.
(Здесь и далее в этом параграфе все функции аргумента 2 будут рассматриваться на одном и том же фиксированном отрезке а ( 2 -= Ь.) В настоящем параграфе рассматривается решение следующей задачи. Заданы функции г" (х, у) и у(1).
Кроме того, заданы целое число п ) О и действительное число и ) О, Среди всех и раз непрерывно дифференцируемых функций х(2), заданных на отрезке а «-. 6 ( Ь и обладающих тем свойством, что функция х<а)(1) удовлетворяет условию Липшица с константой и, найти 216 РАЗНЫБ ЗАДАЧИ [гл. « такую, для которой интеграл (9) принимает наименьшее значение.
Эту задачу мы будем в дальнейшем называть основной задачей. В частном случае, когда Р(х, у):— (х — у)' (т, е, вместо функционала (9) рассматривается(9ь)), а число и равно нулю, мы приходим к задаче нахождения такого многочлена и-й степени х(1), который на отрезке а ( г ( Ь имеет наименьшее квадратичное уклонение от заданной функции у(~), т. е. к классической задаче нахождения коэффициентов Фурье при разложении функции у(г) по многочленам Лежандра.
Таким обрааом, рассматриваемая основная задача является обобщением этой классической задачи. Прежде всего мы покажем, что при некоторых естественных требованиях, налагаемых на функцию Р(х, у), поставленная основная задача всегда (т. е. для любой функции у(»)) имеет хотя бы одно решение, а в случае, когда рассматривается функционал (9«), эта задача имеет (для любой функции у(г)) ровно одно решение. Далее рассмотрен вопрос о нахождении функции х(г), являющейся решением основной задачи.
Для нахождения решения используется принцип максимума. В качестве примера приведена «аадача о нахождении профиля дороги». Вопрос о с у щ е с т в о в а н и и решения основной задачи (а в частном случае (9*) и вопрос о единственности решения) рассматривается в нижеследующей теореме.
Т е о р е м а 18. Пусть 4ункция Г(х, у) определена и непрерывна для всех действительных значений аргументов х, у и обладает тем свойством, что при изменении у на любом конечном отрезке функция Р(х, у) равномерно (по у) стремится к + со, когда х -+ .+. со. Тогда основная задача имеет хотя бы одно решение для любой непрерывной функции у (г). Если, в частности, Г(х, у) = (х — у)», то поставленная задача имеет для любой функции у (Г) ровно одно решение.
Множество всех действительных и раз непрерывно дифференцируемых функций х(2), заданных на отрезке а ( г( Ь и обладающих тем свойством, что их и-е производные хен (г) удовлетворяют условию Липшица с константой а, мы обозначим через й< ~. Таким образом, включение х~й~"> оаначает, что функция х (г) ь 2«] ПРИМЕНЕНИЕ К ЗАДАЧАМ ПРИБЛИЖЕНИЯ 217 задана на отрезке !а, Ь), имеет на этом отрезке и непрерывных производных и удовлетворяет неравенству ! х<") (У) — х<"> (1") ! ~ <х / 1' — 1" / для любых точек 1', 1" отрезка 1а, Ь). Множество 12<„">, очевидно, содержится в банаховом пространстве С<„ь] всех непрерывных функций, ааданных на отрезке (а, Ь!.
О с н о в н а я л е м м а. Множество й~"> является замкнутым выпуклым локально компактным подмножеством пространства С<а ь]. Любое замкнутое оераниченное множество, содержащееся в й~"~, компактно. Эта лемма известна. Она, например, легко вытекает нз теоремы 3.5.1, приведенной на стр. 127 книги А.
Ф. Тимана «Теория приближения функций действительного переменного», Физматгиз, М., 1960. В самом деле, обозначим через Хя множество всех функций х~12~"), удовлетворяющих условию ]]х]]с ( Л, а через 2'я«) — множество всех функций вида х«) (1), где х~ХБ. Цитированная выше теорема утверждает, что множества Хя, Х<<), ..., Х(„") «компактны в пространстве С<«ьр, т. е. замыкания этих множеств в пространстве С<«ь] компактны. Если х— произвольная предельная точка множества 2'я, то существует последовательность х„х„... элементов множества Вя, сходящаяся к х.
Переходя, если нужно, к подпоследовательности, мы можем считать (в силу того, что замыкание множества Х);.) компактно), что последовательность х<о, х«), ... является сходящейся, < = 1, 2, ..., и. Из этого, в силу теоремы об интегрировании равномерно сходящихся последовательностей, следует, что функция х(1) имеет непрерывные производные порядков 1 = 1, 2, ... ..., и, причем х«) есть предел последовательности х<,'>, х«>, ... В частности, х' '(1), как предел последовательности х<">, х<">, ..., удовлетворяет условию Липшица с константой а, и потому х(:ь«("). Итак, множество Хя замкнуто, и, следовательно, компактно. Выпуклость множества 12("> очевидна.
Таким образом, основная лемма доказана. Д о к а з а т е л ь с т в о теоремы 18. Обозначим через Х отрезок, которому принадлежат значения функ- РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ 218 [гл. а ции у ([) при [<=-[а, Ь!. Так как при у~1 функцияг" (х, у) равномерно по у стремится к + сю, когда х -э + оэ, то функция г" (х, у) ограничена снизу при у<=-1 и любом х. Позтому существует такое неотрицательное число М, что Р(х, у)) — <>< при у<--1 и любом х. (1О) Выберем произвольные попарно различные точки а„а„..., а„, расположенные внутри отрезка [а, Ь[, и обозначим через <р< (1) многочлен степени и, принимающий значение 1 в точке а< и значение О в остальных точках аг Обозначим, далее, через р настолько малое положительное число, что на интервале 1< длины р с центром в точке а< (< = О, 1, ..., и) многочлен <р< ([) 2 принимает значения, ббльшие —, а все остальныемногочлены ф<([) принимают значения, по модулю меньшие Зи' —.
Наконец, через А обозначим такое положительное число, что < <р, (Г) [ ( А при 1~[а, Ь[, > = О, 1, ..., и. Пусть теперь х([) — произвольная функция, принадлежащая множеству Й<,">, и [[ х [[ = шах [ х ([) [ — ее норма а в пространстве С[ з>. Обоаначим через ф ([) многочлен степени и, удовлетворяю>ций условиям х<в (а) = <р«> (а), <' = О, 1, ..., и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
