Понтрягин Л.С. - Математическая теория оптимальных процессов (2-е издание) (955113), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Это — теорема о «конечности числа переключений» для линейных уравнений с переменными коэффициентами (ибо всякое управление и(«) задано на некотором о т р е з к е 8» ( с ( г„целиком лежащем внутри интервала а ( «( Ь, и из теоремы 15 следует, что число точек разрыва функции и(«) конечно). В случае постоянных коэффициентов теорема 15 превращается в теорему 9. Д о к а з а т е л ь с т в о теоремы 15 вполне аналогично доказательству теоремы 9. Укажем лишь те незначительные изменения, которые следует произвести в доказательстве теоремы 9.
Предположим, что множество точек, в которых значение управления и(«) не определяется однозначно соотношением (92), имеет хотя бы одну предельную точку в н у т р и интервала а ( «( Ь. Тогда, как и выше (см. формулу (8) и относящийся к ней текст), мы сможем найти такое ребро ю многогранника П и такое множество М, имеющее внутри интервала а ( «( Ь предельную точку т, что з ьи уРАВнения с переменными коэФФициентАми зей Формула (9) заменяется соотношением (ф (з) В (з) и) =,У, фр(~) Ьр (р) юр (94) р,р Так как функции а'(г) имеют и — 2 непрерывных производных, то функции ф,(С), ..., ф„(С), составляющие решение уравнения (91), имеют и — 1 непрерывную производную; функции Ь'(~) также имеют, по предположению, и — 1 непрерывную производную. Следовательно, функция (94) и — 1 раз непрерывно дифференцируема.
Так как т — предельная точка множества М, то, в силу непрерывности функции (94), из соотношения (93) вытекает, что (ф (т), В (т) и) = О. Далее, так как между каждыми двумя корнями дифференцируемой функции содержится хотя бы один корень ее производной, то производная функции (94) обращается в нуль в бесконечном множестве точек, имеющем т своей предельной точкой. Но производная функции (94) имеет вид „вЂ”,(ф(~),В(~) ш) = ( — А*(З)ф(К),В(1)ю)+(~Р(~), Л, ю) = = ("т (с), —.4 (с) В(к) й) + ("т'(г), ш ю) = ("т' (с),.В, (~) ю) (см. (88)). Таким образом, на бесконечном множестве точек, имеющем т своей предельной точкой, выполняется соотношение (ф(~), В,(с)ю) =О, и потому (в силу непрерывности) (ф(т), В,(т) ю) = О. Аналогично, между любыми двумя корнями функции (ф(1), Вз(г)ш) содержится хотя бы один корень ее производной; из этого с помощью тех же рассуждений получаем (ф(т), Вз(т)в) = О и т.
д. В результате мы получаем соотношения (ф(т), В;(т)ю)=0, 1=1, 2,..., и (95) 204 ЛИНЕЙНЫЕ ОПТИМАЛЬНЫЕ БЫСТРОДЕЙСТВИЯ [ГЛ. 3 (ср. (10), (11)). В силу линейной независимости векторов (89) из соотношений (95) вытекает, что ф(т) = О, и потому решение 1р(1) уравнения (91) тривиально. Полученное противоречие показывает, что множество точек, в которых управление и(~) не определяется однозначно соотношением (92), не имеет предельных точек внутри интервала а(Т(Ь. Дальнейшее доказательство не отличается от доказательства теоремы 9. Итак, теорема 15 доказана. Перейдем теперь к рассмотрению те о р е м с у щ ес твования и единственности длясистемы (86).
Как и выше (см. (20)), рассмотрим фундаменталь-. ную систему решений т (~) " 1р. (1) однородного уравнения — „= А (~) х, удовлетворяющую паях чальным УсловиЯм 1Р1(1а) = 6,'., и фУнДаментальнУю систему решений Ф(1), ", ф"(1) уравнения (91), удовлетворяющую начальным условиям 1р1(~з) = 61. Прн этом соотношение (21) остается справедливым. Далее, решение уравнения (87), соответствующее произвольно выбранному управлению и(1), Тэ ( Т ( 11, можно искать в виде х х (С) = ~Ч; р, (1) сх (С) х=1 (ср.
стр. 138). В результате мы получаем следующую формулу (ср. (22)): х х(1) = У', сР,(Т)(хх+$ (1Р'(1), ВЯи(й)+~Я)Ю). (96) После этого теоремы 11 и 12 (в дословно тех же формулировках) переносятся и на рассматриваемый случай. Сохраняются и доказательства этих теорем — с заменой соотношения (22) соотношением (96) и вытекающими отсюда очевидными изменениями.
Сохраняется и теорема существования (см. теорему 13). з гз~ гглвннния с пкгкмкнными коээанцивнтлми 205 Т е о р е и а 16. Если для прооесса, описываемого уравнением (87), существует при заданном Сз хотя бы одно управление иЯ, 1з ~ 1 ~ С„переводящее фазовую точку из поло- жени хз в положение х„то существует и оптимальное управление (с тем же начальным моментом гз), переводящее фазовую точку из положения хь в положение х,.
Д о к а з а т е л ь с т в о является дословвым повторением доказательства теоремы 13 (с очевидной заменой ссылок на формулу (22) ссылками на формулу (96)). Отметим только, что сдвиг времени, о котором упоминалось на стр. 143, теперь не может быть применен ввиду того, что уравнение (87) неавтономно; однако этот сдвиг времени теперь и не нужен, так как рассматриваются лишь управления с начальным моментом Сз. 3 а и е ч а н и е.
Все результаты настоящего параграфа получены в предположении, что функции а'.(г), Ь'(г) и 1 7'(~), входящие в систему (86), определены на некотором интервале а ( г ( Ь (возможно, на всей прямой) и функции 7'(1) имеют на атом интервале первые непрерывные производные, а функции а,'.(С) и Ь'„(1) имеют соответственные (и — 2)-е и (и — 1)-е непрерывные производные.
(Кроме того, как всегда, предполагалось выполненным условие общности положения.) Нетрудно понять, что все полученные результаты остаются справедливыми, если функции а,*.(с), Ь'(~), /*(с) непрерывны, а их производные (в указанном числе) являются лишь к у с о ч н о - н е п р ар ы в н ы м и функциями. В самом деле, отметим на интервале а ( с ( Ь все точки, в которых хотя бы одна из указанных производных терпит разрыв непрерывности. Эти точки разбивают интервал а (1( Ь на части, на каждой из которых функции а!(~), Ь'„(г), 7"'(С) имеют требуемое число непрерывных производных, К каждой из этих частей в отдельности можно применить теорему 15, и потому теорема 15 справедлива в применении ко всему интервалу а ( с ( Ь.
Очевидно, что остается справедливой и формула (96), а потому также и теоремы существования и единственности. ГЛАВА 4 РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ в 24. Случай функционала, заданного несобственным интегралом — =~«(хз,..., х", и), «=1,..., и, и~««', (1) исходящая из точки х», определена для всех «) «» и удовлетворяе«п при 1 -» со некоторым (виданным заранее) предельным условиям, найти такое, для которого интеграл l = ~ «»(х(«), и(«)) ««« «в (2) сходится и принимает наименьшее возможное значение. На функции ~«(х, и) накладываются условия, аналогичные тем, которые были указаны в гл.
1,2: они предполагаются непрерывными но х и и и непрерывно дифференцируемыми по х«, ..., х на прямом произведении Х х У. Отметим далее, что мы будем понимать здесь под «допустимыми» управлениями. Функцию и(«), 8» ( «( оо, принимающую значения в области управления ь«', мы Рассмотрим следующий вариант оптимальной задачи, сводящийся к рассмотрению бесконечного интервала интегрирования в функционале Х. В фазовом пространстве Х дана точ а х».
Среди всех допустимых управлений и(«), «» ( «(+ со, для которых соответствующая траектория х(«) системы СЛУЧАЙ НЕСОБСТВЕННОГО ИНТЕГРАЛА 207 4 2М будем считать о г р а н и ч е н н о й, если множество всех точек и(2), где 2 пробегает любой к о н е ч н ы й отрезок, лежащий на промежутке 14 ( Т( со, имеет в пространстве Е, (содержащем область управления О) компактное замыкание. Принимая зто определение ограниченности управления (и рассматривая лишь управления, заданные на промежутках вида 22 ( 2 ( со), мы в остальном сохраним определение класса допустимых управлений, данное в 1 10. В частности, в качестве класса допустимых управлений можно взять класс всех ограниченных (в указанном смысле) измеримых управлений, заданных на промежутках вида ~, ( 1 ( со, или же класс всех ограниченных кусочно-непрерывных управлений (кусочная непрерывность понимается в том смысле, что на всяком к о н е ч н о м отрезке, содержащемся в промежутке 1, ( =.
1( со, управление и(1) имеет лишь конечное число разрывов первого рода). Наконец, сделаем еще замечания относительно «предельных условий на бесконечности», упомянутых в формулировке задачи. Мы предполагаем, что эти условия имеют вид (3) П4ш х4 (2) = х'„ 4 оо где х, = (х,', х'„ ..., х",) — заданная точка фазового пространства Х. Если для фааовой траектории х(й), соответствующей допустимому управлению и(1) и исходящей из точки хю выполнены условия (3), то мы будем писать х(со) = х, и будем говорить, что управление и(4), 4 ( ( 1 ( ос, переводит фазовую точку из положения х, в положение х,. решение поставленной оптимальной задачи дается теоремой 1 (или теоремой 8) с очевидной ааменой отрезка 24 ( 1 ( ~4 бесконечным промежутком 2, ( 1 ( оо и с заменой условия прохождения траектории через некоторую точку прямой П предельными условиями на бесконечности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
