Понтрягин Л.С. - Математическая теория оптимальных процессов (2-е издание) (955113), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Тогда дуга В, дА» д пред- в, ставляет собои геоме- У' трнческое место точек У„т. е. тех точек оптимальных траекторий, в которых прог исходит переключеАг Аг ние (от системы (52) д, 'ег к системе (52)д д). 0 Легко понять, что А, дуга Вд дАд д получа- ется из дуги А,О при Рзс. 39. помощи подобного преобразования с цен- «с; тром е; ди коэффициентом е Р и поворота вокруг центра е' д на угол ид д по часовой стрелке. В самом деле, решения системы (53) в полярных координатах (у' = р соз ~р, у' = р здп др) имеют вид 104 линвйные оптимальнык Быстгодвйствия [гл, 3 движется по этому закону, то по истечении отрезка времени, имеющего длину т, радиус-вектор движущейся в, г точки увеличивается в е1«раа У и поворачивается на угол рт.
«! 1 При т= — '' мы и получаем !» ! требуемое утверждение: вектор, идущий из точки е'; ! ! в точку Х1, получается из вектора, идущего в точку г« у' (рис. 40), увеличением дли- аа; к, ны в е а раз и поворотом Ряс. 40. на угол «с! 1 (против часовой стрелки).
Итак, подобное преобразование с центром е ! и коэф- аૠ— ! фициентом е э, сопровождаемое поворотом (по часовой стрелке) на угол а! „переводит дугу ОА! в дугу уг Ряс. 41. А! 1В! 1, на которой происходят «переключения» от системы (52), «к системе (52); 1 (рис. 41). Перед тем как произошло переключение в точке Г1, фазовая точка двигалась по закону (52)1, в течение пгямегьд з 21) $65 времени "' ' (дуга Е,Уд на рис.
42). Когда точка У, пробегает всю дугу Ад, В, „ дуги Я,Уд указанного вида заполняют «криволинейный четырехугольнике, двумя сторонами которого являются дуги А, дВ, д и Ад дВ« «. Рис. 42. Четвертую вершину этого четырехугольника мы обозначим через Сд . Как и выше, устанавливается, что дуга В; «Сд д (геометрическое место предыдуших точек переключения) получается из дуги А«,В«, при помощи подобного д«ч — 2 преобразования с центром е'; д и коэффициентом е сопровождаемого поворотом (по часовой стрелке) на угол ид з вокруг центра е( д. Продолжая таким образом, мы вычертим четыре линии ОА,ВдС,Ро.. (д = 1, 2, 3, 4), исходящие из начала координат и представляющие в совокупности геометрическое место точек переключения (рис.
43). Подобное преобразо- дид ванне с центром е д и коэффициентом е и, сопровождаемое поворотом вокруг точки ед, на угол а, д по часовой стрелке, переводит линию ОА«В«С« ... в линию 1ЗЗ ЛИНЕЯНЫЕ ОПТИМАЛЬНЫЕ ВЫСТРОДВИСТВИЯ ~ГЛ. Д Ад дВ« дСд дХ>д.д (рис. 44). Это позволяет последовательно вычерчивать части линий ОА«В«СО.., зная первые куски ОАд, ОА», ОА», ОА„этих линий (определение этих кусков рис. 43. было приведено выше). Остается заметить, что значение ед управляющий параметр Р принимает внутри «угла» между линиями ОАд+дВ«+дС«»д... и ОА«В«СО.. и на дуге А,О.
Это и дает синтез оптймальных управлений (рис. 45). Вид оптимальных траекторий показан на рис. 46. паимвгы 94Д 467 Напомним, что рисунки 37 — 46, рассмотренные выше, относились к случаю, когда Х(0, т. е. когда собственные Рис. 44. Рис. 45. значения матрицы (а'.) имеют отрицательные действитель- 3 ные части. В этом случае размеры дуг ОА,, Л,В,, В,Со ... увеличивались, а синтез оптимальных управлений 168 линейные оптимальные выстгодеиствия ~гл. 3 осуществляется во всей плоскости н.
При Х = О размеры дуг не меняются (т. е. ОА, = В,С, = ..., А,.В, = С,()о ...); синтез оптимальных управлений по-прежнему осуществляется во всей плоскости я (см. пример 3 Ряс. 46. в з 5). Наконец, при Х) О размеры дуг ОА,, В,С,, ..., а также дуг А,-ВН С,ВН ... уменьшаются в геометрической прогрессии; синтез оптимальных управлений осуществляется лишь в ограниченном куске плоскости л (рис. 47). 1 211 ПРИМЕРЫ 169 Все сказанное относится к синтезу оптимальных управлений в плоскости и переменных уг, у'.
Переход уг Рг 1 1 Рис. 47. к плоскости Х исходных переменных яг, яг осуществляется по формулам (47). Картина синтеза оптимальных управлений при этом аффинно искажается. Пример 2 (Система второго порядка с двумя управляющими параметрами и отрицательными собственными значениями.) Рассмотрим систему (45) в предположении, что собственные значения матрицы (а,'.) действительны, отрицательны и раэличны.
Мы по-прежнему будем пред- 170 ЛИНЕЙНЫЕ О!1ТИМАЛЬНЫЕ БЫСТРОДЕЙСТВИЯ [ГЛ 3 ,и — = Л у1+ с'и1+ с.'из 3 А = Л,у'+ с,'и'+с',и', или, иначе, к виду иу' Лу +и, Иуз = Л,уз+ Рз, (54) (см. (49)). Как и в первом примере, точка Р = (Р', и') описывает в плоскости и переменных у', уз параллелограмм у (рис.
33). Система (5) принимает в случае управляемого процесса (54) следующий вид: ее общое решение: $1 = сге-, $з = стев -Ь~ -Ь1 Из этих формул видно, что если одна из постоянных интегрирования с„с, равна нулю, то вектор ф = (ф„ф,) сохраняет постоянное направление (параллельное одной из осей координат). Если же оба числа с„с, отличны от нуля, то вектор ф монотонно поворачивается (с возрастанием ~) от оси абсцисс к оси ординат, оставаясь все время в одном квадранте (ибо ~ — ~=~ — ~ео" ТЫ -~со 1У1~ ~С1 при возрастании ~). Для системы (45) мы предполагаем выполненным условие общности положения; тогда для системы (54), получающейся из нее линейным преобразованием, это условие также выполнено. Иначе говоря, ни одна из полагать, что область управления У определяется неравенствами (46) и что определитель матрицы (Ь!) отличен от нуля. Обозначим собственные значения матрицы (а',.) через Лт и Л„причем Л, ( Лг ( О. Линейным преобразованием переменных (см.
(47)) систему (45) можно привести к виду йРИМЕРЫ (71 «з13 где Р,', и« вЂ” координаты вершины е« параллелограмма К Тогда мы получим четыре точки е«, ез, е», е«, являющиеся вершинами некоторого параллелограмма У'. Из формул (54), (55) вытекает, что в то время, когда управляющий паРаметР и пРинимает значение ео изменение кооРДинат у', у' описывается уравнениями Ку1 = Л1 (У' — а«), (прн Р«а1). ~"У = Л (у» — а«) (56)1 «Ф1азовый портрет» системы (56); получается из «фазово- го портрета» системы ду1 —,—,=Л,у, Ыц = Л»у и (57) с помощью параллельного переноса; именно, положение равновесия системы (56)1 расположено не в начале координат (как у системы (57), рис. 48), а в точке е. Дальнейшее исследование приведет к существенно различным результатам в зависимости от того, как расположены прямые 11 и 1», перпендикулярные к сторонам параллелограмма у.
Мы выделим следующие два случая. Случай 1. Прямые 11 и 1» расположены в различных квадрантах (т. е. одна в первом и третьем, а другая— во втором и четвертом квадрантах, рис. 49). Произведем нумерацию углов и« (определяемых прямымн 11 и 11) так, сторон параллелограмма У не параллельна ни одной иэ осей координат. Проведя из начала координат прямые перпендикулярные сторонам параллелограмма Г (рис. 34; эти прямые отличны от осей координат в силу сказанного выше), мы, как и прежде, найдем, что если вектор ф находится в угле а«(( = 1, 2, 3, 4), то максимум функции »т при РЯУ достигается в вершине Р» а« (рис. 35). Обозначим теперь через е,' точку (а,', а1) плоскости я с координатами а,' = — — Р1, (55) 1 пюхмш ы »73 как указано на рис. 50.
Эта нумерация соответствует тому, что через е, и е« обозначены соответственно верхняя и нижняя вершины параллелограмма )г, у а через е, и е» вЂ” правая и левая (рис. 49). Вспо- 1д миная сказанное выше аг о характере изменения и величин дед и др», мы аг б приходим к следующе- а, му выводу относитель- г» ко оптимальных управлений. Каждое оптимальное управление Ркс.
50. либо совсем не содержит переключений (т.е. в течение всего движения параметр в сохраняет постоянное значение, совпадающее с одной из вершин параллело- грамма Р), либо содержит тольу' ко одно переключение, и тогда до переключения параметр и совпадает с одной из вершин е„ е», а после переключения — с оде' ной из вершин е», е«.
Теперь нетрудно построить на плоскости д» «линии перегд ключенкя», определяющие сии° е,' тез оптимальных управлений. Обозначим через АО траекторию 'г,' системы (56)„оканчивающуюся в начале координат (рис. 5$), а через ВΠ— аналогичную траекторию системы (56),. Линии АО и ВО симметричны относительно точки О. Если оптимальное Ркс. 51. движение содержит переклю- чение (только одно в силу сказанного выше), то ааключительный этап движения, завершающийся попаданием в начало координат, происходит в силу системы (56), или (56), т. е. вдоль линии АО или ВО. До етого (т. е.
до попадания 174 линеЙНыЕ ОПТИМАЛьНыЕ БЫСТРОДЕЙствкя [РЛ. 3 на линию ВОА) точка движется в силу системы (56), или (56) . Таким образом, ВОА есть линия переключений, а две области, на которые плоскость разбивается этой Рис. 52. линией, ааполнены траекториями систем (56), и (56),— правая область, заполнена траекториями системы (56)„ а левая — траекториями системы (56),. Это и дает синтез оптимальных управлений (рис. 52). При переходе от переменных у', у' к исходным переменным е~, хс фазовая картина оптимальных траекторий аффинно искажается. Случай 11.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
