Понтрягин Л.С. - Математическая теория оптимальных процессов (2-е издание) (955113), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Управление ид(1) есть вектор-функция; 1-ю координату этой вектор-функции обозначим через и~~ (1). Функция и'„(1), рассматриваемая на отрезке О:-.= 1 = ( ге, принадлежит пространству В, (она измерима и ограничена). Совокупность всех функций идд (1), й = 1, 2, ... при каждом фиксированном 1(= $, 2, ..., г), очевидно, принадлежит некоторому шару пространства Х„, и потому из нее можно выбрать слабо сходящуюся подпоследовательность е).
Мы будем просто считать, что сама последовательность и, '(1), и', (1), ..., и,', (1), ... (ЗО) слабо сходится к некоторой функции ид (1), 1 = 4, 2, ..., г. Докажем теперь, что вектор-функция ме (1)=(ид(1), и (1),..., и" (1)) почти для всех значений 1 удовлетворяет условию ие (1)~:ьУ. Возьмем какую-либо (г — 1)-мерную грань Г многогранника У и пусть В(и) = ~ Ьрио — такая линейр ная форма переменных ид, иа,..., и", что уравнение несущей плоскости грани Г имеет вид б (и) = Ь, а сам многогранник П расположен в полупространстве В (и) ( Ь. Пусть, далее, т — множество всех точек 1 отрезка [О, 1е[, и) См.,например,Л.
А. Люстерннк н В. И. Сосал е в, Элементы функционального аналнаа, Гостехнадат, М. — Л., 1951, стр. 194 †1. 145 теОРемы сущестВОВАння а 191 для которых Р (иа (~)) ) Ь, а и (~) — характеристическая функция множества щ. Эта функция измерима и ограничена (т. е. принадлежит Р,) и потому, в силу слабой сходимости последовательностей (30), мы имеем (э Ип( ~ г (1) [( (к"' (1)) — Р(ид (1))) (Й= О. 'о Так как, далее, Л (и* (г)) — г, (иЯ) ~ 0 на множестве т (ибо Х (и (~)) = Ь), то в1ез т = О. Итак, почти для всех ~, принадлежащих отрезку 0 ( ~ ~ га, точка иа (~) лежит в том же полупространстве Р (и) ( Ь, что и многогранник У.
Так как зто рассуждение применимо к любой грани Г многогранника У, то иа (Г)~У почти для всех 1. Так как изменение значений функции иа (~) на множестве меры нуль не нарушает слабой сходимости последовательностей (30) к функциям и( (~), 1 = 1, 2, ..., г, то мы можем без ограничения общности считать, что и*(~)~У при всех 1, 0(С(~а. Из соотношения (29) в силу слабой сходимости последовательностей (30) следует Таким образом. и* (1) является измеримым оптимальным управлением, переводящим фазовую точку из положения ха в положение х„т.
е. в классе Р,„существует оптимальное управление. В силу теоремы 2 (см. также теорему 8) отсюда вытекает существование такого нетривиального решения (р (8) уравнения (5), что (см. (6)) почти всюду на отреаке 0 = 8 = ~а (1)1 (1), Ви~ (г)) = Р (((((1)). Следовательно, согласно теореме 9, управление иа (~) можно считать (изменив его на множестве меры нуль— что не нарушит его оптимальности) кусочно-постоянным. Таким образом, управление иа (1) принадлежит классу Р,„, а следовательно, и классу Р. Оно осуществляет перевод фазовой точки из положения х, в положение х1 за наименьшее время по сравнению с любыми управлениями 146 линейные оптимлльные Выстгодеиствия ~гл класса Рю,„, а потому и по сравнению с любыми управлениями класса Р.
Итак, в классе Р существует оптимальное управление, и теорема 13 доказана. 3 а м еч а ни е. Если заданный класс Р допустимых управлений совпадает с классом Р,„всех измеримых управлений, то, как видно из доказательства, в формулировке теоремы 13 можно не требовать выполнения условия общности положения (это условие требуется лишь в связи со ссылкой на теорему 9). Т е о р е м а 14. Предположим, что в уравнении (2) оператор А устойчив, т. е.
все его собственные значения имеют отрицательные действительные части, и что начало координат пространства Е, является внутренней точкой многогранника П. (Условие общности положения по-прежнему предполагается выполненн м.) Тогда для любой точки х ~Х существует оптимальное управление, переводящее сбазовую точку из положения хг в начало координат О~Х. Д ока за тел ьс тв о. Докажем прежде всего, что существует окрестность У начала координат 0 пространства Х, каждая точка х, которой может быть при помощи некоторого управления переведена в О.
(При доказательстве этого утверждения устойчивость оператора А не используется.) Обозначим через Ф (~) матрицу, столбцами которой служат координаты векторов ~р, (г),..., <р„(г) (см. (20)), т. е. Ф (й) = (<р! (г)). Так как векторы (20) образуют фундаментальную систему решений уравнения ве — = Ах ог и удовль. оряют условиям ф(0) = 31 (мы считаем, что г г гв —— 0), то имеют место соотношения "",(О =АФ(г), Ф(О)=П, откуда получаем Ф(г) е~л Далее, обозначим через Ч' (г) матрицу, строками которой 147 ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ служат координаты векторов ерт ((), ..., ер" (1), т.
е. Чг (г) = (ер)о (е)). Соотношение (2г) записывается теперь в виде Ч'(е) Ф(е) = Е, откуда ЧГ (() е- ел Полученные выражения для матриц Ф (З) и Ч' (() позволяют переписать равенство (22) в виде здесь х (г) — траектория, соответствующая управлению и (г) и исходящая в момент г = О из точки хо. Выберем теперь в с7 такой вектор о, чтобы вектор — в также принадлежал (7 и чтобы вектор Ь=ВУ не принадлежал никакому истинному подпространству пространства Х, инвариантному относительно оператора А.
Такой вектор в существует в силу того, что начало координат пространства Е, является внутренней точкой многогранника с7 и выполнено условие общности положения. При достаточно малом положительном з операторы А и е — '" имеют совпадающие инвариантные подпространства е), и потому векторы е — елб е- оел(о с — еел(о (32) линейно независимы. «) Этот факт, относящийся к матричному исчислению, можво доказать, например, следующим образом.
Пусть матрица М = е ~ — Е; тогда ова представляется в виде сходящегося матричвого ряда е ее ее М= — — А+ — Ае — — Ае+ ... П 2! Э1 () Из атого следует, что любая матраца С, представляющаяся в виде сходящегося степенного матричного ряда С = а«Е+ аеМ+ а«М«+ а«М«+ ..., (ее) перестзиовочиа с матЬвицей А. Каждое собствевиое значение матрицы М имеет виде е — з, где Х вЂ” собственное зиачеиие матрипы А,и потому существует такое з, ) О, что при О ( з ( ее собст 146 линейные Оптимальные БыстРОДейстВиЯ [гл, э Определим, далее, функцию и (1, т, $) переменного 1, где т и $ — действительные параметры, считая ее равной з(еп $ на интервале между точками т и т + $ и равной нулю вне этого интервала.
Наконец, определим управление и = и (1, 5',..., $"), эависящее от п действительных Е = Е+ 6+ — 62+ — 68+ .. 1, 1 (ее*) По так как все собственные значения матрицы 6 равны нулю, то все элементы атой матрицы, стоящие еа главной диагоиали и выше вее, равны нулю. Поэтому в матрицах 6', 6э, 6э, ... Все элементы, стоящие непосредственно под главной диагональю, также равны нулю. Тогда иэ (эеэ) следует, что и в матрице 6 все элементы, стоящие непосредственно под главной диагональю, равны нулю, т. е.
6 — нулевая матрица (еапомеим, что 6 имеет жордакову форму). Следовательво, и С + сА — нулевая матрица, т. е. С = — еА. Иэ (е*) следует теперь, что матрица А представляется в виде сходящегося степеввого ряда А= — — (аоЕ + атМ + а,Мэ + ааМа + ) 1 е (еееэ) Всякое инвариантное подпростраество матрицы А является в силу (э) вевариавтвым подпрострэеством и матрацы М. Обратно, всякое вввариаитеое подпростраество матрицы М является в силу (ееее) иевариавтвым еодпростраеством матрицы А. Таким образом, матрицы А и М (а эиачит также матрицы А е е АА =М+ Е) имеют общие вввариаетеые подпростраества (если е настолько мало, что проведенные рассуждения применимы). веввые эвачевия матрицы М лежат в едвеичеом круге.
Следовательно (см. Л. С. П о и т р я г и и, Обыкеовевеыедифференциальные уравнения, Фиэматгиэ, 1961, стр. 302 — 303), существует такая матрица С, представимая в виде степеепого ряда (ее), что ес = М + Е, т. е. ес = е АА. При этом собствеввые эвачееия матрицы С можно предполагать как угодно близкими к нулю (при достаточно малом еэ). Так как матрицы А и С переставовочеы, то из соотношения ес = е АА вытекает, что ее+ел = Е, и потому все собственные значения матрицы С+ еА имеют вид 2йяС Так как, кроме того, ови блиэки к нулю (при малом эс), то все собствеввые эвачееия матрицы С+ сА равны нулю.
Пусть Š— такая матрица, что матрица 6 = Е(С + еА)8 т имеет жордавову форму. Тогда, умножая соотиошееие ее+э"= Е слева еа Е, а справа еа 8 т, мы получим е6 = Е, т. е. 449 ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ 9 19! ПВРаМЕТРОВ $ ь...ь $" ь ПОЛОЖИВ и(т, $1,..., $") =у ~~', а(1, Йе, $9); 9-1 хз=хз(х„ез, ..., ~")= в (*,-ь(.— ь т. Ьь,ьзз'Ьзь) ЬззЬ о 9=1 (см. (31)). Так как при 91 = ... = $" = О сумма, стоящая в (33) под енаком интеграла, обращается в нуль, то х,(хо В'*" Б )~: =о;ез .„=хо=о=О (34) Далее, так как (при достаточно малых $9 и е) слагаемое в (33), зависящее от $9, имеет вид АВ+ 99 ь зь) то, дифференцируя соотношение (33), мы получим — =е''1(е — овАЬ)ь )о='зь 2, ..., л. д$9 то=о Отсюда вытекает, что якобиан д(х'„х', ..., х ) д(Р, Р, ° "Л ) ~4~=4~ „, 4» о (35) переменных х'„хо„..., х", (т.
е. координат точки х,) по переменным 9', Р, ..., Г равен(еьА! Л, где Ь вЂ” определитель матрицы, составленной иа координат векторов (32). Так как определитель матрицы е'*" отличен от нуля и, кроме того, при достаточно малом е, Л Ть О (ибо векторы ото управление мы будем рассматривать на отреэке О ( 4 ( з„где 11 — фиксированное положительное число, и при достаточно малых е ) О и 91, ..., $". Траектория, соответствующая управлению и (1, 91, ..., 9") и исходящая в момент з = О иа некоторой точки х„оканчивается (в момент 9 = ьз) в точке 150 ЛИНЕЙНЫЕ ОПТИМАЛЬНЫЕ БЫСТРОДЕЙСТВИЯ ИГЛ (32) линейно независимы), то якобиан (35) отличен от нуля. Итак, мы можем выбрать в предыдущих построениях параметр е настолько малым, что якобиан (35) будет отличен от нуля.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
