Понтрягин Л.С. - Математическая теория оптимальных процессов (2-е издание) (955113), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Таким образом, конус сХ', с вершиной х (С) определен для любой правильной точки С =- т управления и (С), а такжедля С = С,. Если С" ) С', то Ас г(еЯ'е) ~ о7 г (см. лемму 8). Д е м м а 11. Конусы о7С с и ф имеющие общую еершину е точке х (Со), являются разделяемыми. В СаМОМ ДЕЛЕ, дОПуетИМ, ЧтО КОНУСЫ оЯ Ь И С3 НЕ яВ- лясотся разделяемыми. Так как конус оЯ'с является объединением конусов А,„, (Л,), то найдется такая правильная точка т управления и (С), что конусы Аи, (оЯ' ) и ~ также не являются разделяемыми. Выберем такую точку т. Обозначим через Ли многообраане с краем, состоящее нэ всех точек (х', х) (--Х, для которых яо ~ хо (С,), х (--Яс.
Тогда касательная полуплоскость многообразия Л с, в точке х (с,) совпадает с с7. Для произвольной точки о) ~ЛС мы обозначим череа у (С, о)) решение системы (7) с начальным условием у (Сс, о)) = Ч. Мы будем рассматривать это решение на отрезке т ( С ( Сю где т — выбранная правильная точка управления и (С). Когда точка о) пробегает многообразие Лс, точка у (т, о)) также пробегает некоторое многообразйе с краем, которое мы обовначим через Л,.
Легко видеть, что касательная полуплоскость многообразия Лт в точке х (т) совпадает с А7,',, (~3). Так как конусы Ас (оЗ,) и ~') не являются раэде- ЛяЕМЫМИ, тО КОНУСЫ А~„'т (А~„т(оМ о)) = о» о И АС,~т (О) также не являются разделяемыми. Но так как А~,',о Я) есть касательная полуплоскость многообразия Л„то, в силу леммы 10, существует такое управление и (С), что соответствующая ему траектория хо (С), исходящая нз точки хо =- (О, хо), где хо ЕЯ„проходит череа некоторую точку многообразия Л„не лежащую на его краю. Иначе говоря, существуют такое С') С, и такая точка т~~ЛЙ, не лежащая на краю многообразия Лс, что о(С) =Э (т о)). (46) Определим теперь управление и (С) на отрезке С, ~ С ~ С, + (С' — т), положив ио(С) при Со(С(С', и(С вЂ” (С' — с)) при С'(С~Со+(С' — т). 126 Доклзатвльство пгинЦипл мьксимтма 1гл о Траектория х (1), соответствующая управлению и (1) н исходящая иэ точки хо, имеет следующий вид (ср.
(46)) ха(1) при 1 (1(1', у(1 — (1' — т), т)) при 1'(1 =1,+(У вЂ” т). В частности, ха (1, + (1' — т)) = у (1„о)) = о). Но точка о) принадлежит многообразию Ль, т. е. имеет вид 11 = (т(о, ц), где ц ~Я,. Так как, кроме того, точка о) не лежит на краю многообразия Лсо то о)о ( х' (2г). Таким образом, управление иа (1) переводит фазовую точку из положения х$ в положение ц ~Яд, и для него функционал (6) принимает значение т1о, м е н ь ш е е чем для управления и(1). Но это противоречит тому, что управление и (1) и траектория х (1) оптимальны. Таким образом, лемма $$ доказана.
Теперь уже нетрудно закончить доказательство теоремы 3. Так как конусы аЛ"ь и 9 являются разделяемыми, то существуют такие числа с„с„..., с„что конус аЯ ~, (а значит, и Кь С 'еЗ „) лежит в полупространстве а ~Ч~с„х" =.О (где х', х', ..., х" — координаты в проста=о ранствеХь), а конус 9 — вполупространстве ~ч~~с„х") О. а о В частности, луч йь (лежащий в полуплоскости ~3) расположен в полупространстве ~~ с„х" ) О. Таким оба=о рааом, числа со, с„..., с„обладают всеми свойствами, указанными в $ 15, и потому решение ор (1) системы (8) с начальным условием ор (1,) = с (где с — вектор (с„с„..., с„)) удовлетворяет условиям, указанным в теореме 8 (или в теореме $). Покажем, что вектор ор (1) удовлетворяет условию трансверсальности в обоих концах траектории х (1).
Плоскостью,(содержащаяся в о,о) расположена целиком в полупространстве ~Ч~~с„х"- О, и, следовательно, в гиа=о перплоскости У,с„х"=О, или, что то же самое, в гипера=о О !О! вывод головин тглнсвввсальности 127 плоскости ~',«Р„(1!)х"= О. Если теперь т! =(ц», ..., ц")— а=» произвольный касательный вектор многообразия 8, в точке х (1!), т. е.
вектор, лежащий в плоскости Т„то вектор Ч = (О, ц) пространства Х расположен в плоскости а ', и, следовательно, в гиперплоскости У', »Р„(1!) х" = О. а=» Иначе говоря, (»Р (!!),«)) =О. Но так как «нулевая» координата вектора т) равна нулю,то последнее соотношение принимаетвид~Ч~~«Р„(1!)т!'= О. Таким образом, вектор-функция и 1 «р (1) удовлетворяет условию трансверсальности в правом конце траектории х (1).
Далее, плоскость А !. ь (е~ О) С аЯ"!, расположена цели- и комв полупространстве ~Ч~ с„х" =.О, а следовательно, в гиа=« и перплоскости"',с„х"=О или, что то же самое, в гипера=» и плоскости ~ч"„ф. (1!) х" = О. Иначе говоря, для любого а=« вектора Е ~ай» вектор Ас, !, ($) лежите гиперплоскости и ~ОР„(1!)х" =О, т. е. а=« Из этого, в силу леммы 1, вытекает, что («р (1»), Е) = О. Но любой вектор Ц (-ет О имеет вид $ = (О, $), где ь = ($», ..., $') — вектор, лея«а!ций в плоскости т». поэтому соотношение (»р (!О), Е) = О принимает вид ~Ч'„О(!„(1) $'=О. и ! Таким образом, вектор-функция»р (1) удовлетворяет условию трансверсальности и в левом конце траектории х (8).
Тем самым теорема 3 полностью доказана. Вместе с тем доказаны и все остальные теоремы первой главы. ГЛАВА 3 ЛИНЕЙНЫЕ ОПТИМАЛЬНЫЕ БЫСТРОДЕЙСТВИЯ 5 $7. Теоремы о числе переключений Важными для приложений и хорошо иллюстрирующими общие результаты примерами являются линейные оптимальныеые быстродействия, т. е. оптимальные быстродействия в случае, когда уравнения, описывающие поведение объекта, линейны. Рассмотрению таких быстродействий и посвящена настоящая глава. Здесь мы не только изложим факты, вытекающие непосредственно из доказанных выше теорем, но и получим некоторые новые результаты, в частности, докажем теорему существования для линейных оптимальных быстродействий. Уточним прежде всего поста новку а а дачи.
Мы будем рассматривать объект, закон движения которого ааписывается в виде линейной системы дифференциальных уравнений — = ~а'х" + ~~1 Ь'и', 1=1, 2, ..., п. (г) э=1 Мы будем, далее, предполагать, что областью управления У является выпуклый замкнутый ограниченный многогранник з), расположенный в г-мерном векторном *) Выпуклый замкнутый многогранник в и, представляет собой пересечение конечного числа замкнутых пслупрсстранств, т, е. множество точек в Е„, удовлетворяющих конечной системе линейз пых неРавенств Е а~эк (Р~, 1= 1, 2, ..., ю Если этот многоЭ=г теоРемы о числе пеРеключении г29 с 17) — = Ах+ Ви; ох ш (2) здесь А: Х вЂ” т.
Х и В:Е, -т- Х вЂ” линейные операторы, определяемые (в координатах х', ..., х" и и',..., и") матрицами (а,'.) и (Ь,') соответственно. Во всех теоремах, докаэываемых в этой главе, мы будем предполагать (не указывая этого каждый раэ), что выполнено следующее условие общности положения, накладываемое на коэффициенты уравнения (2) и на расположение многогранника У: если ю — вектор, имеющий направление одного иг ребер многогранника У, то вектор Вю не принадлежит никакому истинному подпространству пространства Х, инвариантному относительно оператпора А, т.
е. векторы Вю, АВю, ..., А" 1Вю (3) линейно невависимы в пространстпге Х. Функция Н (ф, х, и) (см. теорему 2) в рассматриваемом случае имеет вид Н=(ф, Ах)+(ф, Ви) =~Ч~~ чу„аэх" + ~ф,Ь«ит, (4) шч жс гракнкк ограничен (к, следовательно, компактен), тс сн являстсл выпуклой оболочкой своих вершин; очевидно, по число вершин конечно. 5 Л. С. Псятоягяя я до. пространстве Е„с координатами и', ..., и".
Таким абрагом, управляющий параметр и = (и~, ..., и") является точкой многогранника У. Наконец, мы будем рассматривать лишь задачу об оптимальном быстродействии, т. е. задачу о минимиэации времени перехода г,— гс=~аг. Оптимальную задан чу в такой формулировке наэовем задачей о линейных оптимальных быстродействиях. В векторной форме система (1) может быть записана следующим образом: (99 лннкинык огггнмлльнып выстгоцпнствнп (гл, з а вспомогательная система (см.
формулу (19) гл. 1) записывается в виде дф! У, „ ~=! или, в векторной форме, (5) где А* — оператор, сопряженный к А, т. е. оператор, определяемый (в той же системе координат) матрицей, получающейся из матрицы (а() системы (1) транспонированием. Очевидно, что функция Н, рассматриваемая как функция переменного и ~ У, достигает максимума одновременно с функцией (ф, Ви).
Максимум функции (!(!, Ви), рассматриваемой как функция переменного и (:У, мы обозначим через Р (ф). Из теоремы 2 следует (см. формулу (20) гл. 1), что если и (!) — оптимальное управление, переводящее фазовую точку из положения х, в положение х„то существует такое решение !(! (1) уравнения (5), что (!р (г), Ви (г)) = Р (!у (1)). (6) так как уравнение (5) не содержит неизвестных функций х (() и и (г), то все решения этого уравнения легко могут быть найдены, после чего легко могут быть найдены все управления и (1), являющиеся решениями уравнения (6); среди ннх, очевидно, содержатся все оптимальные управления для уравнения (2). Вопрос о том, насколько однозначно условие (6) определяет управление и (г) через функцию !(! ((), решается нижеследующей теоремой. Т е о р е м а 9.
Для каждого нетривиального решения !р (г) уравнения (5) соотношение (6) однозначно *) онреде- *) Здесь, как и в главе (, мы предполагаем, что рассматриваемые управления полуиепрерывны слева и непрерывны в концах отрезка !с ( ! ~ !, (ср. стр. (б). Без этого соглашения теорема 9 была бы неточной, а именно аначення функции и (!) в точках разрыва не были бы одноаначно определены. Впрочем, ясно, что значения функции и(!) в точках разрыва не играют никакой роли в рассматриваемых вопросах. з 17) ТЕОРЕМЫ О ЧИСЛЕ ПЕРЕКЛЮЧЕНИИ 1З) ляет управляющую функцию и (1); при этом оказывается, что функция и (С) кусочно-постоянная и ее значениями являются лишь вершины инозоеранника У.
Доказательство. Так как функция (7)7(~), Ви), (7) рассматриваемая как функция вектора и, линейна, то она либо постоянна, либо достигает своего максимума лишь на границе многогранника 17. Это же соображение применимо и к каждой грани многогранника У. Таким образом, функция (7) достигает своего максимума либо лишь в одной вершине многогранника У, либо на целой грани этого многогранника *). Покажем, что в силу условия общности положения последнее возможно лишь для конечного числа значений е. В самом деле, допустим, что на отрезке г, ~ ~ = ~1 существует бесконечное число таких значений 8, для каждого из которых функция (7) переменного и ~ У достигает своего максимума на некоторой (имеющей положительную размерность) грани многогранника У.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
