Понтрягин Л.С. - Математическая теория оптимальных процессов (2-е издание) (955113), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Иначе а=О говоря, вектор а = др (т) удовлетворяет условию (34). Отсюда вытекает, что для решения д(д (д, а) уравнения (8) с начальным условием др (т, а) = дд — а это решение, очевидно, совпадает с др (1) — справедливо утверждение леммы 5. В частности (в силу того, что т — правильная точка), а%" (др (т), х (т), и (т)) = М (д(д(т), х (т)) = О (см. лемму 6). Итак, условие 1', указанное в теореме 8, выполняется.
Кроме того, есть точки, в которых функция дэ (д(д (д), х (д)) обращается в нуль (это будет во всякой правильной точке т), и, далее, дра (дд) = ОО «О. Поэтому для проверки условия 2' теоремы 8 достаточно доказать последнее утверждение теоремы 8 о постоянстве функций М (др (1), х (С)) и д(да (1), если величины д(д(Е), ж (1), и (О удовлетворяют системе (9), (10) и выполнено условие 1'. Это непосредственно вытекает из леммы 7 и того факта, что функции ~а не зависят от х', так что первое из уравнений (8) имеет вид — =О. Таким образом, теорема 8 полностью доказана. ~"РО ш Вместе с тем доказана теорема 1 первой главы, г ~В1 вывод услОВиЙ тРАнсВВРсАльнОсти 121 у 36.
Вывод условий трансверсальности Здесь мы докажем сформулированную в первой главе теорему 3 (она справедлива для произвольного класса .О допустимых управлений). Пусть и (г), гг ( г ( г„— некоторое допустимое управление, а х (г) — траектория, соответствующая управлению и (г) и исходящая из точки х, = (О, х,). Пусть, далее, Яз — некоторое гладкое многообразие (в пространстве Х) размерности гг ( и, проходящее через точку х„и Т,— касательная плоскость многообразия Яг в этой точке.
Через ет з обозначим го-мерную плоскость пространства Х, состоящую из всех точек вида (О, х), где х (- Тг. Очевидно, что плоскостьоТ г проходит через точку х,. Подвергнув плоскостьот г переносу вдоль траектории х (1) в точку х (т), ~г ( т ( Гю мы получим плоскость Ат и(гу г), проходящую через точку х (т). Если т — правильная точка управления и (г), то определен также конус К, с вершиной в точке х(т). Выпуклую оболочку множества Ат и (оу г) () К,мы обозначим через оЯ",. Очевидно, множествоеМ, является выпуклым конусом с вершиной в точке х (т). Докажем теперь лемму, являющуюся обобщением леммы 3. Л е м и а 10. Пусты(го(т(г,) — правильная точка управления и (г), гг - г ( гю а х (г) — траектория, соответствующая управлению и (г) и исходящая из точки х,.
Пусть, далее, Л вЂ” некоторое многообразие с краем размерности не более и ирасположенноев Хтак, что точка х (т) лежит на его краю. Обозначим через М касательную пазуплоскость многообразия Л в точке х (т). Если конусы оЯ, и М, имеющие общую вершину в точке ж (т), не яв:- ляются разделяемыми, то существуют такое управление иг (8) и такая точка хг ( — Ю„что соответствующая этому управлению траектория х„, (г), исходящая из точки хо = (О, хг), проходит через некоторую точку многообразия Л, не лежащую на его краю.
Д о к а э а т е л ь с т в о. Обозначим через и ортогональное проектирование многообразия 8, на плоскость Т,. Отображение и, рассматриваемое не на всем многообразии Я„а лишь на некоторой окрестности точки х„является гомеоморфизмом; потому определено обратное отображение и ' некоторой окрестности точки х, в плоскости Т, $22 ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ПРИНЦНПА МАКСНМУМА ~РЛ, З на некоторую окрестность точки х» в многообразии Я«.
Таким образом, если $ — произвольный вектор, лежащий в плоскости Т«и исходящий из точки х«, то при достаточно малом з)0 определена точка л '(з$)~8«, т. е. вектор $ определяет л и н и ю х=-л '(е$), 0(е(е„ лежащую на многообразии 8, и исходящую иа точки х,. Эта линия имеет в точке х«касательный вектор $, т. е. и ' (ез) = х«+ е$+ о (е).
Из этого следует, что линия (О, л ' (е$)) пространства Х исходит из точки х = (О, х,) и имеет в этой точке касательный вектор з = (О, «ь): (О, л ' (е$)) = х, + ез + о (з). (42) ПУсть тепеРь а = (т,, Уо т, бго 61) — совокУпность величин, определяющая варьйрование управления и (1) (см. стр. 104). Обозначим череа х«(1) траекторию, исходя« щую (в момент ««) из точки (О, л (е$)) и соответствующую проварьированному управлению и*(8) (параметр е в (42) и в определении управления иэ(8) один и тот же). Из (42) следует, в силу (21), что х~з (т+ей)=х(т)+е[А«,л(В)+Лх«1+о(е), (4ч) где вектор Лх определяется формулой (22). Обозначим через г + 1 размерность многообразия Л (и размерность полуплоскости М). Так как конусы «Х« и М не являются рааделяемыми, то (см. сноску на стр.
105) существует такая точка а, принадлежащая полуплоскости М, но не лежащая на ее краю, и такая плоскость С размерности и — г) О, проходящая через точку а, что шар малого радиуса с центром в точке а дает в пересечении с плоскостью С «дополнительную площадку» к полуплоскости М, причем эта «площадка» ортогональна прямой, проходящей через точки х (т) и а, и целиком содержится в конусе ЗМ",. Эту «дополнительную площадку», являющуюся шаром раамерности и — з, мы обозначим через Е. Пусть е„..., е„, — взаимно ортогональные радиусы шара Е; положим, далее,у,= — е,, ( = 1,..., и — г.
Все векторы е„..., е„„Д,, ...,,г'„, будем считать исхо- а 16! ВЫВОД услОВиЙ тРАнсВВРсАльнОсти !23 дящнми иа точки а. Концы всех этих векторов принад- лежат конусу »3", (нбо Е с: ОЗ',). Наконец, через с обо- значим вектор с началом в точке х (т) и концом в точке а. Так как векторы с, с + е», с + Я» (» = 1, ..., и — г), исхо- дящие иа точки х (т), принадлежат конусу еЯ „а этот конус обрааован всевозможными векторами А,, », Я) + Ьх», где $ ( — Т„бх„(-.
К„то существуют в плоскости Т, такие векторы а», $„..., $„„$», ..., $„' „исходящие иэ точки х„и такие символы а„а», ..., а„„а», ..., а„' что имеют место соотношения А,, »,($6)+Ах» =-с, А»»,Я»)+ Ьх»»=с+е», А,, »,($»1)+Ах» =с+У», !'=1, ..., и — г. Определим при выполнении условия (р')'+ (р')'+... + (р"-')'( 1 (44) символ а (р', ..., р" ') так же, как и на стр. 107, только производя суммирование по ! не от 1 до и, а от 1 до и — г; положим, далее, $(р ° ° ° р )= » — » П вЂ” » П вЂ” » — (1 — — ~~~~~ ~Р ~) э»+ — „~~" (Р)э»+ — ~„й (Р)$. » ! »=1 »=1 Тогда мы получим (ср. вычисление на стр. 108)» А...
Я (р', ..., р" ')) + Лх, » — » =с+ — ~ р»е». (45) »=1 Следовательно, если точка (р', ..., р" ') пробегает в (и — г)- мерном числовом пространстве шар (44), то конец век- тора (45) пробегает в пространстве Х, шар Е„получаю- щийся из шара Е гомотетией с центром а и коэффи- циентом»»' .
При тех же условиях конец вектора е(А...Я(р», ..., р"))+ Лх пробегает (и — г)-мерный шар Е„получающийся из шара Е, гомотетией с центром х (т) и коэффициентом е. Прн $ = $ (р', ..., р" '), а = а (р', ..., р" ') траектория а~~ (!) непрерывно зависит от параметров р», ..., р" ', так же как и число б!». Поэтому точка а»6», » (т+ еб!») 124 ДОКАЗАТВЛЬСТВО пРинЦИпА МАКСИМУМА [ГЛ, З непрерывно зависит от р', ..., р" '. Следовательно, когда точка (рд, ..., р" ') описывает шар (44), точка х» «(т + ей«) пробегает (при любом фиксированном е) некоторый «диск» Е«(непрерывный образ шара (44)), причем с точностью до малых более высокого порядка, чем е, диск Г, «совпадает» с шаром Е,.
Шар Е, и полуплоскость М (точнее, конечный ее кусок вблизи точки х (т)) являются цепями (см. сноску на стр. 109) размерностей п — г и г+ 1 соответственно, причем индекс пересечения этих цепей равен -+. 1, а расстояние каждой цепи до границы другой имеет порядок з. Поэтому «диск» Е, (отстоящий от Е, на величину более высокого порядка малости, чем е) и многообразие Л (касающееся полуплоскости М) также имеют при достаточно малом е индекс пересечения -+-1, т. е. при достаточно малом е диск Е«пересекает многообразие Л в некоторой точке, не лежащей на краю этого многообрааия. Иначе говоря, существует такое е ) 0 и такие р', ..., р" ', что точка х1 «(т + ей«) принадлежит многообразию Л, но не лежит на его краю. Следовательно, обозначив величины и3 («), х1, «(«), соответствующие выбранным значениям е, р',..., р" ', через и,„(1), х«(~), мы найдем, что траектория х (г) начинается в точке х«(д») = (О, я д(еВ)) = (О х») где х3 = я-' (еВ) (=Я«, и проходит (в момент т' = т + ебд«) через некоторую точку многообразия Л, не лежащую на его краю.
Таким образом, лемма 10 доказана. Пусть теперь и («), 1» ( « = Ед, — оптимальное управление, а х («) — оптимальная траектория, дающие решение поставленной в $6 задачи с подвижными концами. Положим х («») = х„х («д) = хд; точки х, и х, пространства Х определим, как всегда, отбрасывая «нулевую» координату у точек х», х„т.
е. х» = (О, х»), х, = (х» (дд), хд). Обозначим череа Т, касательную плоскость к многообразию Яд в точке х„а через РТ д — плоскость (г;мерную) пространства Х, состоящую из всех точек вида (х«(«д), х), где х (:Тд. Проведем через каждую точку плоскости ау, луч, идущий в направлении отрицательной полуоси х', и обозначим множество точек, заполняемое всеми этими лучами, через д„. Множество ~ представляет собой (гд + 1)-мерную полуплоскость; ее граничными точками являются точки плоскости аТ д.Обозначения Т«и а7»вводим о со! ВыВОд услОВиЙ тРАнсВБРсАльности С25 аналогично. Обозначим через оМ"с выпуклую оболочку огяожества Ас и (от о) () Кс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
