Понтрягин Л.С. - Математическая теория оптимальных процессов (2-е издание) (955113), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Мы сейчас покажем, что функция т (~у (Г),х (г)),— а следовательно, в силу сказанного, и .Ф (ф (1),х (г)),— а б с о л ю т н о непрерывна на отрезке Х. Так как отрезок Х компактен, то существует в пространстве переменных $в, фы ..., ф„, хо, х', ..., х" такое выпуклое ограниченное множество (~, что точка (ф (1), х (е)) принадлежит множеству ~ при 8 (: 1. Таким образом, тройка (вр (г), х (Е), и (1)) принадлежит множеству Я х Р при 1 ~ 1.
Далее, так как частные производные функции а4 (ф, х, и) попеременными„, хо, непрерывны по совокупности переменных ф, х, и (см. условия, наложенные на функции ~' в $11), то на компактном множестве ~хР все эти производные ограничены. Отсюда следует существование такой (не зависящей от и) константы К ) О, что для любых (ф, х) ~ф (ф, х') ( — ф, и~Р выполнено соотношение ~ей" (зр, х, и) — %" (ф, х', и) ~(Кс(, (39) где с( — наибольшее из чисел )ф, — ф,'), (х' — х" ~, 1=0, 1, ..., и. Пусть (ф, х) н (ф', х') — две точки множества ф а и и и — такие точки множества Р, что т(ф х) = оа (ф, х, и), т(ф, х') = ору (вр', х', и').
Тогда, очевидно, выполнены неравенства оа (ф х, й) = орс" (ф, х, и), ей' (ф', х', и) ~ оя (ф', х', и'), и потому (учитывая соотношение (39)) мы получаем — Кс((Л (ф х, и') — оа (ф', х", и') = (сЛ" (вр, х, и) — ей' (ф', х', и')( (Л" (ф х, и) — еп (ф', х', и')(Кс(. ссс ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ПРИНЦИПА МАКСИМУМА ~ГЛ, З Иначе говоря, ~ т(ср, х) — т(ф, х') ((Кс(, где с( — наибольшее из чисел )фс — сгс(, ) хс — х" ), с = О, с, ..., п. В частности, отсюда получаем ~ т (р (с), х (с)) — т (ф (с ), х (с )) ~ К (, с, с ~ 1, где с( — наибольшее из чисел ( ф, (с) — срс (с')), ( хс (с) — хс(с') ~ .
Из этого неравенства, в силу абсолсотной непрерывности функций ср (с) и х (с), мы без труда заключаем, что функция си (ср (с), х (с)) абсолютно непрерывна. Покажем, наконец, что функция и (ср (с),х (с)) почти всюду имеет производную, равную нулю. В силу абсолютной непрерывности функции т (ср (С), х (с)) и определения функций х (С) и ср(с), почти всюду на отрезке с имеют место следующие обстоятельства: функция т ($ (С), х (С)) имеет производную, для функций х (С) и ф (С) выполнены соотношения (7) и (8), или, что то же самое, (9) и (10), и, кроме того, т (ср (с), х (с)) = еи'" (ф (с), х (с), и (с)).
Пусть с = т — какая-либо точка, в которой эти обстоятельства имеют место, и С' — произвольная отличная от т точка отрезка с. Тогда лс (ср (с'), х (с')) ) а 'с (ср (С'), х (с'), и (т)) и потому лс(ф(с'), х(С')) — т(ср(т), х(т))= ) ай" (ср (с'), х (С'), и (т) ) — М" (ср (т), х (т), и (т)) . Будем теперь считать, что С' приближается к т, оставаясь больше т, так что разность с' — т положительна. Тогда деление на с' — т не меняет знака неравенства в последнем соотношении: зс ( ф (с'), х (с')) — зс (сг (т), х (т)) с' — т еуу (сс (с), х (С ), и (т)) — д~ (ф (т) х (с), и (т)) с' — т ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ПРИНЦИПА МАКСИМУМА 117 5 !51 Переходя к пределу при 1 — ь т (Р ) т), получаем отсюда — т (вр (!), х (7)) ) ) †„ ой"(ф (!), х (!), и (т)) / длс в р. 0) ~ у дуг в*" (!) ~ — +~ —.
дВ)Вв В! ~! = В МВ дев Вн (! = В а = в в= в (здесь производные вычисляются в точке т, где т и, следовательно, и (т) фиксированы). Аналогично, при р — э т, !' ( т получаем обратное неравенство —,т(5р(!), х(!))~ (О. Итак, т (5р (Г), х (7)), а также и совпадающая с ней функция аФ (5р (в), х (!)), есть абсолютно непрерывная функция, имеющая почти всюду производную, равную нулю. Следовательно, эта функция постоянна на отрезке !. Докажем следующее важное свойство конусов К,. Л е и м а 8. Нели т и т' — правильные точки управленин и (Г), пРичем ! ( т' ( т ( 7„то Ав, (Кв ) с: Кв, еде Ав, в — отображение пространства Х! на Х„определен= нос в э 52.
В самом деле, конус Кв образован векторами, каждый из которых в силу (22) можно представить в виде суммы двух векторов: А5х =у(ос (т'), и (т)) й, в Авх = ~т~ А,, [у(х(т!), о!) —.!(х(т!), и(т,.))) йр ! 1 Поэтому достаточно показать, что имеют место включения Атл (Агх) (:К,, Ав,в (А,х) (:К,. (40) Мы имеем в силу (17): в Ат х (Азх) = ',~ А,, (,7'(х(т!), у!) — Г'(х(т.), и(т)))й., и потому второе из включений (40) имеет место (нбо т,( ... (т, -т'(т). Докажемпервоеиз этихвключений.
Допустим, что (при некотором й) вектор А,, (А5х) не принадлежит конусу К,. Тогда существует гиперплоскость, разделяющая их, т. е. существуют такие числа аь, а„..., а„, что конус К, расположен в отрицательном полупростран- П8 ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ПРИНЦИПА МАКСИМУМА [ГЛ з стве ~Ч', а х" -.О, а вектор Аьт (Л1х) — в о т кры том а о положительном полупространстве, т. е.
(а, Ат т (й,х)))О, (41) где и — вектор (ао, аю ..., а„). Обозначим через ф(1, и) реше- ние системы (8) с начальным условием ф (т, и) = и. Это решение мы будем рассматривать на отрезке 1е (1( т. Так как конус К, расположен в отрицательном полупростран- стве, т. е. выполнено условие (34), то из лемм 5, 7 и 6 вытекает, что лт ($ (1, а), х (1)) = 0 при 1, (1 =.
т. Так как, далее, т ' — правильная точка (лежащая на полуинтер- вале го ( С ( т), то, согласно лемме 5, Л (зр(т', и), х(т'), и (т')) = й(ф(т', а), х(т')) = О, т. е. (1У(т', и), Г (х(т'), и (т'))) = О. Отсюда, согласно лемме 1, мы получаем соотношение (~Р(т, а), Аъ, Я(х(т), и(т))) =О, противоречащее неравенству (41). Полученное противоречие и доказывает лемму 8. Пусть теперь т — произвольная правильная точка управления и (1), лежащая на интервале св ( 1( с,.
Положим К);~= АЬ,, (К,). Так как Ап т есть линейное отображение, то К~~;~ есть выпуклый конус пространства Х„. Конусы К~~ образуютвозрастающую последоват е л ь н о с т га если т ( т — правильные точки, то в силу леммы 8 мы имеем (см. (17)) К)„" У = А ц, т (Кт ) = А ь, (Аъ т (Кт )) ~ Ап, т (К,) = К)',~. Поэтому объединение (по всем правильным точкам т интервала 1, (1( гг) всех конусов К~ь~ снова есть выпуклый конус (возможно не замкнутый) пространства Хп (с вершиной в начале). Этот конус мы обозначим через Кп и назовем предельным конусом. Л е м и а 9. Если управление и (1) и соответствующ я траектория х (е), 1, (1 ( 1„оптимальны, то луч Еп, исходяи1ий ив точки х(1,) в направлении отрицательной полуоси хв, не принадлежит внутренности конуса Кц.
а Д! ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ПРИНЦИПА МАКСИМУМА $19 В самом деле, пусть луч Хп принадлежит внутренности конуса Кб. Выберем выпуклый многогранник М, целиком лежащий в Кп и содержащий какую-либо точку 1 (: Ьп внутри себя. Каждая вершина многогранника М принадлежит конусу Кь, т.
е. принадлежит некоторому конусу К);>, а так как конусы К)',~ образуют возрастающую последовательность, то найдется такая правильная точка т, что в с е вершины многогранника М принадлежат конусу К)',~. Следовательно, конус К) содержит весь многогранник М, так что точка 1 является внутренней точкой конуса К), или, что то же самое, луч Х~, принадлежит внутренности конуса К);~. Но тогда луч А...' (Ь,,) принадлежит внутренности конуса А,,', (К),'>) = К, (ибо Ап,, есть линейное вевырожденное, следовательно, гомеоморфное отображение). Луч же А,„', (Ьп) совпадает с лучом Х„, исходящим из точки л (т) в направлении отрицательной полуоси за.
Это вытекает из того, что система уравнений в вариациях (16) не содержит в своих правых частях переменного х', и потому равные между собой векторы ( — 4, О, О, ...,0), исходящие из точек кривой л (О, получаются друг из друга переносом вдоль траектории х (Г). Итак, луч Х принадлежит внутренности конуса К„, а зто противоречит оптимальности управления и (1) (см. лемму 4). Переходим к завершению доказательства теоремы 8.
Пусть и (~), га ( г ( ~„— оптимальное управление, а х (Х)— соответствующая ему оптимальная траектория. Тогда луч Ха, не принадлежит внутренности предельного конуса Ки (лемма 9), и потому существует разделяющая их гиперплоскость, т. е. Существуют такие числа с„с„..., си, и что весь конус Ки лежит в полупространстве ~~ с„х' ( О, и а=а а луч Х,, — в полупространстве У', с„х" ~0.
Иначе го- а=О воря, вектор ( — 1, О, О, ..., О), имеющий направление луча Х„„лежит в замкнутом полупространстве ~~с„х" ~0, т. е. с (О. а=а дго доказлтвльство пгинципа млксимгмл игл з Обозначим через др (1) = ЩО (д), дРд (д), ..., О(д„(~)) решение системы (8) с начальным условием др (1д) = с, где с — вектор (с„сд, ..., с„). Так как система (8) линейна, то решение ду (д) определено на всем отрезке д «1 «Г . Покажем, что вектор ду (д) и является тем вектором, существование которого утверждается в теореме 8. Прежде всего, х (1) и др (1) удовлетворяют уравнениям (7) и (8), или, что то же самое, (9) и (10). Докажем, что соотношение (11) имеет место во всякой правильной точке интервала 1О ( д ( дд.
Пусть т — правильная точка, лежащая на этом интервале. Так как весь конус Кд„ а следовательно, и конус Аь, д (Кд) лежит в отрицатель- а ном полупространстве ~ч ', ф„(дд) х" «О, то (совершая пере- а=О нос вдоль траектории х (Е) из точки х (дд) в точку х (т)) мы получаем, что весь конус Ад,д,(Ап т (К;)) = К, лежит в полупространстве ~ др„(т) х" «О (см. з 12).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
