Понтрягин Л.С. - Математическая теория оптимальных процессов (2-е издание) (955113), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Так как Г7 имеет лишь конечное число граней, то мы можем выбрать бесконечное множество М таких значений ~, для каждого из которых функция (7) достигает своего максимума на некоторой (одной и той же для всех ~ ~М) грани Г многогранника У. Следовательно, для любого ~ (:М функция (7) переменного и постоянна на грани Г. Пусть и, и и1 — векторы, идущие из начала координат (пространства В„) в концы некоторого ребра грани Г, так что вектор и = и, — из имеет направление этого ребра.
Тогда при ~ ~М мы имеем (в силу постоянства функции (7) на грани Г) (7р (1),Вю) = (7р (1), В (и, — и,)) = = (7(7 (1), Ви,) — (7(7 (~), Ви ) = О. (8) Пусть теперь Ь', Ь', ..., Ь" — координаты вектора Вю (величины Ь', Ьз,..., Ь" постоянны, так как ш — в и о л н е о и р е д е л е н н о е ребро многогранника У). Тогда (7)7 (е), Вю) = д17р1(1) + Ьз7)7, (1) +... + Ь"7)7„(Е). (9) ь) Сам многогранник о' мм также считаем его (несобственной) гранью. б' 132 линеЙнЫе ОПтИМАЛЬНЫе Выстгодннствня ~ГЛ, З Так как функции ф, (О, фз (г), ..., $„(~) составляют решение ф (г) уравнения (5) с постоянными коэффициентами, то они а н а л и т и ч н ы, и потому функция (9) также является аналитической. Для любого ~ (:М (т.
е. для бесконечного множества значений з) аналитическая функция (ф (З), Вю) переменного 1 обращается в нуль (см. (8)), и потому на всем отрезке ~„:== г ~ Г, имеет место соотношение (ф(г), В )— = О. Последовательно дифференцируя зто соотношение по г, мы получаем (в силу того, что ф (г) есть решение уравнения (5)) (А*~у(~), Вю)=0, (Азеф (е), Вю) =О, (А*" ~ф (г), Вю) =О, или (в силу соотношения (х, Ар) = (А*х, р), справедливого для любых векторов х, р) (ф(з), АВю) =О, (ф (г), А зВю) = О, (11) (ф(г), А" 'Вш) =О. Так как, в силу условия общности положения, векторы (3) образуют базис пространства Х, то соотношения (10), (11) означают, что при любом з, гз ~ з «= ~„вектор ф (з) ортогонален ко всем векторам некоторого базиса и потому равен нулю, что, однако, противоречит предположению о нетривиальности решения ~Р (1).
Итак, для всех, кроме конечного числа, значений з, ге ~ з ( й„функция (7) достигает (на В) максимума лишь в одной точке, являющейся вершиной многогранника У. Отсюда, в силу (6), следует однозначная определенность функции и (г) (см. сноску на стр. 130). Далее, выколов точки неоднозначной разрешимости уравнения (ф(з), Ви)=Р(ф(1)), (12) теоРемы О числе пеРеключениЙ 7ЗЗ д!и мы разобьем отреаок ~о ( 1 ( ~, на конечное число частей.
Иетрудно видеть, что на каждой из этих частей функция и (~) постоянна. В самом деле, пусть Х вЂ” одна из этих частей (она может быть интервалом, полуинтервалом или отрезком). Пусть ею ею ..., е — все вершины многогранника У. Обозначим через М,, 7 = 1, 2, ..., д, множество тех точек ~ ~У, для которых решением уравнения (12) является точка ео Тогда М„М„..., М являются, согласно сказанному выше, попарно не пересекающимися множествами, дающими в сумме Х (некоторые из этих множеств могут оказаться пустыми). Мы сейчас покажем, что каждое из множеств М; открыто на У, откуда (в силу связности множества Х) будет вытекать, что все множества М;, кроме одного, пусты, так что решение уравнения (12) постоянно на У.
Тем самым теорема 9 будет полностью доказана. Пусть 1 ~Х вЂ” произвольная точка множества Мм так что(ф (~), Ве7) = Р (ф (7)) и (ф (1), Ве ) (Р (7(7(7)) при 7' ч'у. Так как каждая из функций (ф (~), Ве,), у = 1, 2, ..., д, непрерывна на Х, то во всех достаточно блиаких к точках множества Х имеет место неравенство (ф (7), Ве7) ) ) (ф (~), Ве;) при 1 ~- '1. Иначе говоря, все достаточно близкие к 7 точки множества Х принадлежат множеству М,, т. е.
М, открыто на Х. Теорема 9 доказана. Итак, согласно теореме 9, каждое оптимальное управление должно быть кусочно-постоянной функцией со значениями в вершинах многогранника с7. Каждую точку раарыва оптимального управления мы будем называть также точкой переключения. Более полно, если точка разрыва оптимального управления и (~) и если и (8 — О) = е7, и (7 + О) = е; (гдее7ие; — различныевершины многогранника У), то мы будем говорить, что при 1 = г' происходит переключение оптимального управления и (1) из вершины е, в вершину ег Теорему 9 можно теперь кратко охарактеризовать как теорему о конечности числа переключений.
Ясно, что в каждом конкретном случае число переключений зависит от аначений коэффициентов системы (1), от вида многогранника У и от выбора точек хо, х,. С этой точки зрения интересно сравнивать между собой и р и м е р ы 1 и 2, $34 линейные ОптимАльные Быстродействия ~гл, г приведенные в т 5. В примере 1 при любом начальном положение хр оптимальное УпРавление и (С) имело н е б о л е е о д н о г о переключения(т.
е. имелосьнеболеедвухинтервалов постоянства управления и (С)), в то время как в примере 2 число переключений неограниченно увеличивается при удалении точки хр от начала координат (хотя для каждого ф и к с и р о в а н н о г о значения хг число переключений конечно). С чем связано ето существенное различие оптимальных управлений в двух указанных примерах? Как показывает нижеследующая теорема 10, в своем первоначальном виде принадлежащая А. А.
Фельдбауму, это различие связано с тем, что в примере 1 матрица системы имеет д е й с т в и т е л ь н ы е собственные значения, а в примере 2 — комплексные. В теореме 10 мы не будем рассматривать общий случай произвольного выпуклого многогранника П, а ограничимся лишь следующим случаем, весьма важным в приложениях. Именно, мы будем считать, что многогранник П представляет собой параллелепипед, определенный в пространстве Е, переменных и', иг,..., и' неравенствами (13) ар ( ир ( (гр, р = 1, 2, ..., г. Иначе говоря, мы будем рассматривать случай, когда каждая из величин ир в уравнениях (1) представляет собой отдельный управляющий параметр, область изменения которого не зависит от значений остальных управляющих параметров и задается неравенством (13). Условие общности положения (стр.
129) мы по-прежнему будем предполагать выполненным. Т е о р е м а 10. Предположим, что область управления П представляет собой параллелепипед (13) и что все собственные значения матрицы (а',), составленной из коэффициентов уравнения (1), действительны. Тогда для каждого нетриви льного решения ф (С) уравнения (5) соотношение (6) однозначно определяегп управляющую функцию и (С) = (ис (С), иг (С), ..., и" (С)); при атом оказывается, что каждая из функций ио(С), р = 1, ..., г, кусочно- постоянна, принимает только значения ар и 'С)р (см, (13)) и имеет не более и — 1 переключений (т.
е. не более и интервалов постоянства), где и — порядок системы (1). з и! теоремы О числе пеРеключений т35 Д о к а з а т е л ь с т в о. Функция (7) в координатной форме ааписывается следующим образом (ср. (4)): а(р, р )= Х (Х!.!р~,"") р=! Р=! Для того чтобы эта функция принимала максимальное аиачение, необходимо, чтобы каждая из функций ~ч '„фр (!)Ьни', р = 1,2, ..., г, р-! (14) принимала максимальное значение (ибо область иаменеиия каждой из величин и', ..., и' не зависит от значений остальных). Из этого, как мы сейчас покажем, и вытекает, что величина ир принимает только значения ар и рр и имеет не более и — 1 переключений. Очевидно, что соотношения и!=а! при ! ~ р, а (и'(~р определяют одно из ребер параллелепипеда Ьг. Направление этого ребра определяется вектором и = (О, О, ..., 1, ..., 0), где единица стоит на р-м месте.
Таким Образом, вектор Вш имеет вид Ви! = (Ьр Ьр Ьр) и потому (ф(!), Вю)= Х ф,(!) Ь;. р ! (15) Если бы эта функция тождественно равнялась нулю, то, как и при доказательстве теоремы 9 (ср. (10), (11)), мы получили бы !р(!) = — О, что противоречит условию теоремы. Таким образом, функция (15) при любом р = 1, 2, ..., г не равна тождественно нулю и, следовательно, как аналитическая функция, обращается в нуль лищь в конечном числе точек, а функция (14) получается из функции (15) умножением на ир. Так как функция (14) должна достигать максимума, то величина ир должна принимать [36 линейные оптимальные Быстгодействия [Гл, з еначение ар, если функция (15) отрицательна, и эначенне рр, если функция (15) положительна. Иначе говоря, точками переключения для управляющего параметра ио могут быть только те значения [, в которых функция (15) обращается в нуль.
Таким образом, теорема 10 будет полностью докааана, если мы установим, что функция (15), т. е. не равная тождественно нулю линейная комбинация функций ф, ([), фг ([), ..., ф„([), имеет не более чем и — 1 действительных корней. В силу иввестных теорем о линейных уравнениях с постоянными коаффициентами, каждая из функций фг (г), фг (8), ..., ф„([), составляющих решение уравнения (5), имеет вид ~г(1) ех '+7' (г) е"*'+...
+~ (1) ех ь', (16) где )[т, Х,; ..., Х вЂ” все попарно различные собственные значениЯ матРНЦй — А*, а ~г (г), 7г (1), ..., 1 ([) — много- члены, причем степень многочлена ~[ (г) меньше, чем кратность собственного значения Х, Следовательно, линейная комбинация (15) функций т1 (1) тг ([) " тьь (г) также имеет вид (16). Все числа Л„Х„..., Х действительны (ибо по условию все собственные значения матрицы А, а аначит и матрицы — А" действительны). Если мы обоаначим кратность собственного значения Х, через г[ (так что гд + гг + ... + г = и), то тогда степень многочлена ~[ (г) не превосходит числа г; — 1, и потому, в силу доказываемой ниже леммы, число действительных корней функции (16) не превосходит числа (г, — 1)+(гг — 1)-[-... +(г — 1)+т — 1= = гг+ ге+...
+ г — 1 = и — 1. Тем самым теорема 10 полностью докавана. Л е м м а. ПУсть еч, Хг, ..., А — дейстпвительные попарно различные числа, а / (г), ~ (г), ..., 1 (г) — много- члены с действительными коэффициентами, имеющие степени йы 1с„..., 7с„, соответственно. Тогда функция ,(, (1) е" '+ )г (Г) еь*' +... + ~,„(1) ех ' (17) имеет не более чем 7сг +й, + ... + й + и, — 1 действительных корней. ТЕОРЕМЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ з >В> Д о к а з а т е л ь с т в о.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
