Понтрягин Л.С. - Математическая теория оптимальных процессов (2-е издание) (955113), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Переход от величин тО к величинам Ь2 показан на Ч~ рис. 77. Величина ~2 принимает значение — 1, ~, ~г если для всех у' выполнено равенство (83), и и о л о ж и т е л ь н о е аначение, если хотя бы для одного 7 выполнено равенство емп7 = + 1. (Равенство 2,,2)7 = О, или, что то же самое, (ф, Вю1) = О, см. (78), может, в силу теоремы 9, Ркс. 77. выполйяться лишь для к о н е ч н о г о числа эначений 1, которые мы не будем принимать во внимание.) Таким обраеом, уравнение (81) тогда и только тогда имеет единственное решение и = е,, когда ~, (О. Подав величины~„..., ~„на репейные элементы и обоаначив выходные величины через у„..., )12 (рис.
78), мы найдем, что уравнение (81) тогда и только тогда имеет единственное решение и = е2, когда выполнено равенство 72 = — 1. Иа сказанного ясно, что в любой МОМепт 1 (за ИСключением конечного числа моментов, $98 линейные ОптимАльные Быстгодеиствия [гл. 3 когда хотя бы одна иа величин 97 обращается в нуль) одна иа величин 1[[ принимает аначение — 1, а остальные — значение + 1. Пусть теперь е',, ..., е", — координаты вершины е[ многогранника У.
Положим и'= — (1 — Х )е,', р =1,"., г (85) [' а=[ (рис. 79). Иа (85) ясно, что точка (ит, ..., и") совпадает с веРшиной е,, если Ун = — 1, а остальные величины 1[с Рис. 78. Рис. 79, равны + 1. Иначе говоря, если уравнение (81) имеет единственное решение, то этим решением является точка (и', ..., и"), получаемая но формулам (85). Соединим теперь объекты, изображенные на рис. 67, 68, 75 — 79, вместе. Мы получим схему, покааанную на рис.
80. Из сказанного выше ясно, что, каков бы ни был [се Хр Рис. 80. начальный вектор фс, функции и'([), ..., ис([), получающиеся на выходе предпоследнего звена, обраауют экстремальное управление (ибоони удовлетворяют уравнению (6)), а на выходе схемы мы полу- э 231 уРАВнения с пеРеменными коэФФициентАми 19э чаем величины х'(с), ..., х" (1), описывающие соответствующую экстремальную траекторию. Итак, схема, изображенная на рис.
80, осри»ествляет движение объекта (2) пв экстремальной траектории (при любых начальных значениях»р», х,). Остается, как мы отмечали выше, задача поиска такого началького значения для ф, при котором (для заданного начального эначения х») получаемая траектория проходит через начало координат. Такой поиск можно производить одним иэ следующих двух методов: либо, имея фиксированное начальное значение х„при помощи нескольких проб найти требуемое начальное значение »р„ либо же, обратив направление течения времени, вычертить достаточно густую сетку траекторий, исходящих иэ начала координат (они все будут оптимальными), после чего, «запомнив» все точки фазового пространства Х, в которых происходят переклгочения, составить «поверхность переключений» (т.
е. произвести синтеэ оптимальных управлений). Следует еще отметить воэможность осуществить более быстрое течение времени в моделирующем устройстве по сравнению с реальным объектом (эа счет подбора параметров в первом и последнем эвеньях схемы). Это может позволить испробовать на моделирующем устройстве несколько экстремальных траекторий в течение короткого времени и получить требуемое оптимальное управление для исходного объекта.
5 23. Линейные уравнения с переменными коэффициентами Основные факты, установленные в предыдущих параграфах для линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами (см. (1)), переносятся и на случай линейных неоднородных уравнений с переменными коэффициентами.
В этом параграфе мы приведем формулировки получаемых таким образом теорем и укажем те изменения, которые следует произвести в предыдущих доказательствах для получения этих теорем. Уточним преждевсего постановку эадачи. Мы будем рассматривать объект, закон движения которого 2оо линейные оптимальные БыстРОдейстВия [гл. 3 записывается в виде следующей линейной системы дифференциальных уравнений: в — а'(г) х + ~~ Ь'(т)па+71(1), 1 = 1,..., п. (86) т=1 р=1 Областью управления У по-прежнему будем считать выпуклый замкнутый многогранник г-мерного пространства Е„переменных и1, ..., и'. Как и выше, ограничимся рассмотрением задачи об оптимальных быстродействиях.
Относительно функций а!(Г), Ь'„(8) и 71(Г), входящих в систему (86), мы будем предполагать, что они определены на некотором интервале а ( ~ ( Ь (возможно, совпадающим со всей числовой прямой) и имеют на этом интервале достаточное число непрерывных производных. Именно, мы будем предполагать, что функции а1(~) имеют и — 2 непрерывных производных (но не менее одной), функции ЬА1(1) имеют и — 1 непрерывную проивводную, а функции 71(1) имеют одну непрерывную производную.
(Возможность некоторого ослабления этих ограничений укааана в замечании, приведенном в конце етого параграфа.) Все рассматриваемые значения переменного 1 мы будем предполагать принадлежащими интервалу а ( 1 ( Ь; в частности, всякое допустимое управление будет предполагаться заданным на отрезке, являющимся ч а с т ь ю интервала а ( 1 ( Ь. В векторной форме система (86) может быть ааписана следующим образом: (87) †„, = А (г) х + В (г) и + / (г); здесь А(8)1Х-1.Х и В(й)1Е;+Х вЂ” линейные операторы, определяемые в координатах х1, ..., х" и и1, ..., и" матрицами (а,'.(1)) и (Ь1(1)) соответственно, а ~(1) — вектор с компонентами ~1(1). Введем в рассмотрение операторы В1(~), В,(~), ..., В„(1), положив В1(г) =В(~), Вт(г) = — А(г)В~ 1(г)+ ~,1, (88) 7=2,..., п.
З 23) УРАВнениЯ с пеРеменными коэФФициентАми 2С1 (Для воаможности определения этих операторов необходимо, чтобы функции Ь'„'(с) имели и — 1 производную, а функции а!(с) имели и — 2 проиаводных.) Мы будем говорить, что в момент времени 1 выполнено условие общности положения, если для любого ребра и многогранника Н векторы В,(1) ю, В,(1) ю,..., В„(с) ю (89) линейно независимы в пространстве Х.
В этом параграфе мы будем всюду предполагать, что в любой момент времени а ( 1 ( Ь, выполнено условие общности положения. Отметим, что если матрицы (а'.(Г)) и (Ь'„(1)) постоянны, т. е. величины а! и ЬА не зависят от времени, то иа (88) следует, что В; = ( — 1)~ 'А! 'В, и потому векторы (89) совпадают, с точностью до знаков, с векторами (3).
Таким обрааом, в этом случае сформулированное здесь условие общности положения совпадает с условием общности положения, введенным в т 17. Функция Н (ф х, 1, и) (см. стр. 73 и теорему 5) в рассматриваемом случае имеет вид Н=(ф, А(г) х)+(ф В(с) и)+(ф ~(1)) = = Х "рэаи(г)х'+ ~ч~ ~р,„ЬР(г) ио+ т,ф,„~е(1), (90) ют Р,о Р а вспомогательная система (см. формулу (69) гл. 1) записывается в виде — — 'Ь~= — ~" ат(г) ф„у' = 1, 2,..., и, с~~уу или, в векторной форме (ср. 5)), — = — А*(г) ф (91) Очевидно, что функция Н, рассматриваемая как функция переменного и~Н, достигает максимума одновременно с функцией (ф, В(с)и).
Максимум функции (фВ(1)и), рассматриваемой как функция переменного и ~ Н, мы обозначим через РЬр, 1). Из теоремы 5 следует (см. формулу (70) гл. 1), что если и(1), 1о ( 1 ( 1„— оптимальное управление, переводящее фазовую точку из положения хе в положение х, то существует такое 302 линейные ОптимАльные БыстРОдейстВия ~гл. 3 нетривиальное решение «р(«) уравнения (91), что (Ф(1) В(г) и(г)) =РЯЯ, г) (92) («р(с), В(с) ю) = 0 при всех» (- М.
(93) ') Ср. сноску ва стр. 130. для всех «, принадлежащих отрезку с«( с = 8,. Некоторую функцию, заданную на интервале а ( ~ (Ь или на его части, мы будем называть кусочно-постоянной, если множество всех точек разрыва этой функции не имеет предельных точек внутри интервала а ( 1 ( Ь, а на каждом из интервалов, на которые интервал а ( г ( Ь разбивается этими точками разрыва, рассматриваемая функция постоянна. (Заметим, что точки разрыва могут накапливаться к концам интервала а ( «( Ь.) Т е о р е и а 15. Для каждого нетривиального решения »р(с) уравнения (91) соотношение (92) однозначно *) определяет управляющую функцию и(1)' при этом оказывается, что функция иЯ кусочно-постоянна и ее значениями являются лишь вершины многогранника «л'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
