Понтрягин Л.С. - Математическая теория оптимальных процессов (2-е издание) (955113), страница 32
Текст из файла (страница 32)
В самом деле, все рассуждения, приведенные в Я 13, 14, были связаны с выбором некоторой правильной точки т, удовлетворяющей условию т ( гд, 'эти рассуждения дословно, беа всяких изменений проходят и в случае 24 — — со. То же относится к формулировке и доказатель РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ ~гл. 4 208 ству лемм 5 — 8 из э 15. Однако построение предельного конуса уже не проходит, так как точки 1, (правого конца отрезка времени) не существует.
Тем не менее, легко видоизменить конструкцию предельного конуса таким образом, чтобы ее можно было применить и в рассматриваемом случае. В самом деле, обозначим через К<п выи пуклый конус А,—,'(К,). Эти конусы образуют возрастающую последовательностьл К)'ч~К)') при т (т (для доказательства этого факта достаточно к включению, содержащемуся в лемме 8, применить преобразование А — 1 т ы и воспользоваться формулами (17) гл.
2). Поэтому объединение (по всем правильным точкам т) всех конусов К< > снова есть выпуклый конус (воаможно, не замкнутый) пространства Хп. Назовем его н а ч а л ь н ы м к о н у - ~ с о и и обозначим через Кп Легко видеть, что (для рассматривавшейся в Ц 2, 11 оптимальной задачи) имеет место соотношение Ап, н (Кц) = Ксг Поэтому начальный конус совершенно эквивалентен предельному, и можно было завершение доказательства принципа максимума ($15, после леммы 8) провести с помощью начального конусаКп.
Приэтомлемма9, как и ее докааательство, остается в силе (с очевидной заменой луча Ьп, конусов Кь, К<'> и преобразований А —,' соответственно на Ь~„Кн, К<п и Ач и). После этого беа труда проводятся и заключительные рассуждения э 15, чем доказательство теоремы 8 (и теоремы 1), проводимое с помощью н а ч а л ь н о г о конуса (вместо предельного) и завершается. Но такое доказательство дословно (с заменой отрезка 8з ( С ( 1, промежутком Сэ ( ( 1 ( со) переносится и на случай рассматриваемой оптимальной задачи (1), (2). Тем самым наше утверждение доказано.
Заметим еще, что можно было «сносить» конусы К, не в точку х(1,) или в точку л(1,), а в любую точку л(1) рассматриваемой траектории. Поэтому изложенное доказательство применимо и к случаю, когда промежутком интегрирования является вся прямая — со (1 ( со. ОптимАльные пРОцессы с пАРАметРАми 299 Е 25. Оптимальные процессы с параметрами Мы рассмотрим в этом параграфе следующую оптимальную задачу. Функции 1', 1', ..., 1".
зависят от трех переменных х~Х, и~У, юЕ И', где Х и У имеют прежний смысл, а И' — векторное пространство размерности и. функции 1~, 1', ..., 1" и их частные производные по всем переменным х', х', ..., л" предполагаются определенными и непрерывными на всем пространстве Х х У х И~. Вакон движения объекта задается уравнениями — „, = /'(х, и, ю), 1= 1, 2,..., и. (4) В пространстве Х заданы две точки хз и х,. Требуется выбрать такую и о с т о я н н у ю точку из~И'(т. е. до начала движения подобрать значение параметра и, остающееся постоянным в течение всего движения) и такое допустимое управление и(т), чтобы соответствующая траектория х(г), исходящая в момент 1з из точки х„ проходила в некоторый момент 1г через точку х, и чтобы при атом интеграл У = $ )з (х (1), и (1), ш,) Иг принимал наименьшее возможное значение.
Если функции и(Г), х(1) и точка юз дают решение поставленной задачи, то величины и(1), х(1), ю, мы будем называть оптимальными (для заданных точек хз и х,). При решении этой задачи мы будем предполагать, что вседопустимые функции к у с о ч н о - н е и р е р ы вн ы, т. е. что класс 0 допустимых управлений либо совпадает с множеством всех кусочно-непрерывных функций (со значениями в 0), либо является его подмножеством, удовлетворяющим условиям, указанным в 9 10. Отметим некоторую специфику рассматриваемой задачи, заставляющую ограничиваться лишь кусочно-непрерывными (а не проиавольными иамеримыми) управлениями. В то время как в оптимальной задаче, сформулированной в 5 11, каждый кусок оптимальной траектории РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ 2>0 !Рл. 4 снова является оптимальной траекторией (ибо «улучше.
ние» куска траектории ведет к «улучшению» всей траектории, ср. $2), здесь, в рассматриваемой аадаче с параметрами это улье не так. Ведь оптимальные значения параметра и> для всей траектории и для ее части могут не совпадать, т. е. если и(1),>о» дают решение поставленной в атом параграфе оптимальной задачи, причем управление и(~) определено на отреаке >» == ~ =. 1„то на меньшем отрезке з а с ч е т и з м е н е н и я и а р а и е т р а и, возможно удастся «улучшиты> управление и(1). Иэ сказанного следует, что рассуждения, проведенные при доказательстве леммы 4, не п риме н им ы к рассматриваемой оптимальной задаче. Рассуждения, докааывающие теорему 8 (или теорему 1), можно, однако, применить и здесь, считая в лемме 9 точку т совпадающей с к о нц е в о й точкой 1, (что делает излишней лемму 4).
Но для этого приходится считать точку 1, и р а в и л ь н о й т о ч к о й управления и(1), т. е. в качестве допустимых управлений приходится брать управления, правильные в правом конце отрезка. Нри этих условиях наиболее естественным классом допустимых управлений является класс кусочно-непрерывных управлений (или какой-либо его подкласс). Решение поставленной оптимальной задачи дается следующей теоремой, аналогичной теореме 1 (функцияв72 п определяется, как и прежде: и',ч' = )~ >)>,7в), а=г Т е о р е м а 17.
Пусть иЯ, 1,> (1( 1д, — >пакоедопустимое управление, а ю» = (ю', ..., ю~) — такое значение параметра ю, что соответствующая траектория х(») = (х (»), х' (С),..., х'(с)) = (х (г), х(С)) (т. е. траектория системы (4), пополненной соответствующим уравнением для 1 = 0) удовлетворяет условиям х(С») = х», х»(1») = О, х(Кд) = хм Для того чтобы величины и(~), х(~), и>» давали решение поспи«вленной оптимальной задачи, необходимо существование такой ненулевой непрерывной вектор-функции «у(>) = = ((> (~), (> (г), ..., >(>„(~)), что; ОптимАльные пРОцессы с пАРАметРАми 21( 1 зос 1' функции х(с), ор(с), и (с) и значение исо удовлетворяют гамильтоновой системе сСхС доЯ (Ц (С), х (С), и (С), осо) Ш дяьс сСс)сС добу (су (С), х (С), и (С), соо) дс дх' 2' функция о2!"(о(с(с), х(г), и, исо) переменного и(: сс' достигает в точке и = и(с) максимума 2( (Ф (г) х (() и ((), ) = .~ ( р ((), х (г), ъ); *) 3' в начальной точке (о выполнены соотношения суо((о) ~')1 'гб И'((о) х((о) юо) = О) 4' имеют место равенппва ~ с)со(г) ~с" ( (), (')'~о) бе =О, р = 1,..., т.
(5) дсоо о ос, Оказывается, далее, что если величины о(с(с), х(г), исо, и(с) удовлетворяют условиям 1' и 2', то функции с)со(() и хсг(оу(с), х(с), юо) переменного 1 являютпся постоянными, так что проверку условия 3' можно проводить не обязательно в момент со, а в любой момент г, г ( с ( сс. Эта теорема отличается от теоремы 1 (или теоремы 8) наличием условия 4', которое дает т дополнительных соотношений, что и дает возможность решать задачу, так как в зту задачу введено дополнительно т неизвестных юс, юо, ..., ю~ (координаты точки ис, в пространстве И'). Укажем, какие изменения нужно произвести в доказательстве теоремы 8, чтобы получить доказательство теоремы 17. Конструкции $12 несколько видоизменяются.
Именно, пусть и (с) — произвольное допустимое управление, заданное при со ~ с ~(с; далее, ю — некоторое значение параметра, а х(с) = (хо(с), х'(г),..., х" (1)) = = (х' (с), х (г)) — соответствующее управлению и(с) и параметру и решение системы (4) с начальным условием о) См. стр. 24. 212 РАЗНЫБ ЗАДАЧИ игл. з х(ге) = хв. Обозначим через у(е) решение, соответствующее тому же управлению и (~) и значению параметра и+ебш и исходящее (в тот же момент г,) из близкой к хе точки у, = хв + е$, + о (з), где $ — постоянный (т.
е. не зависящий от е) вектор пространства Х. Решение у(1) имеет вид у(С) = х(с) + збх(й) + о(е), где бх(М) = (бхе(С), бх'(г),..., бх" (с)) — не зависящий от е вектор, определяемый следующей системой уравнений в вариациях: а-О В-1 1=0,1,...,п, при начальном условии бх (1е) = $,. В отличие от системы (16) в $ 12, эта система уравнений в вариациях неоднородна. Преобразование Аш, мы теперь снабдим верхним индексом бш. Именно, мы будем полагать Абн(В,) = Ьх(с), где Ьх(~) — решение системы (6) при начальном условии бх (1е) = 2,.
Как и в $ 12, вектор А~,н Я ) мы будем считать вектором пространства Х, (с началом координат в точке х(1)). Поскольку система уравнений в вариациях теперь неоднородна, то линейное преобразование А~~7 (й,) также будет неоднородным. Йаконец, лемма 1, завершающая 2 12, примет следующий вид: селим(1) — решениесистемы (8) 2 11, а $ — произвольный вектор, заданный в точке х(Е ), то на всем отрезке Г (Г(~, выполнено соотношение ЖР) А,ияе)) =('рйе) $е)+ „Р (1)зу( И (~) )б ед (7) ер-1 З ОО] ОПТИМАЛЬНЫЕ ПРОЦЕССЫ С ПАРАМЕТРАМИ ОЯ Обратимся, далее, к 1 13.
Правильными точками управления и(о) являются все его точки непрерывности, т, е. все точки отрезка 10 «т = 1„за исключением конечного числа точек разрыва. Мы продолжим управлеиие и(~) несколько дальше, за правый конец отрезка оо ~ 1 ( 1„полагая и(1) = и(й,— О) при 1 ) 1,. Продолженное таким образом управление и(г) непрерывно в точке г„ так что г, является правильной точкой. Далее, точку т, входящую в определение проварьированного управления (стр. 97), мы теперь будем считать совпадающей с т, е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
