Понтрягин Л.С. - Математическая теория оптимальных процессов (2-е издание) (955113), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Тогда функция х, (>) = х (С) — <р (<) удовлетворяет условиям х«>(а) = О, >' = О, 1, ..., и. Кроме того, мы имеем х<"> ([) = х<"> ([) — х<"> (а) = = [х'"' (г) — х'"> (а)) — [<р<"> ([) — <р<"' (аЦ = х<"' ([) — х'"'(а) (ибо фее(1) есть константа). Так как функция х<">([) удовлетворяет на отрезке [а, Ь) условию Липшица с константой а, то при любом [~[а, Ь) [ х< "> ([) ~ = [ х<" > (>) — х<" > (а) ~ ( а ([ — а) ( а(Ь вЂ” а) .
Разлагая функцию хд([) по формуле Тейлора, мы найдем х,([) =х,(а)+ [, х,(а)+, х,"(а)+... + хо — <> (а)+ х< > (8) (и — [)! ' А[ Ь 26) НРименение к зАЛАЯАм пРиБлижения 219 где Π— промежуточное значение между а и 2. Так как Х (а) = Х)(а) = ... = Х(о )(а) = О, тО Прн 2(-(а, Ь) МЫ Находим ! (1 — а)" „) ( (1 — а)" (Ь вЂ” а)"+' (11) (Ь вЂ” а)"м Таким образом, Ц хг Ц «а,, и потому !! )р Ц = Ц х — х, Ц» Ц х Ц вЂ” Ц х, Ц» Ц х Ц вЂ” а,— —, (12) Выберем теперь такой номер 1 = О, 1, ..., и, что число ) ~р (а)) ! является наибольшим среди чисел ! 1р (а,) !, ! 3) (а1) !, ..., ! )р (ао) ! .
В силу интерполяционной формулы Лагранжа мы имеем р(Ь)=р(а.)ро(2)+р(а.) р (2)+ . + р(а.) р.(2) и потому ! )р(С) ! «(и + 1) ! )р(а)) ! А при Ь~(а, Ь), т. е. Ц )р Ц «(и+1) !)р(а)) ! А. (13) Сопоставляя неравенства (12) и (13), мы получаем Ц ~р Ц 1 Г (Ь вЂ” а)"+'1 !)р(а))!»(~ ! 1)А»(а ! ц ~[ЦХЦ На отрезке 11 выполнены неравенства Р1()~ 3' Р)()~3 2 и потому на этом отрезке мы имеем ! р(Ь) ! = ! р(а,) р, (Ь)+ р (а,) р, (Ю) +... + р (а„) р„(2) !» =-! )р(а1) )р) (1) ! — ! )р(ао) <ро(г)+ . +р (аь 1) 1р)-1(2)+ +юр(а,,) )р)~д(С) +...
+<р (а,) ор„(2) !» ! )р(а)) ! (! 1р)(2) !— — (! 'ро (Ь) ! + + ! )р)- (2) ! + ! 'р)о1 (2) ! + .. + ! 'р (2) !)) ) 3(а+1)А (Ц Ц и) 220 РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ Из этого следует, что на отрезке 7,. ~ х (1) ! = ! (р (1) + хг (й) !» ! ~ (С) ~ — ! ха (1) /» (см. (11)). Итак, для любой функции х~йМ найдется такой номер 1 = О, 1, ..., п, что на отрезке Х,. выполнено неравенство (14). Пусть теперь Уа — значение, которое принимает функ- ционал (9) для функции х(1) =О. Пусть, далее, Р— такое положительное число, что при ( х ( ' > Р, у~1 мы имеем Р ( ) ~ .Та + 1' (Ь вЂ” а) Р (такое число Р существует в силу указанных в форму- лировке теоремы свойств функции Г (х, у)).
Пусть, наконец,  — такое положительное число, что при ~1 х 0 )В правая часть соотношения (14) больше чем Р. Тогда для любой функции х~й<">, удовлетворяющей условию ~! х ~ ~ )В, найдется такой номер 1 = О, 1, ..., п, что на отрезке 7, выполнено неравенство (14), и потому выпол- нено неравенство ( х (1) ~ ~Р. Из этого следует, что Р(х(8), о(С))) ' при Ю ~ 1, (15) Кроме того, в силу (10), Р(х(С), уЯ)= — Х при 1~:\а, Ь1 (16) Так как длина отрезка 7,. равна р, то из неравенств (15) и (16) мы получаем ь Р(х(~) у(1))~й» '+ ' + Р а + ( — Л) [(Ь вЂ” а) — р) ) Уа. (17) Итак, для любой функции х(:й~"~, удовлетворяющей условию (~ х 0 ) В, выполнено неравенство (17). Обозначим через Аз множество всех функций хааа'">, удовлетворяющих условию 0 х 2 ( В, и пусть |а — ннжняи Э 26> ПРИМЕНЕНИЕ К ЗАДАЧАМ ПРИБЛИЖЕНИЯ 221 грань значений функционала (9) для функций х~ХБ.
ь Очевидно, что Уь ) Уа, и потому )Р(х(ь), у (ь))ь[ь)У* а для любой функции хай<">: при )[ х ([ ) В это следует из доказанного неравенства (17), а при )! х ~[~ — из определения нижней грани. Поэтому для завершения доказательства первой части теоремы остается установить, что существует такая функция х~й~">, для которой функционал (9) принимает значение У*.
Это легко вытекает из компактности множества Ха (см. основную лемму) и непрерывности интеграла (9), рассматриваемого как функция от х~й~">. Итак, первая часть теоремы (существование решения) доказана. Так как, в частности, функция Р(х, у) =(х — у)' удовлетворяет указанным в теореме 18 условиям, то и для функционала (9*) поставленная задача всегда имеет решение.
Покажем, что в этом случае решение единственно.Так как функционал (9*) равен с[2,где ь[ = а>(х, у)— расстояние между функциями х и у в смысле метрики пространства Х„, и так как величины а> и ь>2 достигают своего минимума одновременно, то задача сводится к отысканию такого элемента хь=-й~">, для которого а(х, у) = ппп, т. е. к нахождению б л и ж а й ш е й к у точки х(:й(а>. ПРостРанство Срьь>, очевиДно, соДеРжитсЯ в 22, пРичем прямые линии пространства С1,, ь> являются прямыми и в Ь .
Поэтому выпуклое в Сьа, ь> множество й~"> (см. основную лемму) является также выпуклым подмножеством пространства Ьь. Но в пространстве Сз (в силу строгой выпуклости его единичной сферы) выпуклое множество не может содержать более одной ближайшей к у точки. Поэтому в рассматриваемом случае наша основная задача имеет только одно решение.
Теорема 18 доказана. Перейдем теперь к н а х о ж д е н и ю решения с помощью принципа максимума. Пусть х (ь) — произвольная функция класса й(">. Тогда функция хоа>(~) существует на отрезке [а, Ь] и удовлетворяет условию Липшица с константой а и, следовательно, является абсолютно непрерывной. Поэтому почти всюду существует измеримая 222 РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ игл. 4 функция и = хш+П(2), причем во всех точках, где функция и(2) определена, выполнено соотношение [ и(2) ] (а.
Таким образом, обоаначая функции х(1), х'(1), ..., хоп(2) через х', х', ..., х"+' соответственно, мы найдем, что выполнены соотношения (18) ыхх хет — =х и =и(1) где [ и (С) ~ ~ а. Эти соотношения выполняются почти всюду на отреаке [а, Ь] (первые л соотношений даже всюду). Нетрудно видеть, что и обратно, если абсолютно непрерывные функции хт, х', ..., х"+' почти всюду на отрезке [а, Ь] удовлетворяют соотношениям (18), где и(2) — некоторая измеримая функция, удовлетворяющая условию [ и (2) ~ ( а,то функция х (г) = х'(г) принадлежит классу Й~">. В самом деле, так как функция х'+' (1= 1, 2, ..., и) абсолютно непрерывна и, следовательно, непрерывна, то хх1;+ из соотношения =х'+', имеющего место почти всюду АЧ на отрезке [а, Ь], следует, что абсолютно непрерывная функция х' является интегралом от н е и р е р ы в н о й функции х'".
Поэтому функция х' в с ю д у на отрезке [а, Ь] имеет непрерывную производнузо, равную х"'(1 =1, 2, ..., и). Таким образом, функция АА(г) имеет всюду на отрезке [а, Ь] абсолютно непрерывную п-ю проиаводную, равную х""' (т), и эта проиаводная, в силу соотношений Дхх и = и (2), ~ и (1) ~( а, имеющих место почти всюду, удовлетворяет условию Липшица с константой а, т. е. х1~ Й ос. а' Итак, вместо функций класса 1)оо мы можем рассматривать (абсолютно непрерывные) решения системы (18) при ограничении ~ и(2) [ «=.и.
Таким образом, основная задача эквивалентна следующей оптимальной за- З 261 ПРИМЕНЕНИЕ К ЗАДАЧАМ ПРИБЛИЖЕНИЯ ггг даче: в классе измеримых управлений и(Е), удовлетворяющих ограничению , 'и(е), (а, найти такое, для которого решение системы (18) осуществляет минимум интеграла конееевые значения хе(а) и хе(Ь), е = 1, 2, ..., и+1, произвольны.
Так как подыитегральная функция интеграла У зависит явно от Е (через з а д а н н у ю функцию у (Е)), то мы введем вспомогательное перемениое х"+' = Е, удовлетворяющее, очевидно, дифференциальному уравнению ЕЕХа+2 =1 с начальным условием х""'(а) = а. Тогда рассматриваемая оптимальная задача примет следующую форму. В пространстве Х переменных хе, хг, ..., х "', х'22 задано начальное многообразие Ва с уравееиием х"" = а и конечное многообразие Юе с уравнением х'ч' = Ь (каждое из многообразий имеет размерность и + 1). В классе измеримых управлений и (Е), удовлетворяющих ограничению ~ и(Е) ! ( и, найти такое, для которого решение системы ахе .с2 ае еЕхе хг еее (19) ~н-е — =х зе веха+2 =и, исходящее в момент Еа = а из некоторой точки многообразия Ва и приходящее (в силу последнего уравнения (19), в момент Е, = Ь) на многообразие В„осуществляет РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ 224 Сгл, 4 минимум интеграла ~~р(хс, у(х "г))сгг.
с, Эту задачу (эквивалентную нашей основной задаче) мы и будем решать, для чего воспользуемся теоремами 8 и 3. Функции г (х, р) н у (с) мы будем предполагать непрерывно дифференцируемыми. Функция гйс для рассматриваемой оптимальной задачи имеет вид еЯ"=ср,р(х', у(х"сг))+с)с,х'+с(с,х'+... ...+ срех"+'+ сг„+си + ф„.сг. (20) С помощью этой функции ейс мы составим систему дифференциальных уравнений для вспомогательных неизвестных $,: дг 0 д,2с" дг (хс, Р (х + )) дхс ( г дхс д,у" (24) сСКсс дел" ' дс дх"+с (выражение для — „мы не выписываем, так как оно сСс(с +г нам не понадобится).
Пусть х (~) — решение основной задачи. Тогда, согласно сказанному ранее, функции х'(г)=х(С), х'(Е)=х'(1), ..., х"ь'(8)=х'С(М), х"+э=с дают решение рассмотренной выше оптимальной задачи (см. (19)). Поэтому существует ненулевое решение фг,ф„... ..., с)с„„с(с„ег системы (21) (дополненной невыписанным уравнением для ср„+г), удовлетворяющее условиям, которые указаны в теоремах 8 и 3.
Условие максимума 8 28] ПРИМЕНЕНИЕ К ЗАДАЧАМ ПРИБЛИЖЕНИЯ 225 функции ат дает (почти всюду на отрезке (и, Ь)): шах ф„+,(2) и=2(з„+з(2) и(2), — а и а т. е. и (Ю) (= а з18п зр„тз (2), если ф„+з (8) ф О, (не определено, если зР„+з (2) = О. (22) Выпишем теперь условия трансверсальности (теорема 3). Так как векторы, идущие вдоль осей х', х',..., х"+', параллельны гиперплоскостям оз и Ю„то условия трансверсальности имеют вид зрз(а)=0, 2=1,2,..., Я4-1, трз (Ь) = О, з = 1,2, ..., п + 1. Иптз ,Й Н Л. С. Понтрнгин и др. В силу первого из уравнений (21) мы имеемзрз = сопз$, причем, согласно теореме 8, зрз =.
О. Нетрудно видеть, что предположение зрз = 0 приводит к противоречию. Действительно, если ф> — — О, то — ~'-= 0(см. (21)) и, в силу (23), з)зз = О. Из етого полУчаем „'"* = 0(см. (21)) и, в силУ (23), аФз зрз— : 0 и т. д. Таким обраеом, мы находим последовательно зрз — — зРз = зРз =-... = зР„т: — О. Так каквдольоптимальной траектории функция Ь тождественно равна нулю (теорема 8), то отсюда, в силу (20), получаем ф, = О. Но это противоречит тому, что з(з„зрз,..., згатз — н е н у л е в о е решение. Итак, зрз (О, и мы можем считать, что з(зз = — 1 (так как все величины зрз определены лишь с точностью до общего постоянного положительного множителя пропорциональности). Система (21) теперь принимает вид (после подстановки х""' = з): Ь~, аР(, Р(з)) ай ахз Л'('з з(зз 'игз — = — Ф нз РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ 226 (гл.
ь откуда получаем, учитывая условия трансверсально- стн (23): ! (() ( дст(ас(с), у(с)) дас а с!с а 'а а рс-1/) (( """, "'"с~)сс!с~, а а а и вообще с с с)>А(8)=( — 1) ' ~ ... ~ ( (),' "()) ссс...с((()сквадратур), а а !с=1, 2, ..., и+1. Согластно известной формуле анализа а а А мы можем найденное значение с)с„(() переписать в виде с)с (()= ) Я вЂ” ()' ' ( (а)' у(а)) с$, (25) (Сс — с)),) дас а )с=1, 2, ..., и+1. Условия трансверсальности (24) принимают теперь вид „)с ((с) — ~ ) (р (с)"-сд~(* (ь)' у(ь)) сц — О ()с — с) с,) дхс а Й=-1, 2, ..., и )-1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
