Понтрягин Л.С. - Математическая теория оптимальных процессов (2-е издание) (955113), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Череа е(>+(>), т~~(т„ (90) УСЛОВИВ СКАЧКА й 361 обозначим решение уравнения Н~~ (д~'(х «), и «)) дз дх с краевым условием "т(тз)=Х . Используя включения (82), так же как в гл. 2 и в $34 получаем: ( — ~ (г), у'(Х ((), и (())) = й ( — ~ ((), ~ (г), з (()) = = Ф( — 9(г), К(с)) =О, О~г~т — т„ (91) аЗ (т ((), х(й), и(й)) = ™(ф+«), х«)) =О, т(г(т,. Кроме второго равенства (91), функция ф~ (й), т(й(тз, удовлетворяет всем условиям теоремы 22, за исключением, быть может, условия б), так как равенство Хи = 0 и, следовательно, равенство ф+(г) = 0 не исключены.
Пусть ~р (г)= — 9(т — г), т, =г~т. (92) Очевидно, д Р- «) дУ (, «), и (О) т~ = д . Ф Ф (тг) = Х тг~ С(т, ай (чр (г), х(е), и(ю)) =аФ(ф-(е), х(е)) =О. Из неравенства (88) следует, что хотя бы одна из функций 1у (~), ф" (() отлична от нуля. Ниже доказывается, что всегда ~р (г) ~ 0 и, следовательно, функция (() удовлетворяет всем условиям принципа максимума. Докажем теперь, что либо ф+(т)=чф (т)+пягайя(х(т)), ар (е)-,дО, либо ф (т)+)ьдгайд(х(т))=0, (А~О. Тем самым условия скачка будут доказаны, так как функцию ~р ((), т,(г(т, можно принять за функцию (72), а функцию ~>+ ((), т(г =т, — за функцию (73), если тр" (г) ,-д О. УСЛОВИЕ СКАЧКА 335 3 зз! где Ь(0) = ~', Х,ср" (0) — начальное значение функции (89).
а=1 Из равенства (92) следует: (95) (Х, ь) =(ср ( ), дс) Аналогично равенство (94) дает: (х', ь )= — (р'(), л)+ ~(р'(1), А(1)) — '., юг= др сз (г (т)~ ) ~ ( ) где Х (1) = — (1рз (й), Л (З)). Используя выражение (42) для дЛ вЂ” и интегрируя по частям, получим: др (Х, Ь ) = — (Ф (.), Л) — ~Х(0а,(л(1)) ("'д*.'", Х)1 ~'*+ сз + ~ — '„', а,( (~))~",")), А1)а= — (ф'(т), Д)+ + сс (т) ( ~ ( ( )), Х) + ~ — „а (з (1)) ( ~ ( ( )), ст) сК1. Складывая зто равенство с (95) и учитывая неравенство (87), находим: (Х Ь) + (Х Ь ) = (Р (т) Р (т) + " (т) д ° ссС) + с, + $ — а1(ю(8))( З(*()), 7у) сй(0.
(96) Величина $ с01 ( (~)) (дд(з (1)) дс) 1 т МОжзт бмтЬ СДЕЛаНа СКОЛЬ УГОДНО МаЛОй ПРИ ЗаДаННОМ 11с 333 пРОцкссы пРи ОГРАничвнных кООРдинАтАх ~гл. з эа счет выбора малой окрестности Оп, входящей в определение функции а, (х), в то время как первое слагаемое равенства (96) от этой окрестности не зависит. Следовательно, для произвольного вектора )т', не касательного к гравице л(х) =0 в точке х(т) и направленного наружу относительно области 6, справедливо неравенство (ф (т) — тр+(т)+3,(т)ягайу(х(т)), Л) =О, (97) которое, в силу произвольности вектора Ж, эквивалентно равенству ф+(т)=~> (т)+рягайя(х(т)). (98) Вектор ф (т) ~ О, так как иэ равенства ф (т) = 0 и неравенства (88) следует неравенство ~р" (т) эь 0; с дру- гой стороны, иэ (98) получаем соотношение ~р+(т) =рягайя(х(т)) з" -О, которое в силу соотношения ф (т,) = )(а противоречит включению (86).
При ф+ (т) = 0 получаем: ~Р (т)+рйтайд(х(т))=0, р~О. Таким образом, теорема 24 доказана в том случае, когда х (т1) — внутренняя точка области б. Пусть теперь х (т,) лежит на границе д (х) = О. Этот случай легко сводится к рассмотренному: до- статочно определить функцию $, (г) на отрезке 0(с(т, где тд(0, и аатем устремить точку 0 к тг; мы получим семейство функций фэ (1), 0(~(т, для которых существует искомая предельная функция (г), т,<КТ. Э а м е ч а ни е: 1. Если участок х (~), т(~(тю также принадлежит открытому ядру области 6, то неравен- ство (97) заменится неравенством (ф (т) — ~+ (т), Л) ( О, из которого следует равенство ф+(т)=ф (т)+рйтайл(х(т)), р)0.
Э а м е ч а н и е 2. Если участок х (э), т(~~т„лежит на границе л (х) = О, то вектор ягай я (х(т)) и вектор а зн ФОРмулиРОВкА Результата. пРимеРЫ ЗЗ7 Т(х (т), и (т + 0)) ортогональны и условие скачка дает: (ф (т), 7'(х(т), и(т — 0))) = =(чр (т)+рйгабу(х(т)), Дх(т), и(т+0))) = =(~ф (т), г'(х(т), и(т+0))) = .б(тф (т), х(т))=0.
Отсюда вытекает, что если система уравнений относительно и (~р (т), Т(х(т), и)) = му =0 имеет единственное решение и (г — 0) = и (т+ 0), то вектор У(х(т), и(т — 0))=Т(х(т), и(т+0)) касается границы у (х) = 0 в точке х (т); другими словами, оптимальная траектория в точке стыка х (т) остается гладкой. 3 а м е ч а ние 3. Еслиоптимальная траектория лежит на кусочно-гладкой границе области С(до сих пор мы рассматривали область 6 с гладкой границей), то уравнения всякого участка траектории, целиком лежащего на гладком куске границы, уже найдены в $32. При переходе траектории с одного гладкого куска границы на другой выполняются условия скачка, вполне аналогичные условиям (74), (75).
й 37. Формулировка основного результата. Примеры Объединяя теоремы 22, 24 и принцип максимума, мы приходим к следующей теореме, дающей полную систему необходимых условий, которым удовлетворяет всякая регулярная оптимальная траектория, являющаяся решением оптимальной задачи з 3$. Т е о р е м а 25. Пусть оптимальная траектория уравнения (5) целиком лежит в гамкнутой области 6, содержит конечное число точек стыка, и пусть всякий ее участок, лежащий на границе области С, регулярен. Тогда всякий участок траектории, лежащий в откры- 338 пРОцессы пРи ОГРАниченных кООРдинАТАх игл.
г том ядре области 0 (га исключением, быть может, концов траектории), удовлетворяет принципу максимума; всякий ее участок, лежащий на границе области О, удовлетворяет теореме 22; в каждой точке стыка выполняется условие скачка (теорема 24). Пример 1 Условия скачка справедливы и для следующей оптимальной задачи. Пусть фаэовое пространство Х разбито на две части Хд, Х, гиперповерхностью у (х) = О. Пусть в части Хд уравнение движения фазовой точки имеет вид о— ,— — )д(х, и), а в части Хг — вид —,=)г(х, и). Требуется выбрать такое допустимое управление, чтобы фазовая точка из начального положения хд(-Хд попала на прямую П ~ Хг, параллельную оси хо,и координата хг конца траектории была минимальной.
Траектория движения в каждой из частей Х„ Х, будет удовлетворять принципу максимума, а в момент перехода через границу раздела у (х) = 0 будет выполняться условие скачка. При выводе условия скачка в рассматриваемом случае начальное смещение варьированной траектории должно лежать строго на границе раздела у (х) = О. Поэтому лемму, приведенную на стр.
326, невозможно использовать, и доказательство 3 36 проходит лишь если ни один из векторов )д (х (т), и (т — 0)),,(г (х (т), и (т + 0)) в точке стыка х (т) не касается гиперповерхности й (х) = О. Пример 2 Если изучается обычная вариационная задача, то иа условия скачка непосредственно следуют известные условия преломления экстремалей. В качестве примера выведем здесь эти условия для простейшей вариационной задачи.
ззп ФОРМУЛИРОВКА РВЗУЛьтАУА. ПРИМВРЫ 339 с с(х, у, у') при (х, у) 2- Хс, ~(х, у, у')= ~2(х, у, у') при (х, у) Г-Х2. Введем обоаначения: х2 = ~ г'(х, у, у') с(х, хс = х, хс = у, х, Область управления У вЂ” открытое множество числовой прямой. Принцип максимума записывается следующим образом (легко доказать, что фз ~ 0 и, следовательно, можно положить фз = — 1): дха дхс дх2 — =Р(х, у, у'), — =1, — =и=у'; дс ' ' ' с 72 — О сСФс д22 дс дх' а~, дС дс =ду' ой" = — г" (х, у, у )+ф + ф у'= шах =О. Условия а с = шах и Я = 0 соответственно дают: дх 2 ду г дя д 'У ' ду' Из условия скачка ср+ = 2(с + )сягас)я (х, у) следует: Л вЂ” — (у )'=Л.— —.(у )'+рЛП, —,= —,+рсу', д12 + д(с — ° д12 дсс ду' ду' ' ду' ду' где (срс, с2сз) — вектор нормали к линии я (х, у)=0 в точке перелома траектории.
Обозначим через У' тангенс угла наклона касательной к кривой я = 0 в точке перелома. Пусть плоскость переменных х, у делится линией я (х, у) = 0 на две части Х„Х, и пусть заданы две точки (х„у,)~Х2, (х„у,)(:-Х,. Требуется соединить эти точки непрерывной кусочно-гладкой линией у = у (х) таким образом, чтобы достигался минимум функционала хр ~ Р(х, у, у') сСх, где (~д, 12 — гладкие функции) х, з4а пгоцкссы ши огглничкнных коогдинлтлх ~гл. е Имеем: дД, д)1 ду' ду' 1 6 — 11+ —, (у )' — —, (у')' д!1, д(з т, У' ' ду' ду' откуда получаем известную формулу (см. Г ю н т е р Н. М., «Курс вариационного исчисления», М.
— Л., 1941) ~1+ду'( (У ) ) ~з ду'( д(1 Пример 3 В качестве иллюстрации рассмотрим следующую геометрическую задачу. В и-мерном евклидовом пространстве Х переменной х = (х', ..., х") задана замкнутая область В неравенством я (х) -= О, причем граница б(х) =О (99) области В является гладкой регулярной поверхностью с непрерывно меняющейся кривизной, т. е. функция я (х) дважды непрерывно дифференцируема и вектор вагаб я (х) нигде на поверхности (99) в нуль не обращается. В области В заданы две точки хз, хп Найти в области В кривую С наименьшей длины, соединяющую точки х, и х,.
Мы покажем, что из теоремы 25 вытекает следующий геометрически очевидный результат. Пусть кривая С наименьшей длины состоит из нескольких участков, попеременно расположенных в открытом ядре области В (кроме, быть может, концов участка) и на границе (99).
Тогда участки, лежащие в открытом ядре области В, являются отрезками прямых; участки, лежащие на границе (99), являются геодеаическими на поверхности (99), причем вектор главной нормали кривой С на этих участках направлен во вне области В; наконец, в точках стыка двух соседних участков прямолинейный участок, проходящий в открытом ядре области В, касается поверхности (99). Таким образом, линия С не имеет угловых точек. Для доказательства рассмотрим следующую оптимальную задачу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
