Понтрягин Л.С. - Математическая теория оптимальных процессов (2-е издание) (955113), страница 53
Текст из файла (страница 53)
(12) Действительно, дифференцируя интеграл в правой части соотношения (12) по параметрам и и х и испольауя уравнение (7), мы получаем соотношение 1 1=1 1 1 которое показывает, что функция и (о, х) является решением уравнения (7). Формула (11) доказывается следующим обрааом. Рааобьем интеграл по пространству В, стоящий в правой части равенства (12), на два интеграла соответственно по областям ) у — х ((6 и ( у — х ( = 6. Так как при (у — х!)6 ввиду непрерывности процесса, очевидно, справедливо соотношение р (о, х, т, у) -э О, то 1пп ) р (о, х, т, у) Р (у) йу = 11ш ~ р (щ х, т, у) Р (у) йу.
а х т~х — а)<6 Принимая во внимание соотношение (2) и учитывая, что предел слева не зависит от 6, заключаем, что 11ш) р(о, х, т, у)Р(у) йу=Р(х), а х что и требовалось доказать. Отметим еще одно важное свойство функции р (о, х, т, у), нужное нам в дальнейшем. Пусть требуется решить неоднородное параболическое уравнение а + ~ ( ~ х) а 'ц~+ ~„6 ( 1 х) я~ Р( 1 х) ( ~) 1,1 1 1=1 $391 ТОЧНАЯ ПОСТАНОВКА СТАТИСТИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ 349 при нулевом начальном значении искомой функции. Оказывается, что если р (о, х, т, у) — фундаментальное решение соответствующего однородного уравнения, то искомое решение дается формулой и (о, х, т) = — ~ йг ~ р (о, х, г, у) Р (г, у) ау. (14) а Доказательство получается непосредственным дифферен- цированием. 9 39. Точная постановка статистической задачи В этой главе фазовые координаты управляемой точки мы будем обозначать через г', г', ..., г".
Таким образом, движение точки г в пространстве В описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений г'=~'(г', гг,..., г", и',..., и"), 1=1, 2,..., п, (15) где и', и',..., и" — управляющие параметры. Как и раньше, функции 7е (г, и) мы будем считать непрерывно зависящими от всех переменных и непрерывно диффвренцируемыми по г~, г', ..., г". Предположим, что в пространстве Л случайно движется фазовая точка Ч, причем так, что процесс ее движения в пространстве В есть марковский процесс, удовлетворяющий условиям усиленной непрерывности.
Как мы видели в предыдущем параграфе, вероятностную характеристику этого процесса дает функция р (о, х, т, у), которую мы будем называть плотностью перехода случайной точки ч. Плотность перехода является фундаментальным решением уравнения (7). В дальнейшем мы будем считать, что нроцесс движения случайной точки задан функцией р (о, х, т, у). Относительно коэффициентов уравнения (7) мы здесь сделаем некоторые предположения. Именно, мы будем считать, что: 1) коэффициенты а" (о, х), Ьс(о, х), 1, у = 1, 2, ..., п, определены, непрерывны и ограничены при о) 0 и при любом х(:В; 350 ОДНА СТАТИСТИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА игл. 7 2) все собственные значения матрицы 1 а" (О, х) ~~ при этих аначениях аргументов ограничены сверху и сниау положительными константами.
Пусть вместе с управляемой точкой г в пространстве В движется некоторая ее окрестность Х„например, шар или область, ограниченная произвольной гладкой поверхностью, гладко меняющейся вместе с г. Если аадан закон управления точкой г, т. е. управляющий параметр и задан как кусочно-непрерывная функция и = и (8) времени 8, то система дифференциальных уравнений (15) однозначно определяет непрерывное движение точки г в пространстве Л. Следовательно, если заданы начальные положения управляемой точки г и случайной точки Ч, то однозначно определяется вероятность встречи точки ~) с окрестностью Х, на конечном отрезке времени о ( г ~ т или на бесконечном отрезке времени О = г ( со и т.
п. Эта вероятность является, таким обрааом, функционалом над управлением и(г). Естественно воаникает задача о таком выборе управления и (г) точкой г, при котором этот функционал достигает максимального аначения. Чтобы точно сформулировать задачу, введем в рассмотрение неотрицательную и не превосходящую единицы функцию й (г), определенную при 0 ( г ( ОО. Обозначим, далее, чвреа $„(О, х, т) вероятность того, что случайная точка Ч, находящаяся в момент времени О в положении х, на отрезке времени о ( г ( т встретится с окрестностью Х, управляемой точки г (предполагается, конечно, что начальное положение точки г, равное г (О), дано). ставится следующая задача: выбрать управление и (г) точкой г таким образом, чтобы функционал у=~И) —,' И.(,*, ))й (16) д достигаю максимального а аченил.
Функция Ь (г) определяет постановку оптимальной задачи; если, например, 1, а(г =т, й(г) = 0,8>т, 351 г 40! вычислннив етнкционяля в то у 'еь (о ~ т)~ т. е. функционал (16) есть просто вероятность встречи окрестности Х, с точкой Ч на отрезке времени о ( 1( т. Управление и (с) и соответствующую ему траекторию г (с) системы (15), обеспечивающие экстремум функционалу (16), будем называть оптимальными. Решение задачи, следовательно, сводится к вычислению функционала (16) и последующему применению принципа максимума. Конечно, функционал (16) зависит от размеров и формы окрестности Х, управляемой точки г.
Как мы увидим в следующем параграфе, для его вычисления надо решать краевую задачу для параболического уравнения в частных производных (7). При этом нас будет интересовать не факт существования решения, а эффективная (хотя бы приближенная) формула для решения. Окааывается, что такую формулу можно получить, если окрестность Х, считать м а л о й. Но задача «накрыть» малой управляемой окрестностью случайную точку Ч как раэ и является естественной.
Таким образом, в последующем, начиная с 3 41 настоящей главы, окрестность Х, мы будем считать малой. Для простоты мы будем считать, что Е, есть и-мерный шар радиуса е с центром в точке г. Однако внимательный читатель увидит„что наши рассуждения и сам результат почти не изменятся, если под Х, понимать произвольную область малого «радиуса», ограниченную гладкой поверхностью, гладко меняющейся вместе с г.
й 40. Сведение вычисления функционала в' к решению краевой задачи для уравнения Колмогорова Перед тем как указать подход к вычислени|о функционала (16), сделаем одно общее замечание, относящееся к произвольному марковскому процессу. Выделим в пространстве В фиксированную область Г, ограниченную (и — 1)-мерной гладкой поверхностью Я. Обозначим теперь 352 однА стАтистичвскАя ЗАдАчА [РЛ, 7 через д (с, х, т, у) плотность вероятности того, что случайная точка, находящаяся в момент с в положении х, окажется в момент т в положении у, не заходя при этом на протяжении всего отрезка времени с ( [ ( т в область Г.
Оказывается, что всюду вне области Г функция д (а, х, т, у) удовлетворяет тому же уравнению (7), что и функция р (с, х, т, у), и следующим начальному и граничному условиям: 11ш ~ д(с, х, т, у)[(у=Иш ~ р(с, х, т, у)[(у=1, (17) с" в — г О тя Г д(с, х, т, у)Иу — «О при х — «х (: Ю.
(18) в — г Строгое доказательство этого факта можно найти в специальной литературе по теории вероятностей. Мы приведем здесь лишь наводящие соображения, вполне, однако, достаточные для того, чтобы читатель уяснил себе справедливость сформулированного предложения. Соотношение (17) довольно очевидно. Справедливость соотношения (18) будет достаточно ясной, если процесс движения случайной точки Ч представлять себе как броуновское двих[ение частицы (такая модель заключает в себе основные черты всякого марковского процесса). Если частица [,[ находится на границе мысленно выделенной в сосуде области Г, то вероятность ее захода в область Г за время с ( г ( т равна единице.
Этот факт и выражает соот:- ношение (18). Остается убедиться в том, что функция д (о, х, т, у) всюду вне области Г удовлетворяет уравнению (7). Для этого достаточно вновь внимательно просмотреть вывод уравнения (7), данный в $38. Весь этот вывод базировался на тождестве Маркова (3), которое, очевидно, справедливо и для функции д (с, х, т, у). Кроме тождества Маркова, было также использовано соотношение (9). В нашем случае д(а — Ла, х, с, у) Ыу ~ 1. (19) в-г вычислвнин фтнкционалх х 353 % яо1 Однако из условия усиленной непрерывности (4) нетруд- но вывести соотношение д(о — Ло, х, о, у)Ау=1+о(Ы), (20) в — г которое и дает требуемый результат.
До сих пор область Г мы считали фиксированной. Пусть теперь область Г не фиксирована, а движется с течением времени, т. е. имеется однопараметрическое семейство областей Г,. Обозначим через д (о, х, т, у) плотность вероятности случайной точки (7, находящейся в момент о в положении х, быть в момент т в положении у, не встречаясь на протяжении времени о ( 8( т с движущейся областью Г,. Тогда, очевидно, функция ~ д (о, х, т, у)ггу (21) является решением уравнения (7) и удовлетворяет сле- дующему граничному условию: ~ д(о, х, т, у)агу — «О при х-~х, ~ о,. (22) тр (т,х, т) = О, тр(а, х, т)~з = 1.
(24) Непосредственно из определения следует, что функция ф (о, х, т) представляет собой вероятность того, что 12 Л с. понтрягин и нв Теперь мы можем указать подход к вычислению функционала (16). Пусть движущаяся область Г, представляет собой окрестность управляемой точки з (~). В соответствии со сказанным в $39 мы будем обозначать ее через Х,<г>. Положим ф (о, х, т) = 1 — ~ д (а, х, т, у) Ыу. (23) Так как уравнение (7) линейно, то функция тр (о, х, т) по переменным о и х удовлетворяет уравнению (7).
Далее, из (17) и (22) следует, что начальное значение функции тр (о, х, т) (при о = т) равно нулю, а краевое значение на границе окрестности Х,< ~ равно единице: 354 однА стАтистическАЯ 3АдАчА 1ГЛ. 1 случайная точка (), находящаяся в момент времени о в положении х, на отрезке времени а ( с ~ т будет «накрыта» окрестностью Х, а> управляемой точки г. Таким образом, функция «р (а, х, т), определенная формулой (23), совпадает с функцией $„ которая фигурирует в функционале (16). Следовательно, для вычисления функционала (16) мы должны решить уравнение ф + ~ а" (с, х) о»го1 + ~~) д'(с, х) †, =О (25) ь 1=1 со следующими начальным и граничным условиями: «р(с, х, т) †» О, (26) а « ф (о, х, т) -» 1 при х » х, (- а',. (27) Как мы уже говорили раньше, мы будем решать эту задачу для случая, когда окрестность Е, управляемой точки г представляет собой шар радиуса е. Мы увидим, что в этом случае решение задачи (25), (26), (27) представляется в виде «р(а, х, т)=з" »Ч'(с, х, т)+о(е""г), (28) и вычислим функционал е" »Ч' (а, х, т), представляющий собой главную часть вероятности 1р (с, х, т).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
