Чемоданов. Математические основы теории автоматического регулирования. Том 1 (952248), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Теорема )т(орера. Используя теорему 4 о существовании производной л!обого порядка у аналитической функции, докажем теорему, обратную основной теореме Коши. Теорема 5. Если функция ((г) непрерывна в односвязной обласпш 6 и ингпеграл от этой ц!ункции по любому замкнутому контуру 1, целиком принадлежащему обласпш 6, равен нумо, пю функция ) (г) аналитична в обласпис 6, Дои аз ательство.
Выше (см. 2 26, теорема 3) было показано, л что при выполнении условий теоремы интеграл с (г)=11(ь) !(ь при фиксированном го является аналитической фупкш!сп г, причем Р (г) =:1(г). В силу предыдущей теоремы существу!т и вторая производная функции с (г): Р" (г) =1'(г). Таким образом, функция 1(г) аналитична области 6. И Глава !Х ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ й 28. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ 1. Чисвовые комплексные ряды. Числовым комплексным рядом называется выражение г«, (1) «1 где г„=а,+1܄— комплексные числа, СУмма 5н=г,+...+гм= и г„называется частичной суммой ряда, «=1 Ряд (1) называется сходятцимся, если существует предел последовательности его частичных сумм: Иш 5н=5, и « (2) при этом 5 называется суммой ряда.
Рассмотрим ряды, составленные из вещественных и мнимых частей а„и Ь„комплексных чисел г„: ~а„и ~Ь„. «=.! «=! (3) «1 Тогда справедливы следующие признаки сходимости ряда (4): Доказательство критерия Коши см., например, в кис Ф и х т е игол ь ц Г. ВЬ Основы математического анализа, т. !Ь »Наука», 1968, с. 29. 320 Ряд (1) сходится тогда и только тогда, когда сходятся ряды (3), причем, если г', а„=5Ь ~, Ь„=5„то 5= ~, г„=5,+15з. «=! «=1 « =- ! Приведем без доказательства критерий Коши*' сходимости ряда (1). Для сходимости ряда (1) необходимо и достаточно, чтобы для любого е)0 су»цествовало п!акое целое положительное число А!', вавистицее от е, что для всех и) А! и для любого целого числа т «+м выполнялось неравенство х, г» ( е, а=«+ 1 Ряды (3) являются обычными числовыми рядами и для исследования сходимости этих рядов можно применять все известные из математического анализа признаки сходимости числовых рядов.
Приведем некоторые из признаков сходимости знакоположительных рядов. Пусть имеется знакоположительный ряд ~ а„(а„'- О). (4) 1, П р и з и а к Д а л и м б е р а. Если 1пп — "" =-- «ь то при «1(1 ««- «а«« ряд (4) сходится, при д) 1 — ряд расходится, 2 Пр и знак Коши. Если Вш уса„=-д, то при о(1 ряд (4) сходится, при «)) 1 — ряд расходится, 3. Признак Раабе.
Если Вш п( —" — 1)=р, то при «« ~р «, а«н! р>1 ряд (4) сходится, при р(1 — расходится. Если сходится ряд, составленный из модулей ~г„~, т. е. ~ч ! 1г„1( со, л =- ! (5) то ряд (1) называется абсолютно сходящимся, Исследовать сходимость ряда (5) можно с помощью любого, приведенного выше признака сходимости числовых рядов. Связь между сходимостью ряда и его абсолютной сходимостью устанав. ливает следующая теорема: Теорема 1. Если ряд ('1) сходится абсол«атно, то он сходится.
Доказательство, Из сходпмости ряда (5) согласно крите- рию Коши следует, что для любо~о е)0 и целого положитель- ного т существует такое целое положительное число )у, что к Ь«и ««+ «И сумма ~ ',гл)(е, для всех и) Й. Но ~ гл . А=-к+ ! л=л+! к+«к ( ~ ! г. ( ( е, л=~+ ! поэтому согласно критерию Коши ряд (1) сходится. И 2. Функциональные ряды. Пусть в области 6 определена бесконечная последовательность функций (1„(г)) комплексного переменного.
Функ«(иональн м рядом называется выражение вида (6) Функциональный ряд (6) сходится в области 6, если числовой ряд, получающийся из ряда (6) при любом фиксированном г из области 6, сходится. Введем понятие равномерной сходимости последовательности функций ()„(г)). Последовательность функций ()„(г)) называется равномерно сходящейся к функции 1'(г) в области 6, если для любого е ) 0 найдется такое целое положительное число )1«', зависящее от е, что при и- 5«для всех г из области 6 будет выполняться неравенство )1 (г) — )„(г) ~(е. Равномерно сходящиеся п««с«!едовательности функций ()„(г)) комплексного переменного г обладают свойствами, аналогичными свойстВам равномерно сходящихся последовательностей функций действительного переменного.
Укажем эти свойства: 1. Предел !" (г) равномерно сходящейся в области 6 последовательности непрерывных функций ()„(г)) является непрерывной функцией в этой области. 2. Если последовагпельность непрерывных функций (1„(г)) на кривой ! равномерно сходится к !'(г), то справедливо предельное соотно!ценив 11ш '))„,(г) йг=~ 11ш )„(г) йг =)) (г) йг. Н СО! ' !Л 03 С понятием равномерной сходимости последовательностей функций (Г„(г)) тесяо связано понятие равномерной сходимости ряда.
Функциональный ряд ~' г„(г) называется равномерно сходящимся в области 6, если равномерно сходится в этой области последовательность (Яч) его частичных сумм, Из указанных выше свойств равномерно сходящихся последовательностей следует, что сумма равномерно сходящегося ряда есть функция непрерывная в области 6 и равномерно сходя!цийся ряд можно интегрировать почленно. Для функций комплексного переменного справедлив следующий признак равномерной сходимости функционального ряда. Признак Вейерштр асса.
Если функциональный ряд (6) Х~ (г) мажорируется в области 6 некоторым сходящимся числовым рядом ~ а„с положительными членами а„) О, т. е. всюду в области 6 а=- ! справедливо неравенство 1)„(г) ~(а„, то о~ сходи!ноя равномерно. Доказательство этого признака равномерной сходимости функционального ряда не отличается от доказательства аналогичного признака для функций действительного переменного, 3.
Теорема Вейерштрасса. Сумма ряда, составленного из аналитических функций, не всегда будет функцией аналитической. Следующая теорема показывает, при каких условиях сумма ряда является функцией аналитической. Теорема 2. Пусть ряд~~„(г), составленный из функций г(г), ч=! аналитических в области 6, равномерно сходится в каждой замкнуп!ой области ь1, лежащей в области 6. Тогда -сумма ряда является функцией, аналитической в области 6. Доказательство. В п, 2 было показано, что сумма) (г) = = ~ („(г) равномерно сходшцегося ряда есть функция, непрерыви=! ная в области 6.
Пусть 1 — произвольный замкнутый контур, содержащий внутри себя область ь). По условию теоремь! функции )„(г) являются аналитическими в области О. В силу теоремы Коши имеем '))„(г)дг=О. В п. 2 отмечено также, что равномерно сходящийся ряд можно почленно интегрировать. Выполним почлеиное интегрирование ряда ~', )'п(г) и, учитывая формулу Коши, будем п =-! иметь ))(г)с(г= ~ !з)„(г)дг=О. л=-1 Таким образом, ) (г) — непрерывная функция в области О и интеграл от нее по любому замкнутому контуру равен нулю. Согласно теоремы 5 з 27 функция ) (г) в этом случае является аналитической функцией в области О, ° й 29. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ 1. Теорема Коши — Адамара. Степенной ряд ~к~~ ап (г го) п=в где ап — некоторые комплексные числа, является простейшим примером функционального ряда. Такой ряд может сходиться при одних значениях г и расходиться при других.
Область сходимости степенного ряда вьи!сияет следу!ощая теорема: Теорема 1. Спипенной ряд ~', ап(г — го)п сходится абсолютно и.-= в в каждой точке круга ~ г — г, ~ ()т', сходится равномерно в каждом круге (г — го!==»йт()т' и расходипгся в области ) г — гп())с, где й.= =- (2) )пп "/! ап ! и и» Доказательство. Пусть г,— произвольная точка круга (г — го(()т'. Покажем, что ряд У, ~а„~!г — го!и сходится в точке л=о — и г=г,.
Так как (йп )'Та„~ =- —, то для любого е)О можно л- и указать такое целое положительное число У, зависящее от е, и) Число Л пазывастск ~~!»хнам и!»еделом пгкледопапм,гьносп1и дейсп1аип»елыеих ЧиСЕЛ (ал) Л=- Ищ ип, ССЛП дпп ЛЮ6ОГО Е О МОЖНО уКаэатЬ таКОй ПО- л с л О» мер И (ч), что ап . А+е прп пссх п . йг и, кроме того, сущсствусг послсдова. тельпость (ал ), которве сходнтсв к А прн й-псо. 323 что для всех значений п ) )Ч будет справедливо неравенство у )а„(< +е, Тогда ~Г)а„~~г,— гл("= ~/)а, )(г,— гл)< ' ' + + е е~ г, — г, ~. Выберем е так, чтобы выполнялось неравенство т ~а, Цг,— гл(<у<1 для всех л) Л'.
Переходя к пределу, получаем Д ш р'( а„~ ~ г, — гл ~" ~л д < 1. Из признака Коши следует, что числовой ряд ~ )а„,~ ~г,— гл!л л=О сходится. В силу произвольности выбора точки г, это означает, что степенной ряд (1) сходится абсолютно в круге ~г — гл~<Й. Докажем теперь равномерную сходимость степенного ряда в круге ~г — г,~ —.Й,<Й. В этом круге степенной ряд (1) мажорируется сходящимся числовым рядом '5', ~а„~йл,, т. е.
л=-О / а„( / г — гл ~" ( / а„/ й,", и поэтому в силу критерия Вейсрштрасса ряд (1) сходится равномерно. Исследуем сходимость степенного ряда в области ~г — г„~ ) Л'. — л Выберем точку г, такую, что (г,— гл~))т, Так как 11ш О' 1а„)=- л ла 1 —, то существует последовательность (иО) -+-сэ такая, что л 1 1Вп у ~ аль~=-= —,т, е. для любого е)0 существует такое целое лЛл ! положительное число Л', зависяОцсе от е, что 1 , 'а„„~ ) — — е при и„) Л~.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
