Чемоданов. Математические основы теории автоматического регулирования. Том 1 (952248), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Имеем: Ф' (г) = Р; (г) — с; (г) = )' (г) — ) (г) = — О. аналогичная формуле Ньютона — Лейбница для функции действительного переменного. В самом деле, согласно теореме 3 функция г, (г) = ~ 1'(ь) с(ь является первообразной, а так как две ь первообразные отличаются друг от друга только на постоянную величину, то и ~1(Ь) 11~ Г (г)+с. Полагая в равенстве (11) г = г„найдем с = — г" (г,); следовательно, Если принять в этом равенстве г =г„то получим формулу (10) Для неодносвязной области интегральная теорема Коши в об.
щем случае пе верна. Покажем это на примере, Пусть задана 1 функция 1(г) = -- в области О„определяемой неравенством г 1(1г(2. Зта функция аналитична в указанной области, но интеграл вдоль окружности 1 (рис. 73) не равен нулю. Действительно, имеем ~ и'г ~б (~е>ч йр Получили, что в двухсвязной области О интеграл по замкнутому контуру от аналитической функции У не равен нулю. Интегральная тео- рема Коши в этом случае не выпол- | няется. Распространим интегральную теорему Коши на многосвязную область, Пусть Π— многосвязная область и 1 — спрямляемый контур, целиком ле- | 1 жащий в О, Пусть имеются контуры 1„1,,...,1„лежащие внутри контура 1.
Контуры 1ь принадлежат области О и не пересекаются (рнс. 74). ОбРис. 73 ласть Й, ограниченная снаружи кон- туром 1, а изнутри контурами 1ю целиком принадлежит области О. Совокупность контуров 1, 1„ ..., 1„ назовем составным спрямляемым контуром Г. Зададим на контуре Г направление обхода — обход считается положительным, если обходимая область 12 остается слева. Теорема 5. Пусть функция )(г) аналитична в многосвязной области О, Тогда интеграл по любому составному слрямляемому контуру Г, лежащему в области О, равен нулю. 314 Доказательство.
Соединим контуры ( с („(, с (, и тд. спрямляемыми дугами у„у,, ... так, чтобы эти дуги не имели самопересечений и взаимных пересечений (рис. 74), Тогда область, получаемая из области Й с помощью разрезов вдоль дуг у„ ..., у„, будет одпосвязной, ограниченной контуром (., состоящим из дуг ((, 7(, (ч, .", 7,'„(л Т,„..., (;, (; здесь (, и (;— дуги, на которые распадается контур !, прн разрезе по дугам ун у, и Т.д.; у,' и у, — верхняя и нижняя гра- Р .74 ис. 74 ницы разреза вдоль дуги у, и т. д.
В силу теоремы Коши для односвязной области интеграл от функции 7(г) вдоль контура й равен нулю, поэтому '1 7 (2) дг+ ~ 7 (г) йг+... + ~ 7 (г) йг+ т~ ю,' тд +) 7(г) йг+) 1(г)йг+" +)((г)йг=-о. с а ~м Устремим к нулю ширину всех разрезов.
Тогда ~ 7(г) йг= — ) 7" (г) йг, т)) тл следовательно, ~ 7" (г) йг+... + ~ 7 (г) йг+ ~ 7" (г) йг = О, И й ат Формь'лд коши. 1. Формула Коши. Теорема о среднем. Получим важную в теории функций комплексного переменного формулу Коши. Теорема !. Пусть задана функция 7 (г), аналитическая в многосвязной обласпш 6, и задан составной или прсспшй контур (, ограничивающий некоошрую область 2~6 (рис. 75).
Тогда для любой внутренней точки г, принадлежащей области ьл, справедлива формула Коши ) Доказательство. Удалим из области ьг круг радиуса г с центром в точке г. В полученной области ьг* числитель и знаменатель подыптегральпой фушсции аналитичпы относительно ~, газ причем знаменатель нигде не обрашается в ноль. Следовательно, подынтсгральная функция аналитична в области йе*.
По теореме Коши для многосвязной об- У ласти имеем ' — дь+ 1 ~) ~=0, й — г,) ь — г о где (, — окружность радиуса г, причем черточка означает, что окружность обходится по часовой стрелке. Учитывая свойство (1) интеграла, получим Рис. 75 (4) л')'' Формула Коши устанавливает одно из важнейших свойств аналитической функции. Из формулы следует, что, зная значение аналитической функции 7(г) на контуре 1, можно вычислить ее значение в любой точке области (г, ограниченной этим контуром.
Если, в частности, задать контур 1 в виде окружности радиуса Ь,' с центром в точке г, то с — г = ете(ч и формула (1) примет вид )(.)=-, ~)(.+йе )йр, 1 Г о 316 )(й) % 1' 7" (й)н: (2) ь — 2,) й — г г На окружности (, справедливо равенство с — гс ге", т. е. е(Ь = р.е(ч й2; тогда ! 1' )(г)е(г дг) ~ релее(ч (3) 2л(,) (' — г 2л) геле г Из формул (2) и (3) следует, что Г )те(4 ( 1 Пй) — )(~) „ 2л() ~ — г ~ гл),) й — г Г Оценим по модулю правую часть равенства (4): ! — е(ь =.- — 1пах!)(ь) — ) (г) - — =шах ~) (ь) — )(г) ~.
1 Г )Р— ((г) , 2ле г Так как функция )(г) непрерывна в области 1е, то при г — и0 шах()(Д вЂ” 7(г)(- О. Но левая часть равенства (4) от г не зависит, поэтому нли 2лй,) ( (") Формула (5) называется ~)юрмулой среднего значения и показывает, что значение аналитической функции 7(г) в центре круга равно среднему арифметическому ее значений на окружности. 2. Интегралы, зависящие от параметра.
Пусть функция аь Г(г, ь) является функцией двух комплексных переменных г и Ь, с с причем эта функция определе- го на и однозначна для значений переменного г, принадлежащих в Х области 6, и для значений переменного ь, принадлежащих Рис. 76 кусочно-гладкой кривой ((рис, 76), Взаимное расположение области 6 и кривой ( может быть произвольным.
Рассмотрим интеграл )) (г, ь) йь. (6) Если функция 7" (г, ь) непрерывна по г и кусочно-непрерывна и ограиичЕпа по Ь для любых значений ген6 и Ье(, то этот интеграл существует и определяет некоторую функцию г: Е(г) =-~7(г, Ь) йЬ.
Следующие теоремы, рассматривающие свойства интеграла, зависящего от параметра, приведем без доказательства. Теорема 2. Если функция ~(г, ь) является непрерывной функцией двух колтлексных пе77еменных г и ь для любых значений г е 6 и Ь е (, то интеграл (6) будет непрерывной функцией переменного г в области 6, т. е. справедливо равенство В ~ 7' (г, Ь) йЬ = ~ 1 (г„0 йЬ. (Т) у и) Теорема 3. Пусть )(г, ь) при любом значении ье=( являепюн аналитической функцией г в обласпш 6 и, кроме того, функция )(г, ь) и ее производная по г в. являются непрерывными функ- дг" циями двух комплексных иеременюлх г и ь для любых зничений г ен 6 и ь сн Е Тогда функцьи Г(г) = ') ) (г, ь) йь является аналитической функцией г в области 6, причем производная Е' (г) может быть вычислени с помощью дифференцирования под знаком 317 интеграла, т.
е. Е' () =- Г~ — '-.— !9. Г д<"(г, й) вг (8) )<л) (,) 2п<' (» »г)ь«» (9) где ! — граница обласпи< О, проходимая в положительном н правлении. До к аз а тел ь ство. Проведем доказательство методом математической индукции. Сначала покажем, что <)юрмуг<а (9) справедлива при п=1. Пусть точка генО. Так как функция 1(г) аналитична в области О и непрерывна в области 6, то, пользуясь определением производной и формулой Коши, получим Г'(г) = 1!ш г(а+ем) — Г(г) ! . 1 ! Г ! ~)(г) лт ! Лг 2п<л оЛг ! ь — г — Лг ! 1!<и ~~ И) й1 2п! Л,) (й — г — Лг) (ь — г) Подынтегральная функция является непрерывной ($) функцией переменных Лг и ь, если г~О, а 9~й Переходя к пределу под знаком интеграла, будем иметь ) ' (г) = --.
о! —, дь. 1 Г ((1) 2п<,~ ((,— г)а < Для и= — ! формула (9) доказана. Предположим, что формула (9) справедлива для производной )г-го порядка и покажем, что оиа будет справедлива для произ- *' Свойсгва интегралов, зависящих от параметра, для функций действительных переменных см., например, в кнс Фи хте п толь ц Г. М. Основы математического анализа, т. !1. «Наука», !988, с, 296, 297, 298. 318 Приведенные теоремы могут быть доказаны с помощью сведения интеграла (6) к интегралам, завися<цим от параметра, для функций действительных переменных и использования свойств этих интегралов е).
3. Производные высших порядков. Покажем, что если функция )(г) является аналитической в области О, то она имеет в этой области производные сколь угодно высокого порядка. Теорема 4. Если функция !'(г) аналитична в обласпш 6 и непрерывна в замкнутои обласп<и О, то она обладает в каждой точке обласпш О производными всех порядков, причем и-я производная задается формулой водной порядка я+ 1.
Имеем ~!вц) (г) = Вш— ~'~" (г+ Лг) — Р ю (Лг) л*= о И . 1 НГ 1 1 = —. 1!ш — ! — — — 1((ь) с(ь= 2л! Лг о Лг ~Д вЂ” г — Лг)оэо (т г)ьн) у = — —, 11 ш — гт !( И ° 1 ( !(! — 2) ~ 1 — 1(й — г) ''1 — (в+ 1) (Ь вЂ” г) Лг+о (Лг)1! ')(а д~. -2л)„оЛ..) ) (1 — г — Лг)""' (Ь вЂ” г) о+' Подынтегральная функция является непрерывной функцией переменных Лг и ь. Поэтому в силу теоремы 2 можем перейти к пределу под знаком интеграла: (! '" (г) = —. ~ — о(ь. ю! (о+1)! Е 1К) 2л! г (й — г)" м Таким образом, предположив справедливость формуль! (9) для п=й, мы доказали ее справедливость для а=у+1.
Выше была доказана формула (9) для случая и=-1. Отсюда следует, что формула (9) будет справедлива для любого и. И Из формулы (9) получим неравенства Коши. Введем обозначения: )И=п!ах'!1(г)',; )т — расстояние от точки г до границы области 6 и з — длина границы 1 области 6.
Оценивая по модулю обе части равенства (9), получим (10) Выражение (10) является неравенством Коши, Если функция ) (г) аналитична в круге радиуса (т, то, прини- мая в качестве области С круг с радиусом )т, получим для точки г, лежащей в центре круга, )~(„! ( ) ! п)М2л)1 п)М 2лЯл~1 = Пл. Неравенство (11) представляет собой неравенство Коши для круговой области. 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
