Чемоданов. Математические основы теории автоматического регулирования. Том 1 (952248), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Пусть ( (г) =) (г (соз гр+1 з(п йз)) =- и (/', тр) +10 (г, ср). Для существования производной в точке го= го (соз тра+/з|п тра) необходимо и достаточно, чтобьк 1) функции и(г, гр) и о(г, тр) были дифференцируемы по г и 2) выполнялись в точке г„условия Коши — Римана в следующем виде: ди 1 до до 1ди д) г дгр' д) Р д~р Пример 1. Определить аналитичность функции ((г) — -ге=хе — -р + 12хц. Действвтечьнзя и мнимая части этой фупкшш: и (х, р)=хз — рз, о (х, р) = = 2хр. Функции и и е диффсрснци)зуемы по х и р; нк частные производные: ди до дн , до дх ' ду ' ду ' дх = — 2х.. =2х, = — 2р, — — =2д. Таким образом, условия Коши — Римана выполняются для всех точек комплексной плоскости г.
Следовательно, функция ((г)=гз аналитична всюду на комплексной плоскости Пример 2. Определить аналитичность функции 1(г)= ,'г ~ =к Для этой функции и (о чз)=г, о (о ф) =О. Вычистим частные производные: ди до =-1, - =О, Условия Коши — Римана (7) нс выполняются, следовательно, дг ' (хр функция ((г)=-' г ' цс является аналитической.
3. Гармонические функции. Многие задачи, встречающиеся в технике, приводят к уравнению в частных производных дзи дги ., +,=.-О, или Ли=О. да з д уз Это уравнение называется уравнением Лапласа; Л вЂ” опера еор Лапласа. Введем определение. Гармонической функцией и (х, у) двух переменных к и у называется функция, имеющая непрерывные *' Доказательство см., например: Мар кушев ич А. И, Краткий курс теории аналитических функций. «Иауказ, 1966, с.
39, частные производные до второго порядка .включительно и удовлетворяющая уравнению Лапласа. Примером гармонической функции является функция и(х, у)=)п!г,'= -(п(х'+у'). Действительно, Ри уе — хз д'и хе — у' Ри Ри дха (х2+у~)2 ' дги (л2+у2)г ° дх' + дуе о (г) ' — о (ги) = ~ — - с(х+ - — йу. ди ди ду дх (8) Под знаком интеграла стоит полный дифференциал. Действительно, из математического анализа известно, что для того, чтобы подынтегральное выражение представляло собой полный диффеРи д'и ренциал, требуется выполнение равенства— Это равенство выполняется, так как и(х, у), по предположению, — гармоническая функция. В равенстве (8) о(г„) — постоян- Функция о (х, у) называется сопряженной гармонической функцией по отношению к гармонической функции и (х, у), если функция о (х, у) — гармоническая функция и вместе с и (х, у) она удовлетворяет уравнениям Коши — Римана.
Теорема 2. Вещественная и мнимая части и (х, у), о(х, у) аналитической фунт)ии ((г) являются гармоническими сопряженными функция и от х и у, До к а з а тел ь ство, При доказательстве теоремы будем предполагать, что вещественная и мнимая части и (х, у) и о(х, у) аналитической функции обладают непрерывными частными производными второго порядка по х и у. Существование непрерывных частных производных второго порядка у функций и (х, у) и о (х, у) будет доказано позднее.
Покажем, что функции и(х, у) и о(х, у) удовлетворяют уравнению Лапласа, предполагая, что они обладают непрерывными частными производными второго порядка. Напишем уравнения ди Ж ди сЪ Коши — Римана - =; =- — -. Дифференцируем первое уравдх ду' ду дх Ри Ри пение по х, а второе — поу; послесложения получим з+ -„=О.
дл- "ду'-' Ри Ри Аналогично получим равенство д + -., = — О. И дхх ду Зная гармоническую функцию и(х, у), можно найти сопряженную к ней гармоническую функцию о(х, у) с точностью до постоянного множителя, Действительно, рассмотрим криволиней- Г ди ди иый интеграл ~ - с(х+ -йу= — о(г) — о(ги), где г и г,— некоторые ,) дх ду и ди ди точки па плоскости х, у, Заменим -- и †, учитывая условия дх ду Коши — Римана, получим: ная величина, зависящая от положения точки г,; таким образом, о (г) = ~ — с(х+ — с(у+с.
дн дн ду дх (9) и Формула (9) позволяет по известной действительной части и (х, у) аналитической функции ) (г) определить с точностью до постоянного множителя ее мнимую часть о(х, у). Аналогично может быть получена формула 2 и(г) = ~ --с1х — -с(у+с; (10) с помощью которой можно определить по известной мнимой части о(х, у) аналитической функции ее действительную часть и (х, у). Таким образом, формулы (9) и (10) позволяют определить аналитическую функцию ) (г) по одной из ее компонент. Пример 3. Задана функция и(х, у)=хз — р'. Найти аналитическую функ. цию )(х), вещественная часть которой н(х, у) =хз — уз. Покажем, что и(х, у) — гармоническая функция. Действительно, имеем дти Ри , -(- —, =2 — 2=0, т. е.
заданная функция является гармонической. Вес. дхз дуз пользовавшись формулой (9), определим мнимую часть аналитической функ. ции г(х): т а дн дн о (х, у) = ~ — - с(х+ — ду= ~ 2удх+2хду=2хр+с. ду дх 1 к Искомая аналитическая функции Г'(а) имеет вид Г (х) =х' — из+/ (2хй'+с)= г +(с. 4. Геометрический смысл аргумента и модуля производной. Положим, что функция ) (г) аналитична в области б, причем )'(ге)чьО.
Пусть образом кривой 1,, на плоскости г будет кривая 1, на плоскости гс (рис. 66). Пусть точки М и М, на плоскости г соответствуют значениям г=-г, и г=г,+Лг, а точки А( и А(, на плоскости в соответствуют значениям в=сна и в = =- сие+Лиз; тогда значения углов будут: сс=агдЛг, р=-агйЛси. Следовательно, Лщ агд, —, =- агд Лв — агиЛг = р — а. Если положить Лг — О, то точка М, будет стремиться к точке М, а точка )чт — к точке У. Секущие ММ, и У)ч', в пределе занимают положения касательных и Ью 1(зп агд =агд~'(г,) =-чр,— ~рь зх о Из выражения (11), следует, что аргумент производной функции (' (г) в точке ге представляет собой угол поворота касателем ной к кривой 1„в точке гь при отображении этой кривой на плоскость ~о с помощью функции ) (г).
В этом состоит геометрический смысл аргумента производной )' (г). Если рассмотреть другую кривую 1„, проходящую через точку М, то можно записать равенство агд)'(го) =фе — грм или, принимая во внимание (11) т2 т1 чп гг1 Таким образом, если взять на плоскости г две кривые 1,, и и обозначить их образы на плоскости п~ соответственно 1„, и 1 „ то при отображении с помощью аналитической функции 1"(г) углы между кривыми сохраняются при условии, что )'(г,)Ф О, Рис. 66 Выясним теперь геометрический смысл модуля производной )' (г).
рассмотрим модуль отношения --; имеем ~ — -~ = —, =- Аг ' При Лг — ~-О получим: В ш ) — ~ = ~ 11 ш - . ~ = ) ~' (г~) ~. Из равенства (13) видно, что модуль производной характеризует растяжение (модуль производной равен козффиииентд растюкения) бесконечно-малых векторов, выходящих из точки г, при отображении с помощью функции п~=((г), Это растяжение не зависит от направления бесконечно-малого вектора, т, е.
растяжение будет одинаково по всем направлениям, Из геометрических свойств аргумента и модуля аналитической функции следует, что отображение с помощью аналитической функции в окрестности одной точки будет подобным, или конформным (сохраняющим форму). 5 25. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 1. Линейная и дробно-линейная функции. Линейной функцией комплексного переменного г называется функция вида 1 (г) = аг+ Ь, (1) где а и Ь вЂ” комплексные числа. Производная линейной функции 1"' (г) =а, Прн отображении с помощью этой функции в каждой точке г бесконечно-малый вектор растягивается в ~ а~ раз и поворачивается на угол а=агни. Рассмотрим более подробно отображение, совершаемое линейной функцией. Пусть имеем функцию (2) С помощью этой функции осуществляется преобразование подобия с коэффициентом Еи|, т.
е. при отображении на плоскость ш ага г не изменяется, а длина вектора возрастает в ~а) раз, Пусть теперь ) (г) =- г (соз а+ 1 з(п а) (3) Эта функция осуществляет поворот вектора г на угол а, остав- ляя модуль , 'г ~ неизменным. Функция 1 (г) = аг = ! а! (соз а+1 21п а) г, где а = ага а, осуществляет последовательно поворот вектора 2 на угол а и растяжение этого вектора в , 'а, 'раз, т, е, производит как преобразование (2), так и преобразование (3).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
