Чемоданов. Математические основы теории автоматического регулирования. Том 1 (952248), страница 49
Текст из файла (страница 49)
— =с'и — г)(е). а'г гЫ (35) (36) Система уравнений (34) имеет единственное состояние равновесии (х=й, у=О), следовательно, и система (36) имеет единственное состояние равновесия (и=О, в=О). Выполним анализ устойчивости зтого состояния равновесия. Приведем систему (36) к канонической форме, для чего сделаем замену переменных: и= Тл, (37) где 1 1 Т (38) Обратной к матрице Т будет матрица ΠΠ— Лг 1. Л,Л, — (Л,+Л,) 14 (39) В выражениях (38) и (39) Л = — — + 2 и Ле= — 2— ат Уа,' — 4ае ат ' У~а", — 4ае 2 корни характеристического уравнения бе1 (А — ЛЕ) О. Кроме зтих корней характеристическое уравнение имеет корень Лз=О.
Выполнив замену переменных (37), будем иметь г(е Ш вЂ” =б(ай[лт, Л,О)я+Т 'Ь)(е), — =с Тл — г/(е). а1 (40) 277 Л, (Л,— Л,) 1 Лг — Ле Лг 7 ~ (Лт Лт) 1 Л,— Л,з Лх — Ле Часть третья ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО Глава УП ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО й 22. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ 1. Комплексные числа; их геометрическая интерпретация. Комплексным числом называется выражение вида г=а+)Ь, (1) где а = Ке г — действительная часть комплексного числа; = 1в г — мнимая часть. Под символом ! понимается У вЂ” 1, Из определения следует, что !'=- — 1, /в=- — 1, )'=1 и вообгце .4л ! 1аы1 ) !вы а 1 )мвз р О 1 2 ) Множество действительных чисел является подмножеством множества комплексных чисел, получаемым при Ь =-О.
Полагают, что г=О, если а=О и Ь=О. Два комплексных числа г,=а,+/Ь, и г,=а,4-]Ьв равны между собой, если а,=а„Ьг =па, т. е. если равны соответственно их действительные и мнимые части. Комплексное число 2 называется сопряженным к числу г —.. =. а+!Ь, если г=а — 1Ь, т. е. г отличается от г только знаком мнимой части. Между множеством комплексных чисел и множеством точек плоскости — плоскости Гаусса можно установить взаимно однозначное соответствие.
Для этого по оси абсцисс. откладывается действительная часть комплексного числа, а по оси ордипат— мнимая. Тогда каждому комплексному числу будет соответствовать точка на плоскости и каждой точке па плоскости — комплексное число. Комплексные числа можно изображать и в виде векторов на плоскости. Действительпыс числа располагаются па деиствительной оси Ох, на мнимой оси Ор располагаютгя мнимые числа (рис.
56). 2. Модуль и аргумент комплексного числа. Положение точки М на плоскости можно определить в полярной системе координат углом наклона вектора ОА4 и его длиной. Поставим в соответствие тсМке М комплексное число г (рис. 57). Расстояние от начала координат до точки М называется модулем комплексного числа г; тон г= ~ г',=г. Рис. 57 Рис. 56 Аргументом комплексного числа г называется угол, образованный радиусом-вектором точки М с положительным направлением действительной оси, Ага г=~р.
Если г=а+/Ь, то 1г~, )чаи+ — Ьх,. (2) Агпг=<р+2йп=агс(д — +Ип (я=О, .+-1, -+. 2, ...). (3) Модуль комплексного числа есть положительное число, отличное от нуля, если г чь О. Аргумент комплексного числа, отличного от нуля, — функция неоднозначная. Главное значение аргумента заключено в пределах 0(агдг(2п. Если г=О, то ~г(=0, а значение агпг — неопределенно. Комплексное число можно записать в тригонометрической форме.
Так как а=с соз~р, Ь=с з1п <р, то г=с(сов ~р+7'з1п <р). (4) Отметим, что /г/=/г~ и агпг= — агпг. 3. Сложение, вычитание, умножение и деление. Пусть г, = = а,+)Ь, и г,=а,+/Ь,— комплексные числа. Определим операции сложения и вычитания следующим образом: гг +' ги — — (аг ~ ас) +! (Ьг + ЬД, (5) т.
е. при сложении (вычитании) комплексных чисел складываются (вычитаются) отдельно их действительные и мнимые части. Геометрически сложение и вычитание комплексных чисел сводится к сложению и вычитанию соответствующих векторов (рис. 58). Умножение комплексных чисел определим по правилу умножения многочленов: если г,=а,+/Ьм г,=пи+(Ь„то гтги = (аг+(Ь|) (пи+)Ьи) = (а,аи — Ь1Ь,) + / (атЬ, + а,Ь1). (6) Сложение и умножение комплексных чисел подчиняются обычным алгебраическим законам: 1. Сложение н умножение комплексных чисел обладают свойством коммутативности, т.
е. гт+ гь ге+ гт~ гтгг = ггго 2. Сложение н умножение комплексных чисел подчиняются ассоциативному закону, т, е. (гт+ гг) + гь г1+ (ге+ гь) (г,г,) гь = г, (г,гь). 3, Сложение и умножение связаны дистрибутивным законом, т. е. (г1+ге) гь г1гь+гггь. Введем операцию деления комплексных чисел. Част- Х ным от деления комплексного числа г,=а,+)Ь, на ком- рис. Ьв плексное число г,=а,+1Ь, называется число гь=а,+/Ь, такое, что гьг,=г,. Покажем, что если г,~ О, то деление всегда определено. Запишем соотношение гг=(а+/Ь) (а — !Ь) =а'+Ь'~О.
Если гФО, то гг=а'+Ь')О. Определим частное от деления г,=и,+1Ь, иа г,=а,+!Ь,. Имеем +.н~ влазь-Гм ~'.~ч~ А- Ф гв а,+1Ь, (а,+)Ь)(а,— 1ьь) а$+Ь) а(+Ь( Рассмотрим умножение и деление комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме. Пусть г,=г,(созе~,+)з1пфД, г,=г,(соз~Р,+!з1псРь), тогда произведение комплексных чисел гт и г„заданных в тригонометрической форме, будет г,г, = г,г, 1(соз ~р, соз ср, — з1п ср, з1 и гр,) + + 1 (з1 и ср, соз ср, + соз ср, з1п <р,)) = =ге,(соз(ср,+<р,)+)з1п(~р,+<рт)~.
(8) Из выражения (8) следует, что модуль произведения комплексныг чисел равен произведенгао модулей сомножителей, а аргумент произведения равен сумме аргументов сомножителей, т, е, ) г,г,1=(г,)1г, ), агй (гггг) = агйг,+ агй гм (й) 281 Рассмотрим деление комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме зт г, (совф,+У яп ф,) Г,(совфт+У в!п фз)(совчч — У'вн! ф,) зз гз (ын ггв+У ч!п ггз) гз (сов фи+ У чгп ггз) (ссн фч У в'п фз) = — 1(соз фз соз фа+ $1п фт $1п фв) + У ($1п фг соз 1Рв — соз фт $!п фв)) = гв [сов (ф1 — грв) + У $1п (фт — фв)1, (10) Из выражения (1О) следует, что модуль частного комплексных чисел равен отношеншо модулей делимого и делипгеля, а аргумент частного ровен разности иргументов делимого и делителя, т.
е. — агн — = агя г, — агп г,. зт ! ! ат ! зв ( гз (' гз 4. Возведение в степень и извлечение корня. Возведение комплексного числа г в целую положительную степень п можно производить с помощью формулы бинома Ньютона гн — (а + Уб)л (12) Если распространить формулу (8) на случай и одинаковых сомножителей г =- г (сов гр+ у $ ш гр), то г" =- г" (соз пгр + У в!и пф). (13) Следователыго, чтобы возвести комплексное число г в целую положительную степень, нужно возвести в эту степень его модуль, а аргумент умножить на показатель степени.
Пример 1. Выразить косинус и синус кратного угла пф через косинус и синус угла ф. Согласно формулс (13), имссм (сов ф.+У' яп ф)" =сов лф-1-1 яп лф. Отсюда, использун формулу бинома Ньютона, получим сов лгр= сов" гр — С„в сова 'ф япв ф+С„'сова ' ф в!п' гр —..., яп лф=-С,',сова 'ф яп ф — Сз сова в фа!па ф+...
(14) Рассмотрим операцию извлечения корня из комплексного числа. Положим ну=, г, если иу" =г, Возникает вопрос, воз- можно ли в области комплексных чисел извлечение корня и-й степени и сколько различных значений корня при этом по- лучается? Огвет на этот вопрос дает следующая теорема: Теорема 1. Из всякого комплексного числа г ~0 можно извлечь корень и-й с!лепечи, пргучем получается всего и различных значенгуй, Доказательство. Запишем пу и г в тригонометрической форме: иу = р (соз т)у+ у $(п ф), г = г (соз гр+ у вш гр) Тогда согласно формуле (13) р" (соз п)р+ у вш пф) =- г (соз гр + 1' $1П гр).
Два комплексных числа, записанных в тригоаюметрической форме, равны тогда и только тогда, когда равны нх модули, а аргументы отличаются иа число, кратное 2и, т. е. р"=-г, пф=я!+2йи (А=О, вас 1, !-2, ...). (15) !г+Ии Огсюда следует, что р==~/г, ф=~ ~, т. е. ~",-~со,.Ч'+" +;з)пж+~ ) Остается выяснить, сколько различных значений будет иметь корень и-й степени. Если давать индексу й значения Рис. 59 Рис. 60 О, 1, ..., п — 1, то получим п различных значений корня, так как аргументы этих значений будут.
отличаться не па число, кратное 2и, Покажем, что различных значений будет не более, чем п. Пусть !а=.-т)п. Разделив т па и, получим т=дп+р, где д — частное, а остаток р удовлетворяет неравенству О ==' р ( и — 1, тогда созч+ " =-созч+ (ч ~ ~)=сов!~— Р— Р+2па)1=-соз(ч+ ""). и и и и Аналогично имеем: 3! и Ч!+ 2ти . ар+ 2ир ='= 8!и п и Следовательно, ю„=-ае, т. е.
значение корня для /г:= т, где т~ и, совпадает со значепием корня для й=р, причем О р =.и — 1. И Дадим геометрическую интерпретацию полученному результату. Обозначим п значений корпя через ае„аа!„..., аас ь Все значения корня име!от одинаковый модуль, а их аргументы отли- чаютсЯ последовательно на —, пРичем агК гое = --. Следова2п 'р и и' тельно, если изображать различные и значений корня векторами на комплексной плоскости, имеющими начало в начале координат, то концы векторов будут находиться в вершинах правильного п-угольника, имеющего центр в начале координат, радиус описанной окружности, равный у' г, причем вектор, проведенный в одну из его вершин, расположен под углом ~ к действительной оси 1рис. 59). Пример 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
