Чемоданов. Математические основы теории автоматического регулирования. Том 1 (952248), страница 46
Текст из файла (страница 46)
2. Теорема Ляпунова об устойчивости. Условия устойчивости тривиального решения системы (1) определяются следующей теоремой: Теорема 1. Если для системы уравнений (1) существует положительно определенная функция У (х), производная которои в силу системы (1) знакоотриц тельна, то тривиальное решение х (1) = О системы (1) устойчиво по Ляпунову. До к а з а т е л ь с т в о. При доказательстве теоремы будем исходить из определения устойчивости тривиального решения. Возьмем произвольное число в )О и рассмотрим множество значений х, удовлетворяющих соотношению 1х ~ з. Обозначим (8) !и! У(х) — точная пнжпяя грань фуннцнн У(х) по всем х, удовле- И»И=« творяющнм условию )х1= — в.
Понятие о точной нижней грани см., например: Ф н х т е н г о л ь ц Г. М. Основы математнчесного аналнва, т. ! «Наука», !968, с. 25. Ип1 У (х) = а ) 0 *!. (6) И»И=« Так как У (О) = О, то нз непрерывности функции у' (х) следует, что можно указать такую 6-окрестность начала координат в п-мерном пространстве хь ..., х„, что У(х)(а, если !1х!~ ( 6. (7) Е'ассмотрнм некоторое решение й (1) системы (1), удовлетворяюИцее начальному условию !/$(1е)!!(6. Функция У(й(1)) будет невозрастающей функцией 1 вдоль этого решения, так как проау изводная — в силу системы (1) неположительна. Следовательно, «иг для любых 1 1е выполняется неравенство г (5(1))~ г (В(1»))ч а.
Покажем, что для любых 1) 1« справедливо неравенство ~ $ (1) ( ~ е. (0) Действительно, пусть для некоторого момента времени 1, ) 1, выполняется равенство Ц (1,) ~ = в; тогда У(й(1,)) ) Ип1 у'(х) =и, (10) И» И=в что противоречит неравенству (8). ° Отметим, что нз доказательства теоремы следует способ определения по заданному в 0 такого числа 6)0, что ИИЦ(1)))~в, если при 1= 1, справедливо неравенство Д(ге))((6. Для этого по заданному числу е)0 определяют а= !п1 У(х) и затем 1!»И=в выбирают 6) 0 так, чтобы У (й (Ие)) < а для всех $ (1,), удовлетворяющих условию )Ив (1,) (((6.
3. Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости. Условия асимптотической устойчивости тривиального решения устанавливает вторая теорема Ляпунова. Теорема 2. Пусть для системы дифференциальных уравнений (1) существует положительно определенная функция У(х), производная которой и силу системы (1) отрицательно определенна. Тогда тривиальное решение х (1)»ыО системы (1) асимптотически устойчиво по Ляпунову.
Доказательство. Асимптотическая устойчивость тривиального решения означает, что: 1) тривиальное решение х (1) = 0 устойчиво; 2) если в начальный момент времени 1, некоторое решение $ (1) удовлетворяет неравенству )Ий(ге) ИИ(Н, то Игп 16(1)!!=О. Таким С +ь» 1!ш $' (6 (!)) = а ) О. (1 1) Докажем, что сс = О. Доказательство проведем методом от противного, Пусть а>0, тогда !9(!) )!)р >О для всех (- ге, Действительно, если бы существовала последовательность значений (!ь) -+-+со такая, что ~)$(тд) (-ьО при й — ьсо, то ьс(9(та)) — ьО при А-ьсо. Это противооечит утверждению, что сс)0. В силу отрист!с цательной определенности производной — „из условия (ф (!) (~~ » р ) 0 следует, что = — у~О, (12) где у ) 0 в некоторое действительное число; тогда )7 (6 (!)) — )7 (6 (!.)) = ! — 2! — с(! == — у (! — (,). г л (й(т!) Из неравенства (13) получим 1 (6(с)) ~ 1 (9((е)) У (с (е). (13) (14) При достаточно большом ! будет справедливо неравенство )т(й(!)) (О, что противоречит условию положительной определенности функции )с (х).
Следовательно, ! ! ш !' (6 (!)) = О. З со (15) *с Смл Ф их те игала н Г. М, Основы математического анализа, т. !. «Наукав, !968, с. 97, 262 образом, для доказательства асимптотической устойчивости тривиального решения системы (1) требуется показать устойчивость этого решения и, кроме того, нужно показать, что 1пп 16(!) ~=0 З +со для всякого решения 9(!), удовлетворяющего при 1=с„неравенству Д(!е))$<Н. Устойчивость тривиального решения х (!) = 0 следует из доказанной выше теоремы. Рассмотрим произвольное нетривиальное решение й (!) системы (1),.удовлетворяющее при (=-!е неравенству !6(7е)~)(Н, и покажем, что 11ш (~ 6 (!) (~ = О, Для этого изучим поведение функ- З +со ции )т(х) вдоль этого решения, Так как производная функции сс т' !с (х) в силу системы (1 ) — ( О, то функция )с ($ (О) монотонно убывает вдоль решения $ (() при возрастании 1, Эта функция ограничена снизу, так как по условию теоремы )У (х) .
О. Всякая монотонно убывающая, ограниченная снизу функция имеет предел * !. Следовательно, существует предел Докажем, что 11ш ~ф(1)1=0, Пусть существует последоваг +«О тельность (1л) -«-+со такая, что В пг )! ф (1л) [ = б ) О, Тогда 11ш 'г'(5(1„)) Ф О, что противоречит равенству (15), Следов вательно, 1$(1)1-«.0 при 1 — «-+со, что и доказывает теорему. ° 4. Теорема Ляпунова о неустойчивости. Докажем теорему о неустойчивости тоивиального оешения системы (1). Теорема 3. Если для системы уравнений (1) сугцествует непре- рывная функция 1>(х), удовлепгворя>ощая условию 1>(О) =О, пр<>из- водная которой в силу сиспгемы (1) знакоопределенная, причем в любой окрестности начала координат имеются точки, в кото- рых знак функции 1> (х) совпадает со знаком ее производной, то тривиальное решение системы неустойчиво в смысле Ляггунова. Доказательство.
Пусть множество точек х, удовлетво- ряющих неравенству [х [( Н, является областью знакоопреде- Ы«> ленности производной — функции 1> (х) в силу системы (1), ггг Покажем, что как бы ни было мало число б)0, в этом случае всегда имеется решение й(1) системы (1), обладающее следующим свойством: найдется такой момент времени Во пои котором будег справедливо неравенство Ц(г«) ( в, несмотря на то, что в началь- ный момент времени 1==1„выполнялось неравенство [~(1„)1(б. Это и будет означать неустойчивость тривиального решения.
ггг/ Выберем е = Н. Для определенности положим ) О. Выберем вг начальную точку з(1«>) так, чтобы 1> 16(1>«)) )О. По условию тео- ремы такой выбор я (1,) всегда возможен. Рассмотрим теперь решение й (1), удовлетворяющее выбранному начальному условию. гЛ> Так как производная — )0 вдоль решения й(1), то функция ггг Г(й(1)) возрастает вдоль этого решения, Следовательно, 1> ($(1)) =- 1> (з(1«>)) при 1)1м (16) Из неравенства (16) получим, что решение й(1) не приближается к началу координат, т. е.
1з(1)17з а)0. (17) (Лl Так как — — определенно положительная функция, то в обвг ласти сг ( 1х [ ( Н производная удовлетворяет неравенству гп (ь (01~ (1 ) О. ги Покажем, что найдется такой момент времени 1„ для катаного '1й(1«)1гаН. Действительно, пУсть длЯ всех значений 1еи [1„оэ) справедливо неравеистно 15(1)1(Н. Но Р(~(1)) =-1(~(1о))+ ~ -"Вг"" г(1=-- ) (~(1о))+[) (1-1в). (16) г, Из форму,пы (18) следует, что функция У (Б (1)) неограниченно возрастает при г — ~ос, Получили противоречие, так как из неравенства ~ Б (1) !! ( Н следует ограниченность 1~ (й (1)) для любых г. ° $20.
ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ ПО УРАВНЕНИЯМ ПЕРВОГО ПРИБЛИЖЕНИЯ 1. Уравнения первого приближения. Пусть поведение системы автоматического регулирования описывается системой дифференциальных уравнений "д", — — У(х). (1) ~;(хм ..., х„)= ~ ацх,+~р~(хь ..., х„) (1=-1, 2, ..., а), (2) !=1 где а; =- — ~, а функции ~р~ (х„..., х„) содержат члены раздй Ц .
дхт х=е' ложения порядка малости выше первого относительно переменных х„..., х„и поэтому !ип ~'( ' "'' "! =О (8) !! !! ~ 1х! С учетом равенств (2) систему (1) можно переписать в виде — = Ах+ер(х), (4) где А=(аи1 — числовая матрица, а гр(х) влетворяющий условию 1! ш 1 р (~)1 = О, 1 !! о 1х1 Система линейных дифференциальных ными коэффициентами — вектор-столбец, удо- уравнений с постоян- дх — =Ах Ж (б) называется системой первого приближения для системы уравнений (4), а значит, и для системы (1).
Следует отметить, что представление функции ~„(х, ..., х„) в виде (2) может быть получено, вообще говоря, не только с по- Пусть, кроме того, у(0) = О, т. е. начало координат х = О является состоянием равновесия. Как было показано выше, исследование устойчивости любого состояния равновесия можно свести к этому случаю с помощью соответствующей замены переменных. Будем полагать, что функции ~,(х„..., х„)(1=1, 2, ..., и) имеют непрерывные частные производные в некоторой области !! х )!( Н.
Разложим функции ~, (х„..., х,), являющиеся компонентами вектор-функции у'(х), в ряд Тейлора в окрестности начала координат: Согласно теореме 7 $ 6 матрицу Т можно выбрать таким образом, чтобы матрица А привелась к почти диагональному виду, т. е, Т-'АТ=Йад[~„..., Х,1+С, где ИС~И(е. Обозначим ф (у) = Т-тор(ту); (8) тогда систему уравнений (7) можно переписать в виде - у = (сИ(ай(Хы ..., ) „1+С)у+яр(у), (9) Покажем, что нелинейная часть тР(у) удовлетворяет условию (5), т, е. 1(ш И р (у) И = О. (10) ау~ о Иу:И И р(у)И Ит'Игр(ту)ИИТИИИуИ И р(ту)И И ИуЙтуИ ИтуИ гласно равенству (5) И~Р( У) — 1-0 при ИуИ-ьО, поэтому равен- И р(ту)И 1туИ ство (10) справедливо.
Для доказательства устойчивости тривиального решения по- ух у*=В ь""у.1*' уа строим функцию 1'(у) =уе .у, где у = Таким образом, т' (у) = У, И у, Ив — положительно определенная [=! функция. "' Пол матрнцей Ае понимается матрнца, полученная нз матрацы А путем ее транспоннровання н замены всех элементов на сопряженные. Если все элементы матрицы А — действительные, то А Ат (см. 4 7, и. В). мощью разложения в ряд Тейлора. Существенно при этом, чтобы нелинейный член тр, (х„..., х„) удовлетворял условию (3). 2.
Теоремы Ляпунова об устойчивости по первому приближению. Покажем, что в ряде случаев об устойчивости тривиального решения системы (1) можно судить по уравнениям первого приближения. Теорема 1. Тривиальное решение системы (4) асимптотически устойчиво по Ляпунову, если все корни характеристического уравнения матрицы А системы (4) имеют отрицательные вещественные части, т.
е. Ке Ич(0 (1=1, 2, ..., и). л(оказательство. Будем исследовать устойчивость тривиального решения системы уравнений (4). Сделаем линейное преобразование х= Ту, причем матрица Т этого преобразования полагается невырожденной (с(е1 ТчьО). Тогда система (4) примет вид Т „У = АТу+тр(Ту), или „У = Т-'АТу+ Т-'тр (Ту).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
