Чемоданов. Математические основы теории автоматического регулирования. Том 1 (952248), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Необходимость условий теоремы доказана, Докажем достаточность условий теоремы. Предположим, что условия (18) выполнены, т. е, главные диагональные миноры положительны: Ь»)0 (гг=-1, 2, ..., и), Докажем, что полином Р (),) является полиномом Гурвнца, т. е. Р ()о) ~ Н„. Доказательство, как и выше, проведем методом математической индукции. Рассмотрим сначала случай и=1, Пусть Р(Л) ао).+ао причем а, ) О. По сделанному предположению, Л» = а, ) О. Тогда корень уравнения Р(Х) =0 Х,= — — ь(0, Следовательно, о,о полипом Р(Х) ен Н,, Предположим теперь, что выполнение условий (18) для всех полиномов.Р(Х) степени и достаточно для того, чтобы эти поли- номы были полиномами Гурвица. Покажем, что эти условия достаточны для того, чтобы полипом г,г ()о) степени и+1 был также пояиномом Гурвица.
Рассмотрим полинам г~(Х) степени и + 1; Я(Х) = А»Х»а+А»Х» ! +А ы 256 Положим, что условия (18) для полинома (~(Л) выполнены, т. е. все главные диагональные миноры Рды (А=О, 1, ..., л) матрицы Гурвица для полинома Я(Л) удовлетворяют условию Ра+т)0. Представим Я (Л) в виде 9 (Л) = — [(Л+ 27) Р (Л)+ЛР* (Л)1, причем 27 ) О, т. е. полипом Я (Л) является присоединенным к полиному Р (Л). Между главными минорами матрицы Гурвица полинома Р (Л) и полинома Я (Л) существует связь, выражаемая формулой (20): Рвы = аоуьтт гть. Так как Рты)0, то из (20) следует, что и стэ ) О. Таким образом, для полинома Р (Л) выполнены условия (18). По предположению, достаточность условий теоремы справедлива для полиномов степени п.
Следовательно, полипом Р (Л) е= Н„ является полиномом Гурвица. Тогда в силу леммы 1 и полипом 9 (Л), как присоединен- Рис. 52 ный к Р(Л), также является полнномом Гурвица. По индукции отсюда следует достаточйость условий теоремы для полиномов произвольной степени. И Рассмотрим некоторые примеры применения доказанной теоремы. Пример 1. Определить условия отрицательности вещественных корней полинома второй степени Р,(Л)=ааЛ'+атЛ+аа, аа) О. Матрица Гурвица в этом случае будет иметь вид (О Ее главные диагональные миноры Ь,=ат и бе=агат. Таким образом, поло. жительность коэффициентов уравнения аг) 0 и аа) 0 является необходимым и достаточным условием, чтобы полинам Ра(Л) был полиномом Гурвица. Пример 2.
Определить условия отрицательности вещественных частей корней полинома третьей степени Ра (Л)=ааЛа+атда+ааЛ+аа, аа) О. Матрица Гурвица для полнпома Р,(Л) (а, а О( М=- а, а, а, 0 0 аа Условия Гурвица для этого случая имеют вид а, а„( а,=а~) О ба=) )=атаг — аааэ)0, Ьа=аэйа)0. аа аа ~ Кроме условия положительности коэффициентов (необходимого условия) для того, чтобы полипом Ра(Л) был полииомом Гурвица, требуетсн выполнение неравенства аа ) †'. аааа а, 9 а. р. Чемоданова, т. 1 257 Пример 3.
Исследовать устойчивость рыпений линейной однородной системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами г(х г(р г(а г(1 ' г)1 ' Ф =- — х+сгш - .= — р+()а, — -= — — а+ил. Характерггстичсское уравнение этой системы — 1 — )г а 0 0 — 1--Л Р и 0 — ! — Л =О, или Хэ+Здэ+ЗД+(1 — гтэй) — — О. Матрица Гурвнца.имеет внд 3 1 0 М= 1 — аэй 3 3 0 0 1 — ссэ()! Определители Гурвица; Лг=З)О, Л,=9 — (1 — ггэр), Ла=-Л,(1 — аэ()). Таким образом, для положителыюсги главных диагональных миноров матрицы Гур.
8 вица требуется, чтобы параметр р удовлетворял неравенствам 8 ~ — —;, 1 й -с - . На рис. 52 изобрагкепа область устойчивости решений в нлосиости парасг~ метров а, (1. й 19. ВТОРОЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА Второй, или прямой, метод Ляпунова позволяет исследовать устойчивость решений нелинейных дифференциальных уравнений, не производя решения самих уравнений. В дальнейшем мы будем исследовать устойчивость тривиального решения автономных систем дифференциальных уравнений, т. е.
систем уравнений вида где (2) 258 При этом предполагаем, что функции Гг(хы ..., х„) ((=1, 2, ... ..., и) имеют непрерывные частные производные по всем аргументам в некоторой выпуклой области бй (х(~ Н н-мерного пространства. В этом случае в области 0 система уравнений (1) удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности решения (см. 3 10). Прежде чем приступить к рассмотрению устойчивости тривиального решения системы (1), введем некоторые новые понятия.
1. Знакоопределенные и знакопостоянные функции. Рассмотрим функции )г (х„... „х„), определенные и непрерывные в области 6: ),х',~ =. Н и обладающие в этой области непрерывными частными производными по переменным х„..., х„, Функция 1' (х) называется знакаположительной (знакоотрицатсльной) в указанной области б, если для любого х ен б Р (х) =.- 0 ( Г (х) ~ 0).
Функция У(х) называется определенно полтсительнсй (определенно отрицательной) в той же области 6, если для любого х~б имеем Г(х)~0($'(х)(0), причем $'(х)=0 тогда н только тогда, когда х=О. Функции $'(х) первого типа называются зн)зкопостолнными, второго типа — знакоопределенныии. Например, функция Г (х) = (х,+х,)' является знакоположительной, так как множество нулей этой функции представляет прямую х,= — х„т, е.
функция Р(х)=0 вдоль прямой х, = — — х,, Функция Р (х) =- х1+ 2х) является положительно определенной, так как Г(х)=-0 только при х,=-О и х,=О, а при остальных значениях х, и х, функ- у ьь'Ч(х цня Ъ'(х) )О, Для этих функций значение Н может быть взято сколь угодно большим. Функпия Ф' (х) =. х)+ 2хь — х$ также является положительно оп- а ределенной, но значение Н при этом будет достаточно малым, а именно должно выполняться неравенство х; 2. В общем случае выявление знакоопределенности или знакопостоянства функции Г (х) представляет собой сложную задачу.
Достаточно просто определяется знакоопределенпость в том случае, если функция г'(х) представляет собой квадратичную форму. Пусть функция )г(х) является квадратичной формой, т. е. $'(х) = ~~ ацх,хй ну=1 Функция Ь' (х) является определенно положительной (определенно отрицательной), если положительно определена (отрицательно определена) квадратичная форма (3).
В 5 8 приведен критерий положительной определенности квадратичной формы (критерий Сильвестра), который устанавливает, что квадратичная форма (3) является положительно определенной тогда и только тогда, когда все главные диагональные миноры ее матрицы строго положительпьь Дадим знакоопределенной функции Г (х) геометрическую интерпретацию. Для простоты рассмотрим функцию двух переменных ~'(х,, х,).
На плоскости х„хь линия ~'(х„х,)=-с, где с — некоторое число, представляет собой замкнутую кривую, содержащую внутри себя начало координат, При с=О кривая *г'(х„хз) =с стягивается в начало координат (рис. 53). Пусть в (1) — некоторое решение системы (1), удовлетворяющее начальным условиям в(1ь) =х. Полной производной по времени 1 функции 1' (х) в силу дР И системы (1) называется функция — „=- -„- — Р (В(1)) ~, или, учитывая формулу полной производной, д'г' 'к! д'г' дх! ъ', дà — — — г — )! (х! ...
к„). дг !1! дх! д! ~1! длч !=! !=1 (4) Из формулы (4) следует, что производная — „в силу системы (1) не зависит от выбранного решения в(1), а является функцией точки х. Гду ду ди1 Если ввести обозначение !г — — ... — з! = исай Г, то выра- 1 дх! дх ''' дх„) жение (4) можно переписать в виде — = (огай у, 1е(х)), д'г' (б) Формула (5) показывает, что производная — в силу системы (1) представляет собой скалярное произведение вектора игай Г на вектор фазовой скорости у(х). Если рассматривать в п-мерном пространстве поверхность Г (х) =с, то при — ) О фазовые д! траектории системы (!) пересекают эту поверхность в сторону с5' возрастания функции г'(х), а при — (Π— в сторону убывания (рис. 53). Положительно определенные функции Г (х), производные которых в силу системы (!) являются отрицательно определенными или знакоотрицательными, называются функциями ЛяпуПерейдем к рассмотрению теорем Ляпунова об устойчивости и неустойчивости тривиального решения автономной системы дифференциальных уравнений (1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
