Чемоданов. Математические основы теории автоматического регулирования. Том 1 (952248), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Отсюда следует, что для линейного дифференциального уравнения порядка и теорема (5) может быть переформулирована в виде следующей теоремы: Теорема 6. Для устойчивости линейного ди44еренциального уравнения и-го порядка с постоянными коэффициентами необходимо и достаточно, жлобы корни характеристического уравнения имели неположигпельные вещественные части, причем корни с нулевой вещественной частью должны бьапь простыми. При исследовании линейных систем автоматического регулирования особый интерес представляет случай асимптотической устойчивости. Асимптотическая устойчивость линейной системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами определяется следующей теоремой: Теорема 7. Для асимптотической устойчивости линейной системы диф4еренциальных уравнений с постоянными коэффициентами необходимо и достаточно, чтобы вещественные части корней характеристического уравнения были отрицательны, т.
е. характеристические числа матрицы А должны располагаться в левой полуплоскости. Д о к а з а т е л ь с т в о. Докажем достаточность утверждения теоремы. Пусть Л„..., Л» — корни характеристического уравнения де1(А — ЛЕ) =О, е„е„..., е» вЂ” кратности этих корней. По условию теоремы, КеЛ!(О (»=1, 2, ..., )г). Каждое ре!пение системы (7) может быть записано в виде х= ~ Р (()ех!!, где Р! (1) — полиномиальные вектор-столбцы, причем максимальная степень полиномов, входящих в Р,(1), не превосходит е,— 1. Пусть Л!=а„+1(3!, тогда Х= г', е""е~а" Р;(1).
В силу отри!= ! цательности действительных частей хаоактеристических чисел и!(О и х-~0 при (- сю. Так как это справедливо для любого решения, то система уравнений с постоянными коэффициентами будет устойчива асимптотически. Достаточность условий теоремы доказана. Необходимость условий теоремы доказывается способом от противного. ° Из доказанной теоремы следует, что для суждения об устойчивости системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами следует знать, как располагаются корни характеристического уравнения на комплексной плоскости.
Характер 252 расположения корней характеристического уравнения на этой плоскости можно определить, не решая самого уравнения, с помощью критерия Гурвица, рассмотренного ниже. 4. Критерий Гурвица. Рассмотрим полинам Р(Л) =аьЛ" +асЛь с+ ... +а„(п=-1). (11) Будем полагать, что а! (с=0, 1, 2, ..., и) — действительные числа, причем а,)0. В общем случае корни полинома Р(Л) могут быть комплексными числами и полинам Р(Л) может рассматриваться как функция комплексного переменного Л=а+/р. Такой полинам назовем стандартным. Стандартный полипом называется полиномом Гурвица или гурвицевым полиномом, если действительные части всех его корней отрицательны, т. е.
все корни расположены в левой полуплоскости: ГсеЛс(0 (с=1, 2, ..., п). Необходимое (но не достаточное) условие для того, чтобы стандартный полинам был полиномом Гурвица, устанавливается следующей теоремой: Теорема 8. Если стандартный полинам есть полинам Гурвица, то все его коэффициенты положительны. Док аз а тел ьство. Пусть комплексные корни полинома (11) есть Л,„= — сс +/р„, (т=1, 2, ..., р, сс )О), причем их кратности соответственно равны е„е„..., е„.
Но для полинома с действительными коэффициентами каждому комплексному корню соответствует сопряженный корень, причем той же кратности. Таким образом, числа Л, = — а — Я) (т=-1, 2, ..., р) также будут корнями полинома Р(Л) с кратностями е,, ..., е„. Пусть действительные корни полинома будут Л„ = — Т„ (и= 1, 2, ..., т), у„ )О и их кратности соответственно равны е,. Тогда полинам Р (Л) можно разложить на линейные множители, г. е. записать в виде я я М Р(Л)=-аь Ц (Л+сс — !р )' Ц (Л+а„,+!~)„,)" Ц(Л+у„)"= м=! т.= ! л=! =аь Ц (Л" +2сс„,Л+сс,-"„+р')' Ц (Л+у„)'л. и= ! п=.- ! Из написанного разложения следует, что коэффициенты а, поли- нома Р (Л) положительны. ° Заметим, что для полиномов первой н второй степени указанное в условии теоремы необходимое условие является также и достаточным, Для полиномов третьей и выше степеней это условие уже не будет достаточным.
' Получим достаточные условия для того, чтобы стандартный полинам был полиномом Гурвица, Для этого рассмотрим сначала некоторые вспомогательные построения и леммы. Пусть имеется стандартный полинам Гурвица Р (Л) =а,Л" +асЛ" '+ ... +а„. 2зз а, а, О ... О ао а, а, ... О а, ао аа ..
О (1б) О О О ... а„ Построим полинам Р* (Л) следующим образом: Р* (Л) = ( 1)лР ( Л) =аоЛи а1Ло о+ . +( 1)л ао (13) Все корни полинома Р(Л) расположены в левой полуплоскости, поэтому полипом Р* (Л) имеет все корни в правой полуплоскости. Пусть с)Π— некоторое положительное число. Полипом Я (Л) = (Л+ с) Р (Л) + ЛР* (Ц (14) называется полиномом, присоединенным к полиному Р (Л). Степень полинома 1г(Л) на единицу выше, чем степень Р(Л), Приведем без доказательства две леммы, устанавливающие свойства присоединенных полиномов.
Лемма 1. Для каждого полинома Гурвица его присоединенные полиномы также являются стандартными полиномами Гурвица. Лемма 2. Каждый стандартный полинам Гурвица степени выие первой является присоединенным для некоторого стандартного полинома Гурвица более низкой степени. Если полинам 1г (Ц =А,Л" '+А1Ло+ ...
+А,~1 — стандартный полинам Гурвица степени и+1, то стандартный полипом Гурвица Р(Л) степени п, для которого полинам Я(Л) является присоединенным, определяется выражением Р (Л) = —; ((с — Л) Я (Л) + ХЯ* (ЛЦ, (15) где с=2Ао!Ао)О. Из приведенных лемм следует, что для любого стандартного полииома Гурвица Р(Л) степени и можно построить как стандартный полинам Гурвица 1г(Л) степени и+1, который будет присоединенным к полиному Р(Л), так и стандартный полинам Гурвица Р(Л) степени и — 1, для которого полинам Р(Л) будет присоединенным.
Построение полиномов проводится согласно равенствам (14) и (15). Построим пространство полиномов Гурвица Н = (Р (Л)), Это пространство представляет собой объединение пространств Н„, соответствующих пол иномам Гурвица различных степеней.
Согласно леммам 1 и 2, если полинам Р(Л) еп Н„, то присоединенный к нему полинам 9(Л) е Н„„, и обратно, если Р(Л) о— : Н„, то существует такой полинам Р (Л) е= Н„„для которого полинам Р (Л) является присоединенным. Перейдем к получению необходимых и достаточных условий отрицательности вещественных частей корней алгебраического уравнения. Пусть Р (Л) =а,Л" +а,Л"-'+...+а„— некоторый многочлен, причем а; — действительные коэффициенты и ао) О. Образуем матрицу размера пх, п: Эта матрица строится следующим образом: по главной диагонали откладывакпся коэффициенты а,, а,, ..., а„, Вправо по строке от этих элементов расположены коэффициенты с убывающими номерами, влево — с возрастающими. При этом полагается а,=О, если 1(0 или 1> и.
Такая матрица М называется матрицей Гурвица. Главные диагональные миноры этой матрицы будут иметь вид Л,=а„ Л„-= а„Л„,, Следующая теооема Гурвица устанавливает критерий отрица- тельности вещественных частей корней полинома Р(Л). Теорема 9. Длл пи»го чтобы стандартный пвлином Р(Л) был полиномом Гурвица, необходимо и достаточно, чтобы все главные диагональные миноры его матрицы Гурвица были пололситель- ными, т. е. Л» > 0 (в = — 1, 2, ..., и). (18) Условия (18) называются условиями Гурвица, Доказательство, Докажем сначала необходимость усло- вий теоремы. Пусть Р(Л)»=:- Н„. Покажем, что при этом условия Гурвица выполняются, т. е.
главные диагональные миноры матрицы Гурвица положительны. Доказательство проведем методом математической индукции, Для а=1 условия Гурвица выполнены, Действительно, рассмот- рим полинам Р(Л) ==а,Л+а,. Так как Р(Л) ~ Н„то его корень Л,= — -' <О, но а,>0, следовательно, а,>0, Главный диаго- нальный минор матрицы Гурвица в этом случае Л»=-а„. тогда Л, >О, что и доказывает наше у'гверждеиие. Допустим теперь, что условия (18) выполняются для всех полиномов Гурвнца до степени и включительно. Покажем, что эти условия будут выполняться и для полиномов Гурвица 1г(Л) степени и+1. Рассмотрим полипом 1)(Л) г= Н,„,ь Согласно лемме 2, найдется такой полинам Гурвица Р(Л) степени и, по отношению к которому полинам 1~ (Л) будет присоединенным.
Следовательно, Ю(Л)=, (Л+с)Р(Л)+ЛР (Л)1, причем здесь с = 2у > О. Определим связь между коэффициентами полиномов 9 (Л) и Р(Л). Если Р(Л) =аоЛ»+а»Р '+...+а„, а 1г (Л) = АоЛ""'+ А»Л»+...+А„ы, то А,=а„А,=Та„А,=Та, +а„А»=уао, А,=уа„+а„... и вообще Л,»=уао»»+ао» Ао»-»=уао» о. Напишем главный диагональный минор порядка й+1 матрицы Гурвица для полинома Я(Х): А» А, 0 ... 0 уао а, 0 Ао Ао Л ... 0 уао уа»+ ао уао А, А, Ао ... 0 = уао уао+ао уао А,»+, Ао» Ао», ...
А»„уа,» уа,„,+а,» уао„, ... = 'у»'у» "аоб». (19) Здесь й' — число нечетных столбцов, /г" — число четных столбцов, Л» — главный диагональный минор !г-го порядка матрицы Гурвица полинома Р(Х). Таким образом, (20) 0»ы =- а,у»" Л». Согласно сделанному предположению, условия (18) выполняются для полиномов Гурвица Р()) порядка и, тогда из формулы (20) следует, что В»+,)О (А=1, 2, ..., и). Непосредственной провеокой убеждаемся, что В, ) О. Предположив необходимость условий теоремы для полиномов степени и, мы доказали необходимость этих условий для полиномов степени и+ 1, Ранее была доказана необходимость условий теоремы для полиномов первой степени. По индукции отсюда следует необходимость условий для полиномов произвольной степени.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
