Чемоданов. Математические основы теории автоматического регулирования. Том 1 (952248), страница 41
Текст из файла (страница 41)
— = — у,— 2ув — 2у(0. аут г(у, ш ' ж (48) По формуле (44) определим начальные условия, ноторым должна удовлегво. рить решение уравнения (46): у,(0)=0, уз(0)= — с,у( — 0)=0. (49) Найдем общее решение системы (48). Зто решение состоит из общего решения соответствующей однородной сисгемы и частного решении неоднородной системы (18). Общее решение однородной системы ар, г(Ув — = Ум — У1 — 2ув аг ' а1 (60) имеет вид ус=(сг+сзт)е г, ув=( — от+се — себе г. 233 Частное решение системы (48) ищем, полагая, чтой(0=1.
Это решение ус=о, у,= — 1. Тогда общее решение системы (48) будет ух=(сх+оаг) е г, уз=( — ох+се — сг1) е г — 1. Решение системы уравнений (48), удовлетворяющее начальным условиям (49), есть ус=!е с, уо=(1 — !) е ! — 1. Тогда решение уравнения (46) при 1) 0 будет я=ге с, х'=(1 — Ое ! — 1+у(!).
(61) Правые начальные услония: х (+ 0) =х( — 0) =О, х'(+ 0) =уо (0) + 1 с,у(1 0)=1. Гоафики ййпкпнй х(!) и х'(!) пРиведены на Рис. 47. Рис. 47 4. Импульсная переходная функция. Напишем для неоднородного линейного дифференциального уравнения (22) формулу, аналогичную формуле Коши (см. 9 !2), Решение этого уравнения, удовлетворяющее начальным условиям х(0)=хо, х'(0)=хы ..., х(" т)(0)=х„м (52) имеет внд (53) х (!) =- со (!) + ~ х (! — т) я (т) с(т, о где ш(!) — решение однородного уравнения Р(р) х=-0 (15), улов летворяющее начальным условиям (52); х (1) — решение однородного уравнения (15), удовлетворяющее начальным условиям х (0) = т)о, х' (0) = т),, ..., х("-" (0) = г)„.
! (54) Постоянные т), (! =О, 1, 2, ..., п — 1) определяются из соотношений по!)о = Ь „ы, поцт+пьт1о= Ьм мм (55) пот)„! +... + а„,ч)о = Ьео причем Ь,=О, если о(0. Формула (53) легко проверяется непосредственной подстановкой в уравнение (19). Следует отметить, что процесс регулирования в САР рассматривается, как правило, при ()О. При 234 этом полагается, что при 1~0 к системе не приложены ни управляющее воздействие д(1), ни возмущающее воздействие 1 (1) и выходная координата х вместе со своими производными до (и — 1)-го порядка при 1= 0 равна нулю, В этом случае начальные условия (33) будут нулевыми и решение ср(1) уравнения (15) тождественно равно нулю. Тогда формула (53) перепишется в виде х (1) = ~ х (1 — т) д (т) г(т, о (56) Введем в рассмотрение функцию /г (1), определенную при — со(1< со, следующим образом: х(с), 1- О, 0,1 О.
(57) Тогда формула (56) примет вид СО х (1) = ~ гг (1 — т) йс (т) г(т = ~ (г (т) д (1 — т) с(т. (58) (59) формулу (58) можно записать следующим образом: х(Е) = ~ (г(1 — т)д'(т)г(т= $ 1г(т)д(1 — т)г(т, (60) Выясним физическую природу импульсной переходной функции. Для этого определим процесс регулирования в САР при управляющем воздействии типа дельта-функции. т.
е. положим сс (г) = б (1). Учитывая фильтрусощее свойство дельта-функции (см. з 37) (61) получаем х (1) = ~ /г (т) б (с — т) г(т = сс (1). (62) Таким образом, импульсная переходная функция САР представляет собой реакцию системы на входное воздействие гппа Функция сг (1) называется импульсной переходной (весовой) функцией системы автоматического регулирования. С ее помощью можно вычислить процесс регулирования в САР при подаче на вход системы произвольного воздействия д (г). Учитывая, что управляющее воздействие приложено к системе в момент 1==0, т. е.
дельта-функции. Этим объясняется ее название «импульсная переходная функция». Пример 2. Произвести анализ дифференциального уравнения линеаризованной следящей системы с электромашинным усилителем (рис. 41). Уравнение системы было получено в 4 15 [см, уравнение (84)), оно имеет вид (о,р»+ оНр+ сЫ'+ о,р'+ о«в+о») =(Ь,р+Ь,) я+У,~ +И,р +Д,р+И,) М,.
(63) С помощью соотношений (85) 4 !5 вычислим для указанных значений параметров системы коэффициенты уравнения (63): ач = 0,002, ад — — О,! 224, аэ — — 5,!46, аз —— 41,32, а«=201, аь —— 200, Ь«=200, Ь,=200. Корни характеристического уравнения 0002Лг+01224Л4+5!46Л»+4! 32Л»+201Л+ЯЮ 0 (64) имеют следующие значения: Лт= — 1,28, Лз= — 3,75+!4,88, Ле= — 3,75 — 14,88, Л,= — 26,2+137,13, Л,= — 26,2 — !З7,)З; (65) все корни лежат в левой полуплоскости, т. е. удовлетворяют необходимому и достаточному условию (18) устойчивости системы автоматического регулирования.
Таким образом, при выбранных значениях параметров система регулирования с ЭМУ является устойчивой. Определим импульсную переходную функцию следящей системы с ЭМУ. Для этого найдем частное решение однородного уравнения (а,р»+атр'+азр'+а»да+а«р+аа) х=о, (66) причем согласно равенству (55) начальные условия для этого решения опре- деляются из системы уравнений а«х(0)=0, ачх' (О) + а,х (0) = О, а«х" (0) + а«тки (0) + аьт (0) = О, аэх" ' (0) + атх" (0) + а И' (0) -1- а Х (0) = Ь, а лк (0)+а,х'" (0)+а,х'(0)+азх'(0)+а«х(0)=Ь,. (67) Решением этой системы будут значения х (0) =О, х'(0) =О, х" (0) =О, х"' (0) = — = !00 000, ь оч й! Н (0) тоо — «ба 6 020 000 а' ч (68) Найдем решение однородного уравнения (66), удовлетворяющее начальным условиям (68).
Общее решение уравнения (46) имеет вид х(1) = с,«хм+с/и+свекр+с««х" +сьеьм, (69) Коэффициенты уравнения задаются соотношениями (85) 4 15. Иэ этих соотношений следует, что аз=ьт=й. Таким образом, следящая система с ЭМУ имеет ,первый порядок астатизма по отношению к управляющему воадействию. Определим устойчивость САР и импульсную переходную функцию системы при следующих значениях параметров системы: Ь=200 1!с; Ь,ьтй«=40; Т =0,02 с; Т;,=0,83 с; Та=1,2 с; Т,=О,! с; т»=1,0 с.
1 Л, Л,' Ц Ц 1 1 1 1 Л,Л,ЛаЛ, ЦЦЛ;л; Лэ )„з ),3 Ц Л! Ц Ц П (Лг — Л1) 1<1<1<5 Вычислим определители Ь„Ь„Ьз, Ьа и Ьз: 0 ! 1 0 Лз Лз 0 Ц Ц х"'(0) Ц Ц хъм (О) Л1 Ц 1 1 Л Л, Л, 'Ц Л! Ль Ц Ц = — х (0) Ьг+ 21У (0) Ьм (72) причем 1 ! 1 О Лз-Л, Л,-Ц О Л,Р.,— ) ) Л,(Л,— Л,) О Ц(Лэ — ЛВ) Л((Ц вЂ” Л!) 1 1 1 ! Л, Лз Ла Лэ Ц Ц л;- л; ЦЛ',ЦЦ 1 Л,— Лч Лз (Лэ — Лз) Л, (Ц вЂ” Ц) 1 11) (1 1! =(Л,— Л,)(Л.— Л,)( — Л,) ~ Л.
Ц Л. +Л,(Л. Л. Л, ~- Лэ Лг зЦ ~ Лз Лээ Лз э! 5 П (Л,-Л1),У; Л,, 2~1<!<5 1=2 Ц (Ц вЂ” Л1). (73) (74) тс,:1<!<5 Аналогично имеем Аз= х (0) Ьз — х (0) Ьз, Ьз= — х (О) Ь~+хгч (0) Ьз, Ьэ=х (0) Ьа х (0) Ьы Ьэ х~ (0) Ьэ+х~~ (0) Ьэ, (75) 5 Ьа= и (Л вЂ” Л1) х Л1 (й 2,3 ! <1<К<5 2-1 Ьа= П (Лг — Л1) (й=2, 3, 4, !<1<1<5 4, 5), (76) 1, увьй. 5); (77) 237 Для определения произвольиык постоиннык с,, с„са, см с„учитывая началь- .ные условия (68), получаем систему уравнений сг + се+ са+ па + сэ = О, Лтот + Лзсз+ Лзсз + Леса + Лэсэ = О, Л(ст+Цсг+Цсз+Л)са+Цсэ=О, (70) Л(сз +Цсз+ Цсз+ Л!се+ Цаэ х (0), Л с,+ Цс,+Цоз+Цс,+Цс,=хг~ (О).
Определитель системы (70) есть определитель Вандермонда. Корни характери- стического уравнения (64) различны, поэтому этот определитель отличен от нуля и система уравнений (70) имеет единственное решение. Найдем это реше- ние, используя правило Крамера (см. 4 4, п. 4): Ь1 Ьэ Ьз Ьа Ьэ СГ= —, СЗ= —., Са= —, Са= — Сэ=— Ь' Ь' Ь' Ь' Ь (71) Определитель системы Согласно формулам (71) — (77), найдем сз =,, х (0) — х" (0) 7 )ч И о.;-л,) /=-з =г 5 хгн(0) — хм(0) Х Х! ( 1 (~з 1 5 Ц ()ч — Хз) г=! х!~ (0) — хм (0) ~~ )г се= Ц (л — й,) !=г (=! (чез х! (0) — дм (0) ~ й> 1= ! 1ф 4 1 се= 5 и ()е )м) з=! с~4 ! се= 4 Ц (йз — Л.) г=! Подставив в равенства (78) аиаченин Ц из (65) и значения Хм (0) н х~~ (0) из (68) получим: ох= — 0,47, се= — 0,42 — 15,59, се= — 0,42+/5,59, се= — 0,642+10,328, гх= — 0,642 — 10,328 С помощью найденной импульсной переходной функции системы можно легко определить реакцию САР на единичное ступенчатое воздействие Пусть ( 1, если !) О, н(!)=1(!)=~ (1 О, если 1~0.
Тогда выходная координата системы определяется с помощью формулы (38), где следует положить 9(( — т)=-1(( — т), х=й(~): ! й(Г)=~а(ъ)дт=~[ — 047е — цззт+е — зтзг( 084соз488т+!1,18мп488т)+ +е ~~зт (1,285 сги 37,13т — О 656 мп 37,!Зт)) Зт=! +О 37бе — е з' м (1,37 соз 4,88(+1,3 мп 4,88!)+ +е з"'з' ( — 0,005 соз 37.13(+0035 мп 37,! 3!.) (80) Подставив найденные значения произвольных постоянных с! ((= 1, 2, 3, 4, 5) в формулу (69), получим импульсную переходную функцию следящей системы с Эй!У: й(()= — 0,47е 'зз'+е з ™ ( — 0,84 сов 4,88(+11,18 зв 4,88()+ +е зв з' (1,285 соз 37,13( — 0,656 яп 37,13(), (79) !~ О, й (О=О, ( (О.
5. Особенности процессов в нелинейных системах. Анализ ди~)х) еренциальных уравнений нелинейных систем автоматического регулирования значительно сложнее, чем анализ уравнений линейных САР. В ~ 13 рассмотрены некоторые методы решений нелинейных дифференциальных уравнений. Решения нелинейных дифференциальных уравнений не имеют той характерной структуры, которая свойственна решениям линейных уравнений. К этим уравнениям неприменим принцип суперпозиции, поэтому отдельные частные решения суммировать нельзя, Невозможно указать общие методы, пригодные для решения таких уравнений, функциональный вид решения существенно зависит от вида правой части уравнения и начальных условий. Из этого следует, что нельзя построить общее решение нелинейного дифференциального уравнения, описывающего процессы в САР, из которого можно было бы получить решение уравнения при конкретно заданных начальных условиях и определенных воздействиях, приложенных к системе, Решение нелинейных уравнений обычно производится приближенными методами или с помощью вычислительных устройств, причем выбор того или иного способа определяется конкретнйми условиями задачи.
Если поведение нелинейной САР описывается уравнением (9), то при постоянных входном воздействии л(1) =до1 (1) и возмущающем воздействии !'(1) =)о! (1) уравнение (9) принимает вид Ф, (х, х', ..., х'"') =Ф,(д„, О, ..., О, )а, О, г., 0). (81) Каждое решение х(1) этого уравнения определяет процесс регулирования в САР. Под установившимся процессом в нелинейной САР понимают решение х, (1) уравнения (81), обладающее некоторыми специфическими стационарными свойствами. Это могут быть либо состояние равновесия, либо колебательный установившийся процесс с постоянными амплитудой и частотой, Состояния равновесия определяются из уравнения Ф,(х„, О, ..., 0)=г1>,(а„, О, ..., О, )м О, ..., 0). (82) Уравнение (82) может иметь, ~е одно, а множество решений.
В соответствии с этим в СЛР возможны либо несколько состояний равяовесия, либо целая область состояний равновесия, Если установившийся процесс имеет постоянное значение хт (1) =х„то для получения уравнения переходного процесса следует подставить х (1) == х„-! х„(/) в уравнение (8!) и вычесть из уравнения (81) уравнение (82): Ф, (хг+х„, -„", ..., — „'-') — Ф,(км О, ..., 0) =О, (83) Если в нелинейной системе наблюдается установившийся колебательный процесс х„(1) с постоянной составляющей х„то он определяется уравнением Ф,(х„+х„--", ..., — „")=-Фх(йо, 0 . 0 7о, 0 ". 0) (84) 239 причем постоянная составляющая х, удовлетворяет уравнению (82).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
