Чемоданов. Математические основы теории автоматического регулирования. Том 1 (952248), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Ана- логично, при заданных 1(1) и д(~) уравнение (10) представляет собой линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Как было показано в 5 12, общее решение неоднородной системы (11) может быть представлено в виде х=х„(1)+х,(0, (12) где х„(1) — общее решение однородной системы Р(р) х=О, х (Ф) — частное решение неоднородной системы (11).
Аналогично общее решение неоднородного уравнения (10): х = х„(Ф) + х„(1), (14) где х„(() — общее решение однородного уравнения Р(р) х=О, (15) х (() — частное решение неоднородного уравнения (10). В ~ 12 была получена общая формула решения одяородного дифференциального уравнения (15) в виде /л~ — 1 х„(1) = ~~ ~ ~, 'ем(л е ~, (16) Лл а где Л, (1=1, 2, ..., р) — корни уравнения Р(Л)=0; Уг, (1=1, 2, ..., р) — их кратности, ем — произвольные постоянные.
Если система уравнений (13) нормализуема (см. ~ 12), то аналогичную структуру имеют компоненты ее решения. Учитывая равенства (14) и (16), общее решение уравнения (10) примет вид (в! — 1 х=х„(1)+х„(1) = ~~ ~ У', сы(!' е~!'+х (1). с=! в=о (! 7) (18) Для получения 'решения х(1), описывающего процесс регулирования в линейной САР при заданном управляющем и возмущающем воздействии, необходимо определить произвольные постоянные см, используя для этой цели заданные начальные условия. Определив произвольные постоянные, получим выражение для процесса регулирования.
Отметим, что однородная система уравнений (13) и однородное уравнение (15) описывают свободное движение системы автоматического регулирования, т. е. движение при отсутствии управляющего и возмущающего воздействий. Поэтому составляющая хл (() решения называется свободной составляющей (переходным процессом), Составляющая х„(() решения называется вынужденной составляющей (установившимся процессом). Вынужденная составляющая определяется внешними воздействиями, приложенными к системе. Функционально переходный процесс х„(1) не зависит от внешних воздействий, и его характер определяется свойствами самой САР.
Однако так как произвольные постоянные сы определяются из равенства (17), которое содержит слагаемое х (1), существенно зависящее от внешнего воздействия, то значения коэффициентов см зависят от внешних воздействий, прикладываемых к системе, Рассмотрим подробнее этот вопрос для линейной системы автоматического регулирования, описываемой уравнением (10), полагая, что все корни характеристического уравнения О(Л) =0 простые. В этом случае общее решение будет л х(1) = ~ с,е ! +х (1). о=! Определим процесс регулирования, удовлетворяющий начальным условиям х(1о) =хм х' (1о1 =хо, ..., х!л '! (1о)=хл.
Для определения произвольных постоянных с, имеем линейную алгебраическую систему уравнений с,е 'о+еле '+...+с„е о=х,— х„((о), хс х! сгЛ,е"!'о+свЛве в'о+... +слЛ„е ' =хо — х,', ((о). Главный определитель системы уравнений (18) л ь! П (Л! — Лу) е '=' ФО, !л,:!<!ч;л 8 л. р, Челодвоовв, я ! поэтому система имеет единственное решение П с =-О-,~, (ха — хг И((о)) Аы (!'=1, 2, ..., и)„ а=- ! где Ам — алгебраическое дополнение элемента йы=)г е 'е опрея — ! м! делителя О, Таким образом, процесс регулирования а Л а л х(!) = — ~~ е~!' ~~ хаАм — — - ~) е !' ~~! х!г,' "(!о) Ам+х (!), г=! а=! г=! а=! (19) или х(() =ха, (()+хн, (!)+х (!), где х„, (!) = —, ~~ е ~~ хаАм — свободная составляющая, х.„(!) г=.! а= ! и л ! 'к! а! '~~ <а — !> = — — ~ е ! ~~ хг (!о) Аы — собственная сопровождающая.
о,й', !=! а=! Из выражения (19) следует, что собственная сопровождающая зависит от хг(!), т, е. в конечном счете от внешних воздействий, приложенных к системе, Назовем линейную систему автоматического регулярования устойчивой, если свободное движение системы с течением времени затухает* !, т, е. !пп ~х„(~) ~=0. (20) Из формулы (16) следует, что для устойчивости одномерной САР необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения О(Х) =О лежали в левой полуплоскости, т, е.
чтобы выполнялось условие Ке Л! ( 0 (! = 1, 2,, !г). (21) Для устойчивости многомерной системы автоматического регулирования требуется, чтобы корни характеристического уравнения йе10()г) =0 также лежали в левой полуплоскости плоскости корней. Если справедливо равенство !!гп !)хн (О)!= сю, то система автоматического регулирования называется неустойчивой. Цля устойчивой линейной системы автоматического регулирования процесс регулирования с течением времени стремится к установившемуся процессу, или, что то же самое, установившесся значение процесса регулирования совпадает с установившимся процессом.
ч' данное определение устойчивости не нвляется строгим. Более строгое определение устойчивости дано в шестой главе. 226 Положим в уравнении (10) возмущающее воздействие)'(1) =О, тогда это уравнение примет вид 0(р) х=М (р)д(1). (22) Правая часть уравнения (22) может представлять собой сумму нескольких слагаемых: л )9 (р) х = ~'', М; (р) д! (1). )=! (23) Тогда частное решение ху (1) уравнения (23) складывается из суммы слагаемых ху! (1), т.
е. И х„(1) = ~ х„, (1), причем каждое слагаемое х„, (1) является частным решением уравнения гу(р) х=М)(р)3! (1). (24) 8" В этом состоит принцип суперпозиции, который указы- вает на возможность определения частного решения дифферен- циального уравнения как сумму частных решений, соответствую- щих прикладываемым к системе воздействиям; причем, определяя частное решение, соответствующее какому-либо воздействию, остальные воздействия можно считать равными нулю, Если вычислять переходный процесс в системе по однород- ному уравнению О (р) х=О, то заданные начальные условия х,='х(1,), ..., х„,=.х'"-') (1„) должны быть пересчитаны на сле- дующие значения: хо„=х)) — х (1), ..., х, ь,=х„! — ху ~(1!)), )и — и где х„(1) — частное решение уравнения (!9) с правой частью.
Таким образом, при ))сследовании переходного процесса в САР необходимо учитывать внешние воздействия, хотя, как было отмечено выше, функционально вид переходного процесса не зависит от внешних воздействий. В теории автоматического регулирования исследуются пере- ходные и установившиеся процессы в системах при некоторых типовых управляющих воздействиях. К ним относятся: 1) единич- ное ступенчатое воздействие 1 О, если 1(0, д(1) =1(1) =~ (1 1, если 1> О; 2) гармоническое воздействие д(1) =А,зшь),1, 1)О; 3) воздействие в виде дельта-функции (импульсной функции) )'0,1 -"О, д д(1)=6(1), причем 6(1)= ' ' а )6(1))11=1, если точка 0 (со, 8=-0, принадлежит интервалу (а, Ь), и ~6(1) сУ=О, если начало коор.
а динат не принадлежит интервалу (а, Ь); 4) воздействие вида (Ь+а!+ "+Ф', !)О, О, !(О, где йо ф ", у,— постоянные числа. Одной из основных характеристик САР является переходная функция Ь (!), которая представляет собой решение уравнения (!9) при единичном ступенчатом воздействии и нулевых начальных условиях. Переходной процесс х„(!) представляет собой разность между Ь(!) и Ь (со), Качество переходного процесса в САР характеризуется (рис.
46) !) перерегулированием атак — а (сО! а= Ь( 1 !00%; 2) временем переходного процесса Т, под которым понимают время, начиная с которого выполняется неравенство )Ь(!) — Ь(со) !(Л, где Л некоторая заранее заданная величина. Рис. 48 Напишем дифференциальное уравнение САР относительно ошибки системы. Уравнение ошибки а=у — х.
(25) Исключив х из уравнения (19), получим: О(р) е=(Р(р) — М(р)]д(!). (26) Решение уравнения (26) при данном управляющем воздействии е = е„(!) + е„(!), (27) где е„(!) — переходная составляющая ошибки, которая представляет собой решение однородного уравнения О(р) в=О, (28) е„(!) — установившаяся составляющая ошибки, представляющая собой частное решение неоднородного уравнения (26). Вычислим установившуюся составляющую ошибки САР для управляющего воздействия в виде г)ц.+д,!+...+у.(, !~О, 10 , 1<О. Пусть коэффициенты многочленов О(р) и М(р) удовлетворяют условию а„,=Ь ., (1=0,1,2, ..., т — 1), а„,~Ьм, (29) 228 Системы автоматического регулирования, для которых выполняется условие (29), называются системами, имеющими ч-й порядок астатизма.
САР, имеющие нулевой порядок астатизма (ч = 0), яазываются статическими системами. Правую часть уравнения (26), учитывая условие (29), можно записать в виде р'[(а„,— Ь )+(а„, д — Ь, д) р+...+а,р )а(0. (30) Установившаяся составляющая ошибки е (() будет иметь различное значение в зависимости от соотношения между степенью г многочлена д(() и порядком ч астатизма САР: 1, Пусть г(ч. Тогда правая )асть уравнения (26) имеет вид р'[(а„,— Ь,)+...+а,р'')д(Г) =0 и неоднородное уравнение (26) перейдет в однородное уравнение (28). В этом случае установившаяся составляющая ошибки равна нулю е (() =О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
