Чемоданов. Математические основы теории автоматического регулирования. Том 1 (952248), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Величина Ф„„, а следовательно, и степень компенсации регулируются с помопгью реостата Е . Зависимость э. д. с. холостого кода Е„,„ от тока а обмотке управления уг Ех. х = 1 (1у) 203 Электромашинный усилитель представляет собой электрическую машину постоянного тока. В пазах стачора ЭМУ расположены обмотка управления и компенсационная обмотка. Ротор ЭМУ приводится во вращение приводным двигателем. В качестве приводного дви- <(1г п,=1 г„+1.„— „ <(1я Еэ= 1агэ+ 1-э ч +йоФ.
<(1а ((4) К этим уравнениям следует добавить уравнение моментов на валу двигателя Мх=М,+1"--, ((5) ()3) причем М =й„,1м В соотношениях ((2) — ((4) припяти обозначения: 1г, 1я, 1„г>„г<о г„ Ею Ея, 1. †то, сопротивления и индуктивности соответственно цепи управления, поперечной цепи и цепи як<>рой ЭМУ вЂ” ИД; ы — скорость вращения вала двига>сля; 1 — момент инерции вращающихся шстей, приведенный к валу двигателя; йм — коэффициент пропорциональности между противо-з. д.
с. двигателя и скоростью вращения его вала; й — коэффициент пропорциональности Л! между вращающим моментом двигателя н током и якорной цепи. Перейдем к уравнениям в отклонениях относнтелыю установившегося состояния. Положив в уравнениях ()2) — (!5) производные равными нул>о, получим систему уравнений, описывающих установившееся состояние агрегата ЭМУ вЂ” ИД; п>о= 1гогг Еэо Ь (1яэ)' (гб) Еш= — 1пэг > й(хэ=-й(<о Езэ=-1ээ>а '! "мыэ Д(хо=5>н1~э.
Еп>--1< (1го). Пусть пуа 1уэ 1по Е>о Ем 1эа э>о 54<э 5!хо некоторое решение системы ()6) Полагая, что <о = о>э+ бш, М, =И +Лй(, й(с = й(сэ+ бй(с иг — — - иго+ Ьи„, 1гэ+ 51г 1п = 1яо+ <>1п 1а = 1>о+ 51а перейдем от уравнений (!2) — ()5) к шегося состояния: уравнениям в отклонениях от установив- <( (51 .) бэ< =51 г. +1„.— <(1 <( (Л1„) Е> — Е>0 = б 1 и > я + 1 я <(1 <( (Л1ч) Еэ Его=51*та+1.а +дюйм <(г бй(х =- 554е+1 —, ЬД4 =й„б1э (!7) называется характеристикой холог>лого хода ЭМУ. Характеристика холостого хода имеет вид, изображенный на рис.
35. Эта характеристика холостого хода ЭМУ может быль принята линейной до тех значений ! ., при которых наступает насыщение магнитной системы у<илителя. Напишем дифференциальное уравнение электромашинного усилители при его работе совместно с двигателем постоянного тока независимого возбуждения. Для простоты положим, что ЭМУ работает в режиме полной компенсации. Уравнения напряжений для управляющей, поперечной и продольной цепей будут соответственно: Для линеаризации уравнений (!7) разложим функции Е>=1>(1 ) и Е,= = 1>(1„) в ряд Тейлора соответственно в точках /уз н 1 Графики функций />(1>) и 1»(1») имеют внд, айалогйчный изображенному на рис. 35.
Линеаризуя этй функции, будем иметь /> (/у) = Е>о+ "> Л1> /з (/и) =- Ею+Аз Л/и, (!8) где й, и й,— угловые коэффициенты касательных, "проведенных к кривым Е, и Е, в начале координат. учитывая равенства (!8) и исключая из системы уравнений (!7) промежуточные переменные Л/>, Л1п, ЛМ», получим линеаризованное дифференциальное уравнение ЭМУ вЂ” ИД в отклойениях от установившегося состояния; ~Г» Лю с/ Лы +(Т»Т»+Т 7>+7»Т»+Т>7») +(Т»+Ту+Т») — +/>со г„./ В уравнении приняты обозначения: Т„=» —" — механическая постоянная вре/г„й„ цени двигателя; Т = — — — постоянная времени цепи управления; Т„= —— гу г» Е„ постоянная времени поперечной цепи; Т„ =.-- — постоянная времени якорг» /г,йз пых цепей ЭМУ вЂ” !!1(; й =-= — — передаточный коэффициент (коэффициент > г>»/гы г» усиления) ЭМУ по управлшо>цсму воздействию; й1.=- — — передаточный коэфйя/г, фициент ЭМУ по возмущающему воздействию.
Отметим, что линейное уравнение (!9) справедливо не только прн малых отклонениях от установившегося состояния, а н а достаточно широном диапазоне изменения входной координаты ит, соответствующем работе ЭМУ без насыщения магнитной системы. Это следует из способа линсаричации характеристик Е, =/>(/>,) и Е,==/з(/»). Касательные, которыми при лннеаризации были заменены нелинейные характеристики Е>==/> (/>) и Ез=- /з(1»), мало отличаются от этих характеристик в достаточно широком диапазоне изменения напряжения Ли„(рис. 35).
Постоянная времени поперечной цспп мала по сравнению с другими постоянными зрел>спи и сю можно пренебречь. В этом случае уравнение (!9) прил>ет вид >/з Лш >/з сйв г/ Лы 7»7»7, б/з +(7»7»+ 7»7>) /,, +(7»+7>) —,,/ +бы= й и Й/~7 7 ° +(7>+7 ) + ЛМ»~ (Й>) ЛМ» с/ ЛА(с с// Пример 3. Составить юк)форснциальпос уравнение асинхронного двухфазного двигателя. Линеаризаци>о дифференциального уравнения выполнить с помощью замены нелинейной механической характеристики двигателя секущей.
Асинхронный двухфааный двигатель представляет собой электрическую л>ашину переменного тока и широко применяется в сис>ел>ах автоматнчесного регулирования. В пазах статора двигателя располагаются дзе обмотки таким образом, чтобы их магнитные оси были вааимно перпендикулярными, Одна обмотка подключается к источнику переменного тока с постоянным напряженнем н называстси обмоткой возбужденна (ОВ), другая обмотка подключается 205 к источнику переменного тока с изменяющимся напряжением и называется обмоткой управления (ОУ).
Обычно обмотка управления подключается к выходу электронного или магнитного усилителя. Ротор двигателя представляет собой полый тонкостенный металлический стакан. Схема асинхронного двухфазного двигателя изображена на рис. 36. Емкость С служит для создания у~ С Рис. 36 Рис, 37 в 90' между напряжением в обмотке возбуждения ия и обмотке Этот сдвиг фазы необходим ддщ создания вращасощедго магнит- сдвига по фазе управления иу його поля.
Уравнение моментов на валу асинхронного двухфазного двигателя такое: М =М,+Х вЂ”, Йй гп ' (2!) где Мд — — Мд(и, ю) — врацакдций момент на валу двигателя, Мс †моме сопротйвленйя, Х вЂ” момент инерции вращающихся частей, приведеннйй к валу двигателя. Механические характеристики двигателя, приведенные на рис. 37, являются нелинейными. Линеаризацию характеристик произведем путем замены их параллельными секущими, уравнение секущих м =м (22) где ад †коэффицие, зависящий от вида механической характеристики. Учитывая, что Мдо дзиу и подставив в формулу (21) выражения (22) и (23), получим (23) Йй Х вЂ” +Азы=дзиу — Мс Ж или Т„„— + ю = йуиу — й)Мс ф0 1 Х где Ау= —, й)= —, Т„=.--. Ад А, " й, ' Уравнение (24) представляет собой лннеаризованпое уравнение асинхронного двухфазного двигателя.
В том случае, когда элемент системы автоматического регулирования преставляет собой динамическую систему с конечным числом степеней свободы, которая обладает запасом кинетической энергии, его движение может быть описано системой дифференциальных уравнений Лагранжа второго рода. Пусть х„..., х„— обобщенные координаты динамической системы. Обозначим через Т кинетическую энергию сйстемы. Тогда система дифференциальных уравнений Лагранжа второго рода запишется в виде«' — — — (1 =1, 2, ..., и), д атл дт «П ~дх(~ дх« (25) где «"ч — обобщенные силы.
В общем случае обобщенные силы ()л= — --+ -Т+6(Г), дП дк« (28) дх; дх( где П вЂ” потенциальная энергия динамической системы; Р— функция рассеяния энергии; 7; (() — внешние силы, приложенные к динамической системе. Кинетическая энергия Т представляет собой квадратичную положительно определенную форму от обобщенных скоростей Т = — 7 тпцх«хь ! Ю (27) «, у=1 Потенциальная энергия П является некоторой функцией обобщенных координат системы. Функция рассеяния или диссипативная функция 1« характеризует собой скорость рассеяния энергии в системе и зависит от обобщенных скоростей.
Обобщенные диссипативные силы дд (Ь =- —, дх; можно определить по формуле 1х' ( (~я = — й;) (х,') — ' (28) (29) и )с = ~ Й, ~ ), (и) Йп. (30) «=-«о Уравнения Лагранжа второго рода в общем случае представляют собой систему нелинейных дифференциальных уравнений «> См., например: Д об р он р а но а В. В. и др. Курс теоретической механики «Высшаи школал, Г974, с. 365, 307 где функция 7(х()=-1 — в случае сухого трения и ~(х,')=х«вЂ” в случае вязкого трения.
Из формулы (29) следует, что диссипативная сила направлена противоположно вектору скорости х« и равна либо постоянной величине в случае сухого трения, либо пропорциональна скорости х,' в случае вязкого трения. Днссипативная функция в соответствии с формулами (28) и (29) принимает вид второго порядка. Линеаризация этих уравнений может быть про- изведена с помощью разложения в ряд Тейлора. Пример 4. Вывест который применяется и дифференциальное уравнение центробежного маятника, в качестве чувствительного элемента в некоторых системах автоматического регули- Ж' рования. Схема маятника изображена на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
