Чемоданов. Математические основы теории автоматического регулирования. Том 1 (952248), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Следовательно, уравнения прнмык у=-х и у= — х. Дли выисиснии картины фазовых траекторий построим изоклипы вдоль примой у=-х/2. Тангенс угла наклона изоклины будет у'=!/5. Поле направлений, соответствующее зюй изоклипс, изображено на рис. 25. На этом же рисунке изображены фазопыс траектории системы (35). Пример 2. Построить фвзовыс траектории системы уравнений с/х, с/у с// ' с// - — 4х -Зр, - . = 2х — Зу.
(36) Характеристическое уравнение го«темы (36) имеет вид ! 2 3 — Л ~ его корни: Л«=3, Лз= — 2. Начало координат ивлнстсн особой точной типа «седлом Найдем прнмыс й=-йхц проходнщие через начало ноордипат и нвлнющиссн фазовыми траскторинми. Дли определении козффициспгп й исключим время нз уравнений (36) с/у 2х — Зр и в полученное уравнение = —,— подставим у=йх, тогда с/х 4х — Зс/ 2 — ЗА ! й = — ', или Зй« вЂ” 7й+2=0; й«=2, й»= 4 — 3/с ' 3 191 Таким образом, прямолинейные фазовые траектории задаются уравнениями х д.—.2х, р= — -, 3' Для определения направления движения по фазовым траекториям найдем компоненты вектора фазавой скорости в точке (!, 2): х== — 2, у= — 4.
По асимп- Рис. 25 тоте у=2х изобраясающая точка стремится к наказу координат. Фазовые траектории изображены на рис. 26. Рис. 27 ис. 20 Пример 3. Построить фазовые траектории системы уравнении 3х Их 37 ' сЫ -=у, — - .= у — 2х. (37) Характеристическое уравнение системы (37) — Л ! ~ =- Лз — Л+ 2 = О, — 2 ( — Л его корни )«,»= в -+- 1у — /, поэтому начало координат ввлпетсн неустой- 2 ~ 4 чиним фокусом. Определим компоненты вектора фазовоп скорости в точке (1, 0); имеем 2=-0, у= — 2. Фазовые траектории системы (37) изображены на рис.
27. В случае линейной системы дифференциальных уравнений характер особой точки определяет движение системы при любых отклонениях от состояния равновесия. Для нелинейной системы уравнений характер особой точки определяет поведение фазовых траекторий лишь в некоторой малой окрестности особой точки, где справедлива система уравнений первого приближения. При рассмотрении поведения фазовых траекторий нелинейных систем на всей фазовой плоскости весьма важную роль играют особые траекторги1, Имеется три типа особых траекторий: 1.
О с о б ы е т о ч к и (состояния равновесия). Различные типы особых точек рассмотрены выше. 2. Изолированные замкнутые траектории. Изолированность замкнутой траектории означает, что в достаточно малой ее окрестности нет других замкнутых траекторий. Изолированные замкнутые траектории называются предельными циклам ес. В случае консервативных систем вся фазовая плотность заполнена замкнутыми траекториями, но ни одна из них не является изолированной, так как в любой ее окрестности существует другая замкнутая траектория, Замкнутым траекториям на фазовой плоскости соответствуют периодические движения системы. Предельный цикл называется устойчивым, если существует такая а-окрестность этого цикла, что все фазовые траектории, начинающиеся в е-окрестности, асимптотически при 7 — 1-+ос приближакггся к предельгюму циклу.
Если в любой, сколь угодно малой окрестности предельного цикла существует хотя бы одна фазовая траектория, не приближающаяся к предельному циклу при 1 -м + со, то предельный цикл называется иеусто11чивым, Устойчивым предельным циклам в системах автоматического регулирования соответствуют автоколебания. Характерная черта авто- колебаний — локальная независимость их параметров от начальных условий, 3. Сепарат рисы, Сепаратрисы разделяют фазовую плоскость на области с фазовыми траекториями различных типов.
В окрестности особой точки типа «седло» сепаратрисы являются асимптотами и называютси поэтому также «усами седел». Особые траектории разбивают фазовую плоскость на ряд областей, Характер движения в каждой из этих областей нетрудно определить, если известен характер особых точек и определена устойчивость предельных циклов. Таким образом, можно получить качественную картину всевозможных движений динамической системы. Для облегчения построения фазовых траекторий в некоторых случаях оказывается, как показано в примере 1, удобным по- а. р а1амодааоаа, т.
1 г93 строить семейство изоклин, Изоклины задаются уравнением «(у «(х — 4 о и определяют в каждой точке наклон касательной к фазовой траектории (см. 9 9). Пример 4. Построить фазовые траектории системы дифференциальных уравнений «(х «(у «(1 — = — х(!+ха) — 2У, — =х+у. «(! (38) Особые точки системы (38) являются решениями алгебраической системы уравнений хт+х+2У=О, х+у=о. (39) Решениями системы (39) являются х,=о, У,=-О; х,=1, у»= — 1; хз= — ! уз=!. ~ — 1 — Л вЂ” 2( Рис.
28 (41) Система первого приближения для системы уравнений (41) «(р Ч « Й ' Й вЂ” = — 4й — 2Ч, —. ==„+«1; (42) ее характеристическое уравнение à — 4 — Л вЂ” 2 ) = Лз+3Л -2=0, 1 1 — Л 3 «/17 корни которого Л,,= 2 Р 4 Таким образом, особая точка (1, — 1) является особой точкой типа «седло». бую точку (1, — 1). Тогда система уравнений и Ч запишется в виде «(» Й' — '= — в (4«+3(:,+4) — 2«1, Исследуем характеры полученных особых точек. 1) Особая точка (О, О). В эюм случае система уравнений первого приближения будет «(х «1у «(1 ' «() - -= — — х — 2у, --=х+у (40) Характеристическое уравнение для системы (40) имеет вид Корни этого уравнения Л %- р Таким образом, особая точка (О, О) является особой точкой типа «центр».
2) Особая точка (1, — 1). С помощью замены переменных «»=х — 1 Ч = у+1 перене. сем начало координат в осо- (38) относительно переменных 8 3) Особая точка ( — 1, 1). Перенесем начало ноординат в особую' точку, для чего сделаем замену переменных: $=х+1, т)=у — 1.
Система (38) перепишется следукхцим образом: »(Ч Ж вЂ” = — 5 гчз — 3(+4) — 2»1, — =$+Ч. М (43) Система первого приближения для системы (43) имеет вид г(е »Ь) Ж вЂ” »= — 4й — 2т), --=$+т). Ж (44) бц $+т) с$ — 4$ — 2»1 ' (45) будем иметь й= 4 2й, или 25»+55+1=0, 1+5 — 5 — У 17 — 5+'г'Г7 Уд й 4 йз »(у Уравнение нзоклины, для которой козффициент наклона — = 1, »(х у= —. (х»+2). х 3 На рис. 28 изоклина изображена штриховой линией, особые точки (О, О), (1, — 1) и ( — 1, 1) на рисунке обозначены буквами А, В и С, Для определения направления движения изображающей точки по фазовым траекториям найдем компоненты вектора фазовой скорости в точке Р пересе- чения асимптоты, проходящей через точку В с угловым козффициентом й, и оси Ох.
Уравнение асимптоты у-)-1=5,(х — 1). Точка 0 имеет координаты х= —, у=О. Компоненты вектора фазовой скорости в точке 0: 1+а» й» Фззовые траектории системы (38) изображены на рис. 28. Система (44) совпадает с системой (42), поэтому особая точка ( — 1, 1) танже представляет собой особую точку типа »седлом Для построения фазовых траекторий системы (38) определим асимптоты в окрестности особых точек (1, — 1) и ( — 1, !). Уравнение асимптот т) Подставив его в уравнение, полученное делением второго уравнения системы (42) на парнас: Глава Ч ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ й 15. МЕТОДИКА СОСТАВЛЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ Е Общие замечания.
Системы автоматического регулирования разнообразны по своему назначению и конструктивному исполнению, Поведение САР может описываться обыкновенными дифференциальными уравнениями, дифференциальными уравнениями в частных производных, разностпыми уравнениями и т, д. Рассмотрим методику составления уравнений для непрерывных САР с сосредоточенными параметрами, поведение которых описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями. Любая система автоматического регулирования представляет совокупность отдельных взаимодействующих друг с другом элементов, соединенных между собой связями.
Первым этапом при составлении дифференциальных уравнений систем автоматического регулирования являсгся разделение системы на отдельные элементы и составление ди~)хрерснциальных уравнений этих элементов. Дифференциальные уравнения элементов и уравнения связей между отдельными элементами описывают процесс в системе регулирования, т. е. изменение по времени всех координат системы. Зная уравнения элементов и уравнения связей, можно составить структурную схему САР. Структурная схема САР характеризует геометрию системы, т. е.
показывает, из каких элементов состоит САР и как эти элементы связаны между собой. На структурной схеме указывают пути распространения сигналов в системе. Состояние системы автоматического регулирования, а также каждого входящего в нее элемента характеризуется некоторым числом независимых переменных.
Этими переменными могут быть как электрические величины (ток, напряжение и т. д.), так и механические (скорость, угол поворота, перемещение и т. д,). Обычно, чтобы характеризовать состояние системы или ее элемента, выбирают одну обобщенную координату на входе системы или элемента и одну— на выходе. Будем обозначать входную величину д(Г), а выходную х(г).
В ряде случаев такое представление невозможно, так как система или ее элемент могут иметь несколько входных и выходных величин. В многомерных системах можно рассматривать векторные входную и выходную величины с размерностями, совпадающими соответственно с числом входных и выходных величии САР. 2. Составление и лииеаризация дифференциальных уравнений элементов систем. При составлении дифференциальных уравнений систем автоматического регулирования основной задачей является составление дифференциальных уравнений отдельных элементов системы.
Уравнения отдельных элементов составляются 196 на основе тех физических законов, которые характеризуют поведение элемента. Зто могут быть законы механики, электротехники, теплотехники, оптики и т. д. Уравнения, описывающие поведение элементов, могут быть алгебраическими и интегральными, но чаще всего эти уравнения являются дифференциальными уравнениями.
При составлении дифференциальных уравнений элементов САР следует стремиться возможно точнее описать поведение данного элемента, Однако сложность получаемых при этом уравнений затрудняет исследование свойств их решений, Поэтому при составлении уравнений необходимо стремиться к разумному компромиссу между возможно более полным описанием поведения элемента и возможностью обозрения и исследования полученных уравнений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
