Чемоданов. Математические основы теории автоматического регулирования. Том 1 (952248), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Матрица Т вЂ” неаырождениая, следовательно, решения х,, у, и лм уа линейно независимы. Таким образои, корням ),,=! и Ла= — ! характеристического уравнения соответствуют решения 2,---2сса(+яп ! и хе=2 яп ! — сги! !7, =- 2 гти ! — мп ! уз=2 яп !+сов !. 3) )и- — -1. Решение системы (70) ищем в виде ха = а тес, уа = ааег 170 Х4=Е, Ус= — Е Покажем, что найденные решения образуют фундаментальную систему решений.
Для этого составим определитель Вронского: е' ес — е — е с — с е' — е ' — е' е' 2 оси С+яп С 2 сев С вЂ” яп С 2 яп С вЂ” сов С 2 всп !+сов! 2 схн С+ в!п С 2 сов! — япС .Х! Хв ХЗ Ус Ув Ув Х,' Хв' Х', У1 Ув У4 Ус х,' )У (с) = — 2 яп !+об! — 2 в!п С вЂ” сов С Вычислим определитель Вронского при !=0: 2 — 1 1 2 1 — ! — ! 1 2 1 — 1 — 1 2 — 1 1 )р(о) = Таким образом, найденная система решений линейно независима и, следова. тельно, образует фундаментальную систему решений.
Общее решение системы (70): х=сс(2омс+в!п С)+св(2 в!и! — сов!)+свес+осе с, у=сз(2совС вЂ” яп С)+с,(2 яп !+оса!) — с,е' — г,е с. й !3. НЕКОТОРЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 1. Метод последовательных приближений. С помощью метода последовательных приближений можно получить решение задачи Коши для любого дифференциального уравнения (лннейного или нелинейного) или для системы уравнений, удовлетворяющих условиям теоремы существования и единственности. Суть метода поясним на примере решении дифференциального урашсеппя первого порядка —,— =7'(с, х).
(!) Пусть требуется найти решение х=$(1) уравнения (1), удовлетворяющее начальному условию й (!е) = хо. (2) В 2 10 было показано, что дифференциальное уравнение (1) с начальным условием (2) эквивалентно интегральному уравпсшпо ь (г) = х„+ ~ 7 (т, ь (т)) с(т. (З) с, Подставив это выражение в систему (70) и сократив иа е', получим для определения постоянных ас и ав уравнение 2а,+2а,= — О. Его решение, например, а,=1, аз= — 1, тогда Ха=с'4 Ув- — — — Е. 4. Хс= — 1. Решение системы (70), соответствующее этому корню характе,ристического уравнения, ищам в виде Хв=асЕ, Ус=а,в" .
Постоянные ас и ав определяются из уравнения 2а,+2ав=О. Его рсшспнс а =1, а,= — 1, тогда При решении уравнения (1) методом последовательных приближений в качестве нулевого приближения 5а(г) выбирается любая удобная функция (например, $е(() =х,) и подставляется вместо $(() в правую часть уравнения (3). Находится первое приближение решения уравнения (1) в виде ьг (() ха+ ~ ! (т се (т)) с(т. (4) с, Затем в правую часть уравнения (3) вместо $(() подставляется функция $т ((), определенная по формуле (4).
В результате интегрирования получается второе приближение решения $в(!); а-е приближение решения определится выражением ! $„(() =ха+1)(т, $„т(т)) с(т, (5) Выше в 9 10 показано„что л-е приближение $„(() при а — ьсо будет стремиться -к й(() — решению уравнения (!). Аналогично находится решение х=$(() системы дифференциальных уравнений — „' =(с((, х„..., х„) (!=1, 2, ..., п), (6) удовлетворяющее начальным условиям Ь((о)=хсо (1=1, 2* " л). (7) Пример 1.
С помощью метода последовательных приближений найти решение системы уравнений ' с(х Ду — =х+у, — =Зу — 2х, с(! (8) удовлетворяющее начальным условиям х (0) = 1, у (0) =О. (9) Интегральные уравнения, вививалентиые системе (8) и начальным условиям (9), будут иметь вид х=1+) (х(т)-1-у(т)1 сст, у $(зу (т) — 2х(т))с(т. (10) о о Возьмем в качестве нулевого приближения решения хч 1, у,=О; тогда первым приближением решения будет хс(!)=!+)с(т=!+с, ус(!)=) — 2с(т= — 211 о о второе приближение решения: св хв (!) = 1+ (1+ т — 2т) с(т = 1+! — ' —, 2' Ь уа (!) = ~ ( — Ог — 2 — 2т) с(т = — й — 4(а; 172 третье прибливкение решения: то з !в 3 хз (О = 1+ ~ (1+ т — .
-- 2т — 4тв ) ~(т = 1+ ! — - — — — !з. 2 ) 2 2 о с !1 уз(1)= ~ ( — бт — !2тв 2 — 2т+тв)кт= — 2( 4(в ьз !з о Точное решение системы (3), удовлетворяккцсе начальным условиям (9), будет (см. пример 2 в $ 12) х=-ев~ (сов! — ми!), у= — 2ев~ мп !. (11) Нетрудно видеть, что третье приближение представляет собой с точностью до М разложение в ряд Тейлора решения (1!) в окрестности точки 1=0. Чем больше членов разложения взять, тем выше точность приближения к точному решению. Решение получается в виде бесконечного ряда. К недостаткам метода последовательных приближений следует отнести: 1.
Может оказаться, что при вычислении какого- либо приближения нельзя вычислить соответствующий интеграл. 2. Скорость сходимости последовательности Я„(!)) к решению $ (!) может быть невысокой и для достижения требуемой точности приближения потребуется вычислить большое число членов последовательности. 3. Решение почти всегда получается в виде бесконечного ряда, и поэтому в том случае, когда нельзя вычислить сумму этого ряда, свойства решения трудно обозримы.
Нз-за перечисленны)с недостатков метод последовательных приближений имеет ограниченное применение, . 2. й)етод ломаных Эйлера. Способ решения дифференциальных уравнений с помощью метода ломаных Эйлера рассмотрим на примере решения уравнения первого порядка *1 -„-- = 7 ((, х). Найдем решение х = 5 (!) уравнения (1), удовлетворяющее начальному услови!о (2): $(!з) =хз.
По-прежнему считаем, что уравнение (!) удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности. Построим е-приближенное решение уравнения (1), которое при в-+.О будет стремиться к искомому точному решению. Для этого, используя результаты, полученные в 9 !О, построим на плоскости (, х б-сеть, такую, что для заданного в)О при )! — !)(6 и 1х — х)<6 справедливо неравенство ~! ((, х) — 1((, х))(е. *' Решение систем дифференциальных уравнений с помощью метода ломаных рассмотршю, например, в кпл Э. К а м к е. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. «1(вука», 1971. !73 Из точки ((„хо) проведем прямую х — хо=)((е хо) (( — (о) (12) и так далее.
При этом получается некоторая ломаная, которая аппроксимирует искомую интегральную кривую. В 3 10 было показано, что выбирая соответствующим образом величину шага 6, можно с любой степенью точности приблизить построенную лома- ную к точному решению. Пример 2. Найти решение х=й(!) уравнения г(х — = — соз 7, Ж (14) удонлетпорпющее начальному условию В(0)=-1. (15) Решение х=й(Г) будем искать на отрезке [0,11 с точностью е=-0,1.
Таблица 1 0,2 о,о о,! 0.4 Продолжение табл. 1 од од о,е од 0,470 — (),329 — 0,700 — 0,717 0,488 0,437 — 0,270 — 0,620 — 0,783 0,457 Для этого необходимо выбрать 6-сеть с шагам 6=0,!. Необходимые данные для построения е-приближенного ранения указаны и табл. 1. Построение решения приисдепо на рис. !О. Точное решеинс х-=~, (!) заданного уравнения, удонлетпорнющсс начальному услопию (!5), будет — з!и! (16) Па рис. 1О зго решение изобрюкеио гптрихопой линией. 174 до пересечения с одной из сторон соответствующего квадрата (см.
рис. 1б). Точку пересечения обозначим ((ы хь) и из нее проведем прямую х — х,=-)'((„хт) (! — (т) (13) 3. Решение уравнений с помощью степенных рядов. Если правые части системы уравнений (6) — '=1'(1, хт, ..., х„) (1=1, 2, ..., и) ггг Разлагаютса в степенной РЯД в окРестности точки (у„хто,..., х„,), то решение системы уравнений (б) может быть найдено в виде степенных рядов с йо неопределенными коэффициентами, Приравнивая коэффициенты прн соответствующих степенях 1, можно вычислить козффициенты этих рядов. дг Способ решения ур анне- ро— ний с помощью степенных дг— й рядов рассмотрим на примере решения уравнения первого порядка (!) и йг йг йт а» дк рд о,г йг рд 1а -„-=1(1, х).
Рис. 16 Пусть функция 7'(1, х) разлагается в степенной ряд в прямоугольнике ~1 — (о(а-=со, ~ х — хо)(Ь= со ~ (1, х) = ~, вн (1 — 1 )' (х — хо)г. , 1=о (17) Решение х= й(1) уравнения (1) ищем в виде ряда вв(1) хо+ ~а ба (1 та) ° а.—. 1 (18» КозсЯициенты Ьо вычисляются путем приравнивания козффициентов при одинаковых степенях 1 —.1о в левой и правой частях равенства ОЭ / С г / в по (1 — го)'~ ~а бо (г — го)") =. ~а ггоо (г — го) ° (19) Сг о а-.—.
~ а--1 Этот метод применим и для решения дифференциального уравнения п-го порядка. Пример 3. Рассмотрим процесс решения уравнения тих нх — -1- — 1- гх =- О. вго Ж Это уравнение есть часпняй случай уравнения бесселя, встречающегося в ма. тематичесной физике. Будем искать нетривиальное решение х=$(1) этого уран (ения в виде ряда $(!).= ~ Ьлгл. (21) л=е Положим, что ь(0)=Ье, тогда !6(1)= ~ Ьл( + = ~ Ь„,à —, л=о э=з "1 (!) '~ ЬЬл( —. Ж л=! (22) 1 "~ш(') = 7' л(л — 1) ь,!л-!. л=з Подставив выражения (22) в уравнение (20), получим тождество ь,+ ~ (ьл,+л ьл)! — ==о, л=-2 (23) из которого следует, что Ь,=О, ЛЗЬ(,+Ь(,, 0 (6=2, З, ...).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
