Чемоданов. Математические основы теории автоматического регулирования. Том 1 (952248), страница 26
Текст из файла (страница 26)
е2«! е« вЂ” ! Е! «! (Еь«! . Еь«! (е« !)! (е« вЂ” 2 0 е ~ ... (е 2)! е к(() = (! 2) О О 0 0 ... е"' О или ""(~) = Пе""' «=1 В развернутом виде это выражение совпадает с выражением (9). Покажем, что если у,(!) (! =1, 2, ..., п) — некоторые линейно независимые решения системы (4), то вектор-функции х, (() (2= — 1, 2, ..., п), связанные с решениями у2(1) соотношением х, (() = Су! (1), (14) являются решениями системы (1), притом также линейно независимыми. Здесь матрица С вЂ” матрица линейного преобразования (2). Действительно, так как у,(() есть решение системы уравнений (4), то — „= С-'АСу, (!); но х! (!) =Су! ((), поэтому еб! (!) С-' — „'( ) — С 'АСС 'х! ((), откуда — ""' ( ) — Ах! (() (1 = 1, 2, ...
! а). Нетрудно видеть, что )Р'(0)=1, т. е. определитель Вронского в одной точке отличен от нуля. Следовательно, построенная система решений (!1) образует фундаментальную систему. Формулы (9) дают общее решение системы (4). Действительно, общее решение системы (4) есть е у= ~ с2у,((). (13) 2=! Таким образом, хс(1) =Сус(1) — решение системы (1). Линейная независимость решений х, (1), ..., х„(1) вытекает из следующей леммы. ЛеММа. Если и вектоРных ФУнкЦий Х, (с), ..., Х„(1) линеино независимы, а ус = Вхс — некоторое невырожденное линейное преобразование, то векторные функции у, (1), ..., у„(1) будут также линейно независимы (и наоборот).
Доказательство. Предположим, что векторные функции ус, ..., у„линейно зависимые, т. е. существуют постоянные см с„..., с„, причем не все равные нулю, такие, что с,у,+с„у, +... ...+с„у„— О. Но ус=Вхс, поэтому В (ссхс + ссхв + + слх ) О или ~Л~~ ~ссХс О с=с что невозможно в силу линейной независимости функций х„... ..., х„. ° Таким образом, если известна матрица С, с помощью которой приводится к жордановой форме матрица А н известно решение (9) системы (4), то общее решение системы (1) находится с помощью равенства (14). Обычно при решении систем вида (1) не занимаются приведением матрицы А к жордановой форме, а поступают следующим образом: вначале определяют характеристические числа матрицы А, а затем, учитывая, что решение системы (4) имеет вид (9) и связано с решением системы (1) соотношением (14), ищут решение системы (1) в виде х,(1)=,У, Ру(1)ес('с (с'=1, 2, ..., и), (15) с=с где многочлен Рс.
(1) имеет степень не выше е.— 1. Коэффициенты многочленов Ру(1) можно определить методом неопределенных коэффициентов. 2. Фундаментальная матрица однородной системы. Фундамен« тальная матрица линейной однородной системы уравнений с постоянными коэффициентами имеет вид Л' (1) = ел (с -с С Выявим структуру экспоненциальной матрицы е'н — н>. Пусть матрица А приведена к жордановой форме, т. е. имеет вид А1сс Ас' 1 О;А„ 154 где клетка А4 соответствующая характеристическому числу Л„ ООО...Л4 есть квадратная матрица размера е,хеь Рассмотрим частный случай, когда 14= О.
Тогда Х(1) е"'— является фундаментальной матрицей решений системы (1), причем Х(0) =Е. Нетрудно показать, что А', (16) О ':А~~ Действительно, равенство (16) непосредственно следует из правила умножения матриц, если считать клетки А„А„..., Ая элементами матрицы А. С учетом равенства (16) можно написать: 'А, 4=а О:А„ О .А~Я 0 О::ел"4 Таким образом, если матрица А имеет жорданову форму, то ое44 (17) е44= ~ 4=О 1 О ... 0 О Л, 1 ... О А4= 0 0 Л,...О 1 А.1 1 Р И и — о () И .:4=О еле '',„-„-: о Фундаментальная система решений У(0 для случая, когда матрица А приведена к жордановой форме, дается формулами (11), причем эта фундаментальная система решений удовлетворяет начальным условиям (10), т. е. У(0) =-Е.
В силу единственности решения задачи Коши эта фундаментальная система решений должна совпадать с е"'. Отс1ода следует, что е — ! еь г 1елр ы; (и — 1)1 е ' °" (е; — 2)1е ' Ф Аэ (18) 0 0 ... е'1' Частное решение этой системы для произвольной векторной функции Г(1) можно найти методом вариации произвольной постоянной. Если компоненты векторной функции 1".(1) имеют специальный вид, а именно А (1) = егер(Р, (20) где с; и я могут быть и комплексными числами, а 1) — целое неотрицательное число, то частное решение может быть найдено изложенным ниже способом. Приведем матрицу А к жордановой форме. Для этого, как н ранее, сделаем замену переменной: х = Су, причем матрица преобразования С выбрана такой, чтобы С 'АС =1, гдето †жорданова форма матрицы А.
Тогда система уравнений (19) примет вид д", = (у+ С 'У(1) (21) Здесь С-' — числовая матрица. Произведение С-~г'(1) представляет собой вектор-столбец. Введем обозначение: С-'~(1) =Г"(1) и пусть (22) С '= см ... сь, ...,.] 6(1) ~ ~.(1) (23) Тогда получим, что Ь(1) = ~ Сгэеье"Ча=ееа~(а Ь-1 3.
Нормальная линейная неоднородная система уравнений с постоянными коэффициентами. Линейная неоднородная система уравнений с постоянными коэффициентами в векторной форме может быть записана следующим образом: д, — — Ах+у(1). (19) где с) = ~ смсм У;-: ! (24) 3 :: с;е 9а с;е"Ч" ' иуе, М ).,у„,; '+ , ')"гуо+1 + Уо ~.2 +: ~Уев+1 ег с',н.те'М Э у„+ с„'е"Ф Рассмотрим отдельно первую подсистему системы (25), соответ- ствующую клетке А, с собственным значением ),: д~ = )'гй+ ~Ь~ с еач(в Уг+ Х|у. .+ Уя+ с;е'М (26) еу, ~11 Хщ» +се е е(в Сделаем в подсистеме (26) замену переменных, положив у,=гахн (1=1, 2, ..., е,).
(27) ег с,'с< -х»ч(а. Ф При интегрировании подсистемы (27) следует различать два случая в зависимости от того, равны значения а и Ц или нет. Рассмотрим эти случаи, Запишем систему (21) в скалярном виде еу~ — = )"~уг+ Уе+ <И ~" 3У2 + Уа + еу Тогда подсистема (26) примет вид ~~' = г +с'е~" — мм(Ь, — = г,+с,'ек" — г м(а ! с,',е'Ча (25) 1. Пусть а'ФЛ». Интегрируя уравнения системы (27) после.
довательно, начиная с последнего, получаем г!=Ма!(1)е'" " (»=1, 2, ..., е»), (28) где Ма(1) — многочлены по !' степени не выше (1. Отсюда следует, что, у!=Ме(1) е~' (»=1, 2, ..., е!). Если для всех корней Л» характеристического уравнения (А — ЛЕ(=0 справедливо, что Л»~а, то все компоненты решения у!(!=1, 2, ..., и) будут иметь вид у; = М!а (!) е . Неизвестные функции у, и х, связаны соотношением х= Су, поэтому частное решение системы (19) можно записать следую»цим образом".
и х!=,У, с!»М»(!)е =М! (Ое"' (»=1, 2, ..., и), (29) »=1 где М! (!) =,У, смМ» (г) (! =1, 2, ..., и) — многочлены по( степени »=! не выше й. Коэффициенты многочленов Мг (1) можно определить методом неопределенных коэффициентов путем сравнения коэффициентов при одинаковых степенях ! после подстановки в уравнения (!9) значений х, из выражения (29) и сокрашения полученных выражений на е"'. 11. Пусть теперь Л,=а. Тогда подсистема (27) запишется в виде — = г,+с,'га, ег! е! — ' = г»+с,'Ф, е! (30) ег, —" = с,',Р.
и Интегрируя последовательно, начиная с последнего, уравнения (30), получаем г!=М!" Я(з (»=1,2, ..., е,), глеб'ы~(!)— многочлен от 1 степени не выше е,+1 — !. Тогда у,=М!~' '(1)е~га (»=1, 2, ..., е!). Аналогичный вид имеет решение у, (1) для тех подсистем, которые соответствуют клеткам А», собственные значения Л„ которых удовлетворяют равенству Л„ =а. Следовательно, система (!9) будет иметь частное решение х, = Ма"' (1) е (! = 1, 2, ..., и), (31) где Ма!'+' (!) — многочлены от 1 степени не выше р+е, а е — наивысший показатель степени у элементарных делителей матрицы А — ЛЕ, соответствующих собственному значению а.
Коэффициенты многочленов Ме~' находятся, как н выше, путем прнравннвання коэффициентов прн одинаковых степенях ! после подстановки решения (31) в уравнения (!9) н сокращения на е '. Пример !. Решить систему уравнений г(х г(р — -=х — у, — =у — 4х. Ф ' г(Г (32) х,= — 'е сг 2 уг=сге Второе решение снсгемы уравнений, соответствующее корню Лз=З, определим аналогичным путем. Решение ищем в виде х,= — а,с", у,=а,сзг. Имеем следующую систему уравнений для определения постоянных аз и а; — 2аз — аз = О, — 4 аз — 2оз = О. Решая эту систему получаем, а,=с, а,= — с./2; тогда хз =- — — '- е, уз =- су'-'г.
х и 2 Общее решение системы (32) будет иметь вид х=--е — — зез, у=сгс +саек, .з -г сз 2 2 Пример 2. Решить систему уравнений ггх г(р = х+р, — — = Зу — 2х. 3! Определим корни характеристического уравнения ! — л ! А — ЛЕ(=-/ =;Лз — 4Л+5 = 0; — 2 3 — Л! Ль =-2 а.1. Первое решение игцем в сответствии с формулой (16) в виде х =се'з+лг. р =а,е~з~И После подстановки х, и у, в систему уравнений (33) и сокращения обеих частей полученных равенств на е""дг получим систему алгебраических уравнений для определения коэффициентов аг и а: ( — 1 — 1)аз+аз=О, — 2а,+(1 — 1) аз=О, Решая эту систему, найдем; с,+с, . сз — сг па=сз+(сз, а,= 2 +!в 2 1 Найдем корни характеристического уравнения ! А †ЛЕ (=0: — ! 1 — Л вЂ” 1~ =.Лз — 2Л вЂ” 3=-0, откуда Л, — 1, !.,=3.
— 41 — Л! Первое решение системы уравнений (32), соответствующее характеристиче- скому корню Лз= — 1, ищем в соответствии с формулой (15) в виде хз=а,е г, р =а е г. Для определения аз н а, подставим это решение в систему (32) и сократим обе части полученных равенств на е г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
