Чемоданов. Математические основы теории автоматического регулирования. Том 1 (952248), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Составим матрицу Х(1, 1а)=Х~(1) Хр'(1о). (19) Столбцы этой матрицы также образуют фундаментальную систему решений - системы уравнений (3). Отметим, что Х (1„1э) = ыо Выражение (16) представляет собой систему линейных алгебраических уравнений относительно с; '(1) (1=1, 2, ..., п). Определитель системы уравнений (16) есть определитель Вронского для фундаментальной системы решений. Он отличен от нуля, поэтому система (16) имеет единственное решение с( (1) =гй, (1) (1=1, 2, ... ..., п).
Интегрируем полученные равенства: с1 (() = 1 Ф, (1) й; (17) с учетом (17) искомое частное решение имеет вид Ф (1) = Х Ь. (1) ~ сР (1) й. = Х,(1,) Х,'((о) =Е. Назовем матрицу Х((, 1,) фундаментальной матрицей системы (3). Нетрудно проверить„что фундаментальная матрица Х((, 1,) удовлетворяет матричному уравнению ~~ (~ о) А (() Х (( В самом деле,- лх(д ).) лх'(~)Х-''1, Гд~'(') "Ф" (') "В" (!)1 Х ''( =[Афо(()А~о(() "Афо(1))Х1'((о)= — АХо(1)Х~'((о)=А.Х(1, (о). Решение В(() системы уравнений (3), удовлетворяющее начальным условиям $((о) =х„можно записать в виде $(() =Х(1, 1,) х,.
(20) Действительно, выполнение начальных условий для решения следует из равенства $((о) =Х((о (о) хо=-Ехо= — хо. Кроме того, — „; ' хо=А(()Х((, (о)хо=А(1)$(1) Таким образом, мы показали, что $ (1) = Х (1, (о) х, является решением системы (3), удовлетворяющим начальным условиям $((о) =- =- хо.
Для определения решения неоднородной системы уравнений (2) сделаем замену неизвестных функций. Положим х=Х((, (о)у, (21) тогда "„' ="~((; '"'У+Х(1, (о) "У, =А (() Х((, (о)у+Х((, (о) ф = =А (() Х((, (.)у+У(К), откуда ,тр = Х (( (о)У(о). (22) Найдем решение х = х (() неоднородной системы уравнений (2), удовлетворяющее начальяым условиям х ((о) =-х,. Из формулы (21) следует, что у((о) =Х-'(1., (о) х,=х.. (23) Решим систему уравнений (22) при начальных условиях (23): Ф у(1) =х,+~ Х'(т, (,)~(т)о(т. Подставляя найденное значение у (1) в (21) и учитывая, что Х(1, (о) Х-'(т, 1,) =-Х(1, т), будем иметь х (() = Х ((, (о) хо+ ~ Х (1, т) у (т) «т.
(24) Формула (24) позволяет найти решение х (г) неоднородной системы уравнений (2), удовлетворяющее заданным начальным условиям х (1о) = х„если известна фундаментальная матрица Х (1, (о) однородной системы (3), Следует отметить, что если матрица А постоянная, т. е. рассматриваемая система дифференциальных уравнений является системой линейных уравнений с постоянными коэффициентами д —, — — Ах+у(1), то решение х (1) атой системы, удовлетворяющее начальным усло- виям х (Я = х„запишется в виде х(() =Х(() хо+~ Х(1 — т)~(т) йт, (25) Это равенство легко проверяется путем почленного дифференцирования матричного ряда ,и ..
'5~ Ао (Š— ~о)о И о=о Из равенства (26) следует, что матрица е" и — ь» является реше- нием матричного уравнения — = АХ. Решение ели — о» удовлетворяет начальным условиям Х((о)=Е. В силу единственности решения получаем следующее выражение для фундаментальной матрицы однородной системы с постоянными коэффициентами: Х (() ели — ь» (27) Структура матрицы ео' рассматривается ниже в 9 12. 6. Линейное уравнение и-го порядка. Линейное уравнение и-го порядка имеет вид ао(1)хов+ао(1) хы и+ ...
+а„(1) х=) (1), (28) 142 где Х(1) — матрица, столбцы которой состоят из фундаментальлх нои системы решений однородной системы уравнений — =Ах, лу причем Х(1,) = Е. Таким образом, Х (1) — фундаментальная матрица и может быть найдена по формуле (19).
Формулы (24) и (25) носят назва- ние формул Коши, Если А — постоянная матрица размера пхп, то справедливо матричное равенство еу — (е" н — ь») = Аели — н» (26) где а,((), ..., а„(1) — непрерывные функции для 1~ (а, Ь), причем а, (1) ~ О. Соответствующее этому уравнению однородное урынение имеет вид (29) Уравнения (28) и (29) путем введения новых вспомогательных функций х, = х, х, = х', ..., х„= х~"-» (30) дх, Ж = х„ лх~ ир = хз.
(31) ах„а„а, ~ п) — = — — х,†...— х„+— М ао ао ~ аа дх~ Н вЂ” - =- хм ах, -„- =- х„ (32) дхе ач а, - -= — --х; —...— — х Ж а„' '' а или в векторной форме где О х, О О О О ... 1 А(1) = О хл а„ а„ ~ а„ ~ а, ао а ао ' " а, ао Системы (31) и (321 являются частными случаями линейных систем, рассмотренных выше. Рассмотрим однородную систему уравнений (32). Зададим начальные условия а,(1)х)ю+а,(г) х'" О+ ..
+а„(1) х=О. можно свести соответственно к системам уравнений у = А (1) х+~(1) и —,"; = А (1) х, О 1 О ... О О О 1 ... О Вх((а)=хм $х(го) =4 °" г йл(1о) =хо ° (33) из В силу теоремы единственности система (32) имеет решение Ь (1) 22 ( ) $2 Р) 2 х(1) ==- ~ сД! (1). 2=! (34) 3. Если функции $,(г), ..., $„(4) есть решения уравнения (29), то определитель Вронского $2 (!) ° " $ (!) М(0 " Ы(() Ь (О Е (() К (У) = для этого уравнения либо тождественно равен нулю, либо не обращается в ноль ни в одной точке интервала (а, Ь).
4. Формула Лиувилля для уравнения (29) имеет вид с 112 (1) = В' (1,) е (35) Неоднородное линейное уравнение (28) сводится к линейной системе (31), поэтому его общее решение такое: 2 х(1) = Х с!22 (1)+!г(1) (36) !44 удовлетворяющее заданным начальным условиям (33) и определенное на интервале (а, Ь). Исключая из системы (32) последовательно неизвестные переменные.х„..., х„, получим, что первая компонента $2(1) решения системы(32) представляет собой решение уравнения (29). Таким образом, существует и притом единственное решение уравнения (29), определенное на интервале (а, Ь) и удовлетворяющее начальным условиям х„х,', ..., х!" Все сказанное выше справедливо также и применительно к уравнению (28).
Так как уравнение (29) сводится к линейной однородной системе (32), то решения уравнения (29) обладают всеми свойствами решений линейных однородных систем, а именно: 1. Множество решений уравнения (29) образует п-мерное линейное пространство. 2. Всякая система из л линейно независимых решений $2(1), $2(1), ..., 5„(!) является фундаментальной системой и общим решением уравнения (29) будет где $1(г), 5,((), ..., $„(г) — фундаментальная система решений уравнения (29); с~ (1=1, 2, ..., л) — произвольные постоянные, а <р(1) — частное решение уравнения (28). Для нахождения частного решения ~р(1) уравнения (28) можно использовать метод вариации произвольных постоянных. При этом система алгебраических уравнений для нахождения с((г) имеет следующий вид: с1 (() $1 (()+с,'(() $т (()+ ...
+с' (() 5„(1) =О, с~ (() $; (() + с; (1) Ц (() + ... + с„' (1) 5'„(1) = О, (37) 4 (г) В)" ~ (() + с,' (е) Вь" и (г) + ... + с.' (() а и (() = — у (1). Определитель этой системы есть определитель Вронского для линейно независимой системы решений ~,((), ..., $„(О, поэтому 11т(1) ~'О, и система (37) имеет единственное решение. Интегрируя полученные значения для с((1), найдем с~ (1) и тогда искомое решение ~Р (1) =- Х сг (г) Ь (г) ~=-1 Как и для системы линейных уравнений, для неоднородного .аинейного дифференциального уравнения (28) справедлива формула Коши.
Пусть 5,(1), ..., $„(г) — фундаментальная система решений уравнения (29). Составим решение х=х,(г, т) уравнения (29), удовлетворяющее начальным условиям х,(т, т) = х,' (т, т) = ... = х,'" -" (т, т) = О, х,'" -" (т, т) = 1: (38) л х, ((, т) = '5, 'с, (т) 5, ((), а=1 где с,(т) определяются из системы уравнений сД,(т)+ ... +с„$„(т) =О, сД, '(т)+ ... +с„~„'(т) =О, (39) сД (т) + ... + с„~~," ~ (т) = 1 . Определитель этой системы представляет собой определитель Вронского фундаментальной системы решений $,(г), ..., ~„(1) и поэтому не равен нулю. Система (39) имеем единственное решение с, (т), ..., с„(т).
Следовательно, решение х, ((, т) определяется единственным образом. Решение х (1) уравнения (28), удовлетворяющее начальным условиям м — и х(Ф,) =х„х'(1,) ==х,'„..., хы и (1„) =х, (40) 14з дается формулой Коши х (!) = гр (!) + ~ х, (1, т) ( (т) с(т, (4! ) где ф(() — решение уравнения (29), удовлетворяющее начальным условиям (40). Пример 1. Найти общее решение линейного однородного уравнения второго порядка 21, 2 (1 — Р) х" — 2гх'+ 2х = О, или х' — х'+ х =- О.
1 — Р 1 — Р 21 2 На интервале ( — 1, 1) коэффициенты — и — являются непрерыв- 1 — Р 1 — Р ными функциями. Непосредственной подстановкой нетрудно убедиться, что х= = Г является решением уравнения. Найдем второе решение, линейно независимое с первым. Для этого воспользуемся формулой Лиувилля (8) зт ,'(г) (1) 1 )р (г) = ~ ; , ! = )р (1,) " х,'(1) х,'(1) ~ В нашем случае х,=Г, тогда Раскрывая определитель, получим уравнение для нахождения хз(Г): с Гх',— хз= —, или 1=.-) =.
— 1~ ) ) гз(! — (з) откуда хз г г(Г г пГ с с 11+1 — з = с ! — +с ь —. +от= — — + — !п ~ — ~+со )Р )1 — Р ~ Г 2 !! — Г 11+1 ! =,х, (Г)+с (1)= Г+ ( — !+ !п ~~ /! 2 !1 — 11' Пример 2. С помощью формулы Коши найти решение х(1) уравнения (1 — г9 х" — 2гх'+ 2х=! (1), удовлетворяющее начальным условиям х(то)=хч х (Га)=хо (42) В предыдущем примере было получено общее решение соответствующего 11+1 ) однородного уравнения х=с,(+сз ( — 1+ — 1и ~ — ~). 2 !1 — Г)' Решение х,(Г, т) однородного уравнения, удовлетворяющее начальным усло- виям х„(т, т)=О, х',(т, т)=1, (43) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
