Чемоданов. Математические основы теории автоматического регулирования. Том 1 (952248), страница 19
Текст из файла (страница 19)
4. Метод Лагранжа. Рассмотрим удобный для практики метод приведения квадратичной формы к каноническому виду. "См., например; Курош А. Г, Курс высшей алгебры. )»1., «Наука», 1975, с. 181. 110 Пусть дана квадратичная форма 1(х, х) = ~ ~', а;ЯД,=хтАх.
(20) 2=~ 1=~ Предположим сначала, что а„=а„=...=а„„=О. Лля опреде. ленности положим, что а22 ~ О. Выполним преобразование: 4=Ч вЂ” Ч., $2 Ч1+ Ч2 22 =Ч2 (21) ьл Чл Матрица преобразования (21) неособенная, поэтому числа Ч2 являкпси координатами вектора х в некотором новом базисе, Квадратичная форма принимает вид 2а222Д2 = 2а„(тп — Чт) (тп+ Ч2) = 2а22Ч,' — 2а22Ч2 В результате преобразования в квадратичной форме появились квадраты координат с отличными от нуля коэффициентами. Предположим теперь, что ам~О.
Соберем все члены, содержащие $,: а22К+2а,ДД, +...+2а,ДД„. Выделив здесь полный квадрат, представим зто выражение в виде — (агД2+ а22$2+... + а2Д„)2+..., 2и где вторым многоточием обозначены члены, не содержащие йг. Сделаем новое преобразование переменных: Ч2е атД2+а2Д2+...+а2Д„=Ч2, 22 Ч2 (22) 111 Так как а22ФО, матрица этого преобразования также невырожденная, поэтому числа Ч„Ч„..., Ч„являются координатами вектора х в новом базисе.
Подставляя вместо $, их выражения через Ч,, найдем 1(х, х) = — Ч,'+),(х, х), Здесь 1(х, х)— ап квадратичная форма, содержащая только 21„21„..., 21„. Один квадрат выделен. К форме 12(х, х) можно также применить указанные выше преобразования, в результате выделится еще один квадрат и т. д. После применения конечного числа линейных преобразований придем к тому, что квадратичная форма 1(х, х) в новом базисе будет записана в виде суммы квадратов новых координат пере. менного вектора х с некоторыми козффициентами, т. е.
будет приведена к каноническому виду. Пример 6. Привести к каноническому виду квадратичную форму ! (х х) тт$з+чтчз+чзЬ Выполнив преобразование Кт = т), — тм $з = тв+ та, Кз = тв, получим ! (х, х) = т)зз — Ч!+2твти. Теперь запишем т)з+2твта=(цт+Чз)з — т)зз. положим кт=(чз+з)з)з, $з=ти, чз=ти, тогда /(х. х)='Ц вЂ” ч! — $3: Матрицы перехода равны: Сз 1 1 О Сзз О 1 О следовательно, 1 Π— 1- 1 — 1 — 1 С,= О 1 О, С=СзСз= 1 ! — 1, Часть вторая ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ.
УСТОЙ Ч И ВОСТЬ АВТОМАТ И ЧЕСК ИХ СИСТЕМ Глава !Ч ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ а 9. ОБщие сВедения О диФФБРеициАльиых уРАВнениях 1. Дифференциальные уравнения. Геометрическая интерпретация решения. Уравнения, которые, кроме неизвестных функций одного или нескольких переменных, содержат также их производные, называются ди4лференциальными. Дифференциальные уравнения называются обыкновенными, если неизвестные функции являются функциями одного переменного, в противном случае дифференциальные уравнения называются уравнениями в часпииих производных.
В дальнейшем мы будем рассматривать только обыкновенные дифференциальные уравнения. Независимую переменную будем понимать как время, так как дифференциальные уравнения рассматриваются нами применительно к автоматическим системам, а переменные, описывающие их поведение, являются функциями времени. Соотношение вида Р(1, х, х', ..., х'"1) =О, (1) которое связывает переменную 1, неизвестную функцию х и ее производные до порядка и включительно, называется дифференциальным уравнением и-го порядка. Реитением уравнения (1) называется функция х=$(1), определенная на некотором интервале Л:-э1, которая, будучи поставлена в уравнение (1), обращает его в тождество на всем интервале Л, Соотношение (1) можно рассматривать как функцию, определяющую неявно производную и-го порядка х'"'.
При определенных условиях '1 его можно решить относительно х<"'. х!"1=)(1, х, х', ..., х<" т1). (2) К дифференциальным уравнениям приводятся многие задачи физики и техники. В качестве примера рассмотрим контур )тС, «' Смл Ф и х те и гол ь ц Г. М. Освоим математического аиалиаа, т. 1!. М., «Наука», !968, с. 187. 113 изображенный на рис. 8. На этом рисунке )с — активное сопротивление, С вЂ” емкость. Если обозначить через ~l,„(1) и ~l,и,„(1) соответственно входное и выходное напряжения, а через 1(1)— ток в контуре, то на основании второго закона Кирхгофа уравнения, описывающие изменение во времени этих величин, будут иметь вид Если продифференцировать второе уравнение по 1, определить значение тока 1(1) и подставить зто значение в первое уравнение, то получится дифференциальное уравнение СК "1'-"("+и (()=и ((). (3) Уравнение (3) является дифференциальным уравнением первого порядка; оно .связывает входную и выходную величины контура )сС.
Зная входную величину, можно, решив уравнение, определить выходную величину как функцию времени. ии Рис. 8 Рис. 9 Если в выражении (2) положить а=1, то получим уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной: х'=)'((, х).
(4) Решения такого уравнения можно изобразить на плоскости (, х в виде некоторого семейства кривых. Рассмотрим плоскость 1, х, и пусть функция 1(1, х) определена и непрерывна в некоторой области 6 этой плоскости. Пусть х=$(1) — решение уравнения (4), Тогда $(() является непрерывной н непрерывно дифференцируемой функцией' ( в области 6. На плоскости 1, х решению х=$(1) будет соответствовать вепрерывная кривая, называемая интегральной кривой.
В каждой точке области 6 функция ) (1, х) задает некоторое направление; в области 6 функция 1(1, х) определяет поле направлений (рис. 9). В этом случае задачу решения уравнения (4) можно геометрически интер претнровать следующим образом: требуется найти все кривые, касательные к которым в каждой точке совпадают с направлением поля. Функция х=$(1, С~ называется общим решением уравнения (4) в области О, если путем соответствующего выбора постоянной можно получить любую интегральную кривую, находящуюся в области б. 2. Нормальная система дифференциальных уравнений.
В дифференциальные уравнения вида (1) может входить и неизвестных функций х„..., х„. Тогда системой дифференциальных уравнений будет совокупность соотношений Р((г, х„х„..., х,, х„х„..., х, (»>и ' (>и>) х„, х'„, ..., х( У)=0 ((=1, 2, ..., и). (5) Предположим, что эту систему можно разрешить относительно старших производных х( ), ..., х( ).
В этом случае получим систему уравнений: ' ( ! ' ! ' '' ' л' '''' » ) (! = 1, 2, ..., а) Система (6) называется канонической системой дифференциальных уравнений. Вводя новые неизвестные функции, можно привести систему (6) к системе уравнений первого порядка, Пусть (т> — !) х,=хин х(=х)„..., х! = х! „..., х„= хкн » Тогда система уравнений (6) запишется в виде хи хнь х(! х(з> х»п (((1> х!!> ° ° ° > х)>л > ' ° ° > хв!> ° ° ' > х»>»») (7) (! = 1, 2, ..., и). Система (6) привелась к системе (ч' уравнений первого порядка, причем И=и)+л),+...+т„.
В дальнейшем будем рассматривать систему из и уравнений первого порядка в виде х(=1((1, х), ..., х„) ((=1, 2, ..., и) (8) Система (8) называется нормальной системой дифференциальных уравнений. Систему (8) будем записывать в векторной форме. Для этого введем вектор-функции г)(1, х„..., х„) )',(1, х„..., х„) ~(1, х)= )„(1, х„..., х„) х» Тогда система (8) может быть представлена в виде — „, =у(Е, х).
(9) Реитением системы (8) на интервале Л называется совокупность и функций х~=$~(Е), определенных на интервале Л и таких, что подстановка их в систему (8) обращает каждое уравнение этой системы в тождество на всем интервале Л. Если вектор-функция у не зависит явно от времени Е, т, е. система дифференциальных уравнений (9) имеет внд (10) то эта система уравнений называется автономной (ста1(ионарной), Важнейшей задачей в теории дифференциальных уравнений является задача Коши. Начальной задачей, или задачей Коши, для системы (8) называется следующая задача. Найти решение х;=51(Е) (1 =1, 2, ..., п) системы дифференциальных уравнений (8), определенное на некотором интервале Ь, содержащем точку Е„и удавлетворяющее условиям Ь(Ев) =хю (Е=1, 2, ..., п), (11) причем Ее, хю (Е=1, 2, ..., О Ев п) — заранее заданные числа.
Значения Е„ хш (Е = 1, Рис. 1О 2, ..., а) называются началь- ными значениями для решения $т(Е), ..., $„(Е), а условия (11) — 'начальными условиями. Если ввести в рассмотрение и+1-мерное пространство с координатами Е, х„..., х„, то совокупность а функций х,=$,(Е) будет представлять линию в этом пространстве. Начальные значения Ез, хмь ..., х„а представляют собой точку в (а+1)-мерном пространстве. Таким образом, задача Коши состоит в нахождении интегральной кривой, проходящей через заданную точку в (и + 1)-мерном пространстве.
Для случая п = 1 интегральная кривая изображена на рнс. 10. В тех случаях, когда требуется подчеркнуть зависимость решения $~(Е) 1 = 1, 2, ..., и от начальных значений йм хмь ... ..., х„а, мы будем решение записывать в виде $~(Е, Еа, хю) (1=1, 2, ..., п), Пример !. дифференциальное уравнение имеет внд к'=кз; задано начальное условие к (о) = 1.
найти решение уравнения, удовлетворяющее заданному начальному условию. !1б Разделив уравнение на хэ (при делении может быть потеряно решение х=О, но это решение не удовлепюряет начальному условию), получим уравнение с разделяющимися переменными дх!хз=Ф. Интегрируя это уравнение, найдем решение: 1 ! — — =!+с, или х= — —.
х с+С ' Учитывая начальное условие. определим постоянную интегрирования: с= — 1. 1 Решение, удовлетворяющее заданному начальному условию, будет а= —. ! в !" Интервалом Л является любой интервал (и, ()), где 1) (!. График решения приведен на рис. 11. Пример 2. Найти решение уравнения х'= — 21'х, если задано начальное условие х(!)=О. Из уравнения непосредственно следует, что хь—н .0 является одним из его решений, причем это решение удовлетворяет начальному условию. Разделив Рис. !1 Рис. 12 дифференциальное уравнение на 2 т'х, получим уравнение с разделяющимися переменными: дх/2г'х =од После интегрирования найдем )Гх =!+с. При Г=! х=0, поэтому постоянная интегрирования с= — 1 Следовательно.
искомое решение х=(! — Цз, т. е. его график является параболой с вершиной, смещенной в точку (1, 0). Заметим. что решением служит лишь правая ветвь параболы (рис. !2), так как в исходном уравнении рассматривается только положительное значение )Гх и поэтому х' ) О. В рассмотренном примере правая часть уравнения определена и непрерывна при х)0. На полуплоскости (1, х) есть точки, например точка (1, О), через которые проходит более одного решения. Такие точки называются точками неединстаанности решения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
