Чемоданов. Математические основы теории автоматического регулирования. Том 1 (952248), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Образуем таблицу (л — Л1)' (л — Л1) * ... (л — л,)-- (л — л,)' (л-л,) - ... (Л-л,»* .(Л-л,)' (л-л,)" ... (Л-л,)" 1 (64) (л — л,)" о о (л — л,)' о 1. (65) о ... (л — л,) ° о Аналогично будут выглядеть другие клетки. Стоящие в каждой из клеток многочлены взаимно просты, поэтому, согласно теореме 7, каждая клетка с помощью элементарных преобразований приведется к виду, в котором на главной диагонали все элементы, кроме последнего, единицы, а последний элемент равен произведению элементов соответствующего столбца таблицы (65), Переставим строки и столбцы полученной диагональной матрицы так, чтобы вначале следовали единицы, и отличные от единицы элементы следовали за ними в порядке следования клеток.
В результате получим диагональную матрицу вида йад[1 1 ... 1 е, е,ы ... е„), (66) где (Л вЂ” Л ) м .. (Л вЂ” Л) м (л — л,)'~~ ... (л — л,)'и е, = (Л вЂ” Л,)а (67) е„=(л — Л,) и Эта матрица и есть канонический вид матрицы Д вЂ” ЛЕ. Действительно, получили диагональную матрицу, элементы которой есть многочлены с коэффициентами при старших членах, равными единице, причем каждый последующий многочлен делится на предыдущий.
При приведении матрицы 7,— ЛЕ к каноническому виду были нужны собственные значения клеток Л„..., Л, и их порядки йы, ..., й„. Обратно, по каноническому виду матрицы .7,— ЛЕ можно составить таблицу (64) и определить собственные значения клеток и их порядок. Из подобия матриц У, и .1'„ где йп ) й;, ~ ... — й;,. Путем соответствующей перестановки строк и столбцов преобразуем диагональную матрицу так, чтобы по диагонали стояли вначале единицы, а затем клетки, образованные следующим образом: в первую клетку поместим все неединичные элементы последнего столбца таблицы, во вторую клетку— все неединичные элементы предпоследнего столбца этой таблицы и т. д. Всего получим д клеток.
Первая клетка будет иметь вид 1 О О О О О О О О Л О О Ла (Л+1Р О 1 О О О 1 О О О О О О Найти жорданову форму l матрицы А. Таблица (64) для нашего случая имеет вид [ Ле Л~ следовательно, 0'0 0'. 0 0 О!О 1 0 0 О!О 0 О 0 0;:00: — 1 1 0.:0 О! 0 — 1 Справедлива следующая теорема о приведении матриц к жордановой форме.
Теорема 9. Для всякой числовой матрицы А существует подобная ей жорданова матрица,)', т. е. существует такая невырожденная матрица С, что ./=- С-'АС. До к а з а тельство. Рассмотрим характеристическую матрицу А — ).Е. Найдем наибольшие общие делители ее миноров й„ й„..., с1, и диагональные элементы е, (Л), е,(Л), ..., е„(Л) канонической матрицы К(Л) по правилу (45) й 3 (К(Л) А — ЛЦ. Элементы е, име)от вид е,=(Л вЂ” Л,)" (Л вЂ” Ла)аа~ ...
(Л вЂ” Л,) е,=-(Л вЂ” Л,) (Л вЂ” Ле) *' ... (Л вЂ” Л,)" ~, е, О) (68) е,=(Л вЂ” Лт)"~ (Л вЂ” Ле)'~ ... (Л вЂ” Р.,) -; согласно теореме 8, следует эквивалентность их характеристических матриц. Отсюда следу~т, что канонический вид матриц .т; — ЛЕ и Ха — ЛЕ один и тот же. Следовательно, матрицы тт и 4, совпадают с точностью до порядка следования клеток. В Следствие. Матрицу А всегда лтожно привести к жордановой форме. Действительно, в силу теоремы 2 ~ 3 характеристическую матрицу А — ЛЕ всегда можно привести к каноническому виду, По каноническому виду матрицы А — ЛЕ можно составить таблицу (64), по которой всегда можно построить жорданову форму матрицы А, И Пример 2.
Задан канонический вид характеристической матрицы А где Л„..., Л,— собственные значения матрицы, я1у — кратность 1-го корня в 1-м диагональном элементе канонической матрицы (некоторые числа от могут быть нулями), Составим таблицу: (Л вЂ” ЛХ)" (Л вЂ” Лт)атх ... (Л вЂ” Лт)' (Л вЂ” Лх) и (Л вЂ” Л,) м ... (Л вЂ” Л,) 1 (л-л,)еи (л-лд" ...
(л-л1)ах В соответствии с этой таблицей составим жорданову матрицу (клетки нулевого порядка не выписываем); .г= д)аЯ|11,а„: ...:11,е„.... 31,1„...1Д! ей, где ~, а — жорданова клетка, отвечающая собственному значе- ' и нию Л, порядка й, . Можно показать, что матрица У вЂ” ЛЕ имеет каноническую матрицу равную канонической матрице (68), т. е. матрицы А — ЛЕ и з — ЛЕ эквивалентны. Следовательно, на основании теоремы 8 матрицы А и )' подобны, т.
е. /=С-ХАС, где С вЂ” некоторая невырожденная матрица. И Матрица У составлена иэ клеток Жордана, отвечающих собственным значениям матрицы А. Заметим, что одному и тому же собственному значению может соответствовать несколько клеток Жордана различного размера, если канонический,вид матрицы А — ЛЕ имеет несколько одинаковых элементарных делителей (воэможно различной кратности).
Пользуясь теорией жордановых матриц, можно доказать следующую теорему е'. Теорема Ю. Всякую квадратную матрицу А размера пхп при помощи невырожденного преобразования с матрицей Ю можно привести к почти диагональному виду Ь„... Ь „ Ь„Л ... Ь.л (69) Ьл1 Ьлх" Ллл ГдЕ В=Я 1АЮ, Л,, Л, ..., Лл — СсбСтВЕННЫЕ ЧИСЛа МатрИцЫ А, а )Ь11~(и (при тчь 1) и е — сколь угодно малое положительное число. Матрицы, записанные в жордановой форме, используются в дальнейшем при изучении систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
*'Докааательство этой теоремы см., иаиример: Демидович Б. П Лекции по математической теории устойчивости. й4., хНауках, 1967, с. 40. Глава 1Н ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ ф 7. ЕВКЛИДОВЫ И УНИТАРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 1. Определение и свойства унитарного пространства. Рассмотрим линейное пространство Р„, Каждой паре векторов этого пространства х и у поставим в соответствие комплексное число (х, у) таким образом, чтобы выполнялись условия-аксиомы: (х,у)=(у, х), 1 (1) (Хх, у)=Х(х, у), (2) где Х вЂ” произвольное комплексное число, (х,+х„у) =(х„у)+(х„у), (х, х)-» О при х~О.
(3) (4) (о, о) =-(о о, о) =о-(о, о) =о. а (5) 2, Множитель, стоящий перед вторым членом скалярного произведения, можно выносить за знак скалярного произведения как комплексно-сопряженное число, т. е. (х. РУ) =Р(х. У). (6) В самом деле, из аксиом (1) и (2) скалярного произведения следует (х, ру) = (ру, х) = р. (у, х) = р.
(х, у). И 3. Для скалярного произведения справедлив сочетательный закон, т. е. (х, у,+у,) = — (х, у,)+(х, уа). (л Действительно, из равенств (1) и (2) следует, что (», » -';»а=я»». й=~»вчч».. й=< . » )-~|, »а. ° »' Черта сверху означает комплексно-сопряженное число. 91 Число (х, у), поставленное в соответствие паре векторов х, у, будем называть скалярным произведением векторов х и у. Скалярное произведение (х, х) вектора на самого себя назы- вается скалярным квадратом вектора. Линейное пространство )г„, в котором введено скалярное произведение, называется унитар- ным пространством. Действительное унитарное пространство называется евклидсвым пространством. Рассмотрим основные свойства скалярного произведения, вытекающие из его определения. 1. Скалярный квадрат пулевого вектора равен нулю, Действительно, 4.
Знак. суммы и постоянные множители можно выносить за знак скалярного произведения, т. е. с в т Ф т ,л, Лх, )" ,р,Х;1=,'г', Х Л;рг(х!, у~). (о) Г=! !=1 Е=.! 1=! Действительно, распространяя выражение (3) по индукции на й слагаемых н используя равенство (2), получим с л м Х "" Х нсз) = Х 1 (" Х ю~) !=! 1=! 1=-! !.=-! Аналогичным образом из равенств (6) и (7) найдем 'У', Л, ~х!, ~; руу,) = '5", ~ Лу, (х!, у~).
И Е=- ! !'=1 Е=- ! !'=1 2. Длина вектора, ортогональность векторов. Пусть задано унитарное пространство У„. Длиной вектора х называется поло- жительное значение квадратного корня нз его скалярного квад- рата. Длина вектора обозначается !!х !!; !!х!!=+3/(х, х). (9) Вектор, длина которого равна единице, называется нормированным. Из свойств скалярного произведения следует, что длина век- тора равна нулю тогда и только тогда, когда этот вектор нуле- вой. Всякий ненулевой вектор можно путем умножения на неко- торое число сделать нормированным.
Пусть, например, !!а!!=-1ФО. Рассмотрим вектор: Ь= — а. 1 Покажем, что !!Ь!!=1. Следовательно, !!Ь!=+ г'(Ь, Ь) =1. Вектор х называется вектором, ортогональным вектору у, если скалярное произведение этих векторов равно нулю, т. е. х ! у, если (х, у) =О'!.
Ортогональность векторов обладает свойством симметрии, т. е. если х ( у, то и у 1 х, Действительно, если (х, у)=-О, то и (у, х)=(х, у)=-О. В Нулевой вектор ортогонален с любым вектором пространства, В самом деле (О, х) =(О О, х) =О. Обратно, если вектор х ортогонален любому вектору пространства, то х — нулевой век- тор. Действительно, в этом частном случае вектор ортогоиален самому себе, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
