Чемоданов. Математические основы теории автоматического регулирования. Том 1 (952248), страница 11
Текст из файла (страница 11)
3аметим, что векторы-столбцы в равенствах (29) отличны от рассмотренных выше векторов одностолбцовых или однострочных числовых матриц, так как ранее мы рассматривали арифметические векторы, элементы (координаты) которых являются числами, а в данном случае элементы векторов е и Т также являются векторами, Если для векторов типа (29) ввести операцию умножения, по форме аналогичную операции умножения матриц (7) и (8) $ 1, то, учитывая соотношения (28) и (29), нетрудно убедиться, что выражение Т"= Тте (~т = ечT) (зо) эквивалентно системе из и равенств (27).
Возникает вопрос, всякая лн матрица может служить матрицей перехода от одного базиса к другому? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема. Теорема 6. Если ӄ— п-мерное линейное пространство, е„ ем ..., е, — какой-нибудь базис этого простр нства, а некоторая система и векторов ~„~„..., ~„образуется по правилу Д=тие,+тие,+...+тые„(1=1, 2, ..., п), (31) пю, для того чтобы система векторов Тм Тм ..., ~„также являлась базисом пространства г'„, необходимо и достаточно, чтобы матрица перехода к новому базису (28) была невырожденной.
Лак аз а тел ь от в о. Рассмотрим векторы-столбцы е, е= с, с= (32) (33) Выполнив в последнем равенстве операцию умножения, получим тп тм .. ° тм тм ты ° ° ° тл2 Е2 !с,с, ....сл) 21 22 ! л л л =( ~ слт12'(е1+~~ счт22)ет+...+~~ вы„,~(е„=О. (34) 12=1 2=1 2=! Векторы е„ е„ ..., ел образуют (34) справедливо лишь тогда л л ~ с,т„=О, '~ с,ты=О, 2=! 2=1 т. е.
если базис, поэтому равенство ~ счтль=О, (35) с'Т' = О. (38) Матричное равенство (36) эквивалентно однородной системе линейных уравнений 211с1 + 212ст+... + тт„с = О, т,гс1+тт,с, +...+т,„ел=О, (3Л т,ло, + ттлот+... + тл„ол = О. Определитель этой системы уравнений есть де! Т'. Согласно теореме 4 3 4, в случае, если г(е1 Т=с1е1Т'ФО, система имеет единственное тривиальное решение с,=с,=--...=-ел= — О.
Следовательно, система векторов Т1, гт, ..., т„линейно независима и является базисом пространства Ч„. сл Ел Транспонированные матрицы с',е', ~' являются векторами- строками. Векторы Т! (! =1, 2, ..., и) 1!вляются элементами вектора Т" и выражаются через базис е по формуле (31). Проверим, являются ли векторы Т"„Т"„..., г"„линейно независимыми. Рассмотрим равенство с1Д+стД+...+с„Т„=О, Очевидно, что оно эквивалентно равенству с'Г= О. Заменив базис Т его значением согласно равенству (30), найдем стТте = О. Достаточность условий теоремы доказана, Докажем необходимость, Пусть система векторов 71, 7"„ ..., 7"„ образует базис пространства У„, тогда р венство с'Х=-гву2+...
...+с ~„=-О возможно лишь при условии с,=с,=-...=со=О. Заменяя вектор Х его выражением через базис е, получим с'Т'е=О. По условию теоремы, система векторов е„е„..., ел является также базисом пространства У„, поэтому последнее равенство справедливо лишь при условии с'Т'=О (см, равенство (Зб)), что эквивалентно системе линейных однородных уравнений (37).
Эта система имеет единственное тривиальное решение при условии г)е1 Т' =- 11е1 Т Ф О. И Рассмотрим п-мерное линейное пространство У„. Выберем в этом пространстве два базиса: е,, ев, ..., е и Л. Л " 7. Пусть т — матрица перехода от первого базиса ко второму: 211 212 ° ° 21л Т т21 т22 ''' т2л тл1 222 ° ° тлл Вектор х~ 1гл в обоих базисах представим в виде х = $1е1 + $2ев+... + 5„е„, х=ЬЛ+$.Л+ "+5 г'' (38) Если ввести векторы Ь Ь е, Л вЂ” е = .',,7=- 2,2, (39) Ел то очевидны следу1ощие равенства: 'Тте и ~те, вт7 ~т Тле (40) Отсюда получим формулы для определения координат вектора пространства 1'л при переходе к новому базису: 1 ~вт12=21Д1+т1Д2+...+т1Дл (1=1, 2, ..., л), (41) или в матричной форме записи или $= П,.
(42) 3 а. р. Чвлодавова, т.! 4. Подпространство и 'его свойства. Линейное многообразие. Рассмотрим некоторое линейное пространство Ыь и часть векторов этого пространства. Часть векторов линейного пространства Ы„называется линейным подпространспиом Х„если для любых векторов а, Ь еп Х. и любого числа а справедливы условия а+Ь еи Х„ аа яХ. (43) х=х,+у, где хь ~ 1'„, а у — произвольный вектор подпространства Х., т, е. линейное многообразие получается смещением линейного подпростраиства Х на вектор хь. Размерностью линейного многообразия называется размерность линейного подпространства Х„из которого оно получено. Нап риме р, пусть Ы, — трехмерное геометрическое пространство, тогда его подпространствами будут являться любые плоскости или прямые, проходящие через начало координат.
Линейными многообразиями будут плоскости или прямые, не проходящие через начало координат. Размерность подпространства и линейного многообразия в случае прямых равна единице, а в случае плоскостей равна двум. й 6. ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВ 1. Определение и основные свойства линейного преобразовании. Рассмотрим линейное п-мерное пространство Ы„. Пусть задано правило, которое ставит в соответствие произвольному вектору х пространства Ыь определенный вектору этого же пространства. В этом случае вектор х называется прообразом, а вектор у — образом вектора х. Это правило называется преобразо- Теорема 7. По отношению к алгебраическим операциям, определенным во всем пространстве Ы„, надпространство Х также образует проспгранство.
Доказательство. Проверим, удовлетворяет ли подпространство Х всем свойствам пространства. Так как Х является частью всего пространства Ы„, то свойства пространства 1, 2, 5 — 8 выполняются и в подпространстве Х. Согласно определению линейного подпространства, вектор О= Оа ~ Х; аналогично этому, вектор — а=- — 1и~Х.. Поэтому для Х выполняются и свойства 3, 4 линейного пространства.
Следовательно, все свойства простран."тва в подпространстве Х. выполняются. И Как и для линейного пространства, для линейного подпространства существует базис, определяющий его размерность. Линейным многообразием (гиперплоскостью) ХХ линейного пространства Ы„называется множество элементов х, определяемых по формуле ванием пространства У„или оператором, заданным в пространстве У„.
Преобразования (операторы) будем условно обозначать буквами аК. Л, Ь', ... Например; можно написать, что а'гХ =у. (1) Равенство (1) читается так: преобразование (оператор) а К, при- мененное к вектору х, ставит ему в соответствие вектор у. Преобразование (оператор) называется линейным преобразо- ванием (линейным оператором), если выполнены условия а-К (Х+у) = а:г х+ а ~у, а:К (Хх) = Х (а КХ), (2) (3) где 1 в произвольное число. Таким образом, линейное преобразование переводит. сумму векторов в сумму их образов, а произведение вектора на число— в произведение образа этого вектора на это же число.
Рассмотрим и-мерное векторное пространство У„ с базисом е„ е„ ..., е„, Применим к векторам базиса линейное преобразование а К, обозначив их образы соответственно ~„ А, ..., у„. Пусть а„ (й = 1, 2, ..., и) — координаты вектора ~, в базисе е, ем ..., е„, тогда можно записать: е~ =тд = аме, + а„е, +... + а„,е„, -Ке, =~2 — — а1,е, + аме2+... + а„2е„, (4) а'Ке„=у„= а,„е, + а,„е, +... + а„„е„, или у = А'"е, где А = [аи).
Разложим произвольный вектор х по векторам базиса е„ ей, х=$,е,+$,е,+ .+$„е„,. (5) где $п $„ ..., $„ — координаты вектора х в базисе е,, е„ ..., е„. К равенству (5) применим линейное преобразование а К. В силу условий (2) и (3) можно записать у= - гх= а ~ К,е,+Гае,+...+$„е„) = =$,аде,+$,аде,+...'+$„а-Ке„=$,Л+$,А+...+5п~„. (6) Объединяя равенства (б) и (4), получаем у=а Кх=$,(аме,+аме,+...+а„1е„)+ + $, (а„е, + а„е, +... + а„,е„) +... ...+$„(а,„е,+а,„е,+...+а„„е„) = =(а И+а1.И+ "+а1 ьл)е1+ +(а Ь+а Ь+ "+а.$.) еа+ " ...+(а„Д,+азЦ+...+а„~„)е„. (7) Координаты вектора у в базисе е„е„..., е„обозначим соответственно чеРез Ч„т[м ..., Ч„, т, е.
у=-Ч е +Ч.ез+...+ч.е.. (8) В силу единственности координат вектора в заданном базисе из равенств (7) и (8) имеем: Ч =ат1Ь+а Ь+ "+а1.$., Ч, = а,1з, + а,;Дз+... + а,„$„, (9) 11„= а„Д, + а„Д, +... + а„Д„. В векторной форме эти соотпошения запишутся в виде [::1 а„...
а,„~ а„, ... а„„~ (10) или (11) где под векторами х и у следует понимать арифметические векторы-столбцы. Таким образом, если вектор х имеет в базисе е„е,, ..., е„ координаты ~ы 5„,, $„, а вектор у в этом же базисе — координаты ч„ч„..., ч„, то столбец из координат вектора у получается из столбца координат вектора х по формуле (1О).
Мы показали, что линейному преобразованию (линейному оператору) ее в данном базисе можно поставить в соответствие матрицу А = [ао[, называемую матриией линейного преобразования. В этой матрице первый столбец состоит из координат образа первого базисного вектора, второй — из координат образа второго базисного вектора и т, д. Пусть теперь А = [а,[ — произвольная квадратная матрица размера и х и, В линейном пространстве г'„ размерности и определим оператор е г' формулами (1О), т. е. координаты вектора образа выразим в данном базисе е,, е„ ..., е„ через координаты вектора прообраза х с помощью формул (1О), Используя свойства матриц, нетрудно и роверить, что такой оператор линеен и каждому вектору Х ~ У„ ставит в соответствие вектор у этого же пространства.
Таким образом, формула (1О) дает общий вид линейного оператора р конечно-мерном линейном пространстве. Мы установили, что между линейными преобразованиями (линейпь.ми операторами) и матрицами в линейном пространстве г'л существует соответствие — каждому линейному преобразованию мом~ет быть поставлена в соответствие квадратная матрица и, наоборот, каждой квадратной матрице может быть поставлено в соответствие линейное преобразование, Произведением двух линейных преобразований называется последовательное преобразование вектора х сначала линейным преобразованием а К, а затем аа, Покажем, что матрица произведения линейных преобразований равна произведению матриц последовательных преобразований ВА.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
