Чемоданов. Математические основы теории автоматического регулирования. Том 1 (952248), страница 8
Текст из файла (страница 8)
каноническая матрица К для данной матрицы А единственна, мй Пример 6. Найти каноническую форму матрицы Определяем 4)1, А(2 и 4(з — наибольшие общие делители (ИОД) миноров мэтрипы А. Имеем а,=Иод(л, лз, л(л — ц, л(л+ц, О) =),, Л,=ИОД(ЛА, ЛАР, Ц, Лэ(Л+Ц, Лз(Л Ц О) 4)~=М =Л4(Л+Ц Иэ Формул (45) получим; еА=ПА=Л, е,=-.=)., ез=--=хз(Л-(-ц, отк э Лз ПЗ 4)1 ' «з каноническая форма мэтрипы А примет вид Л О О АыК=О Л О А=[ аы а12 атз аы а„ а„а„азз азэ а„ азт ам азз азэ аз можно представить а виде А-[ аы а12: а12 а14 а12 [А„,:'А ]' а„азз аэз аээ а„ а41 ан2::азз азэ азз где [а„а121 [а12 аы а„ Аы А12 =[ [а21 азэ]' [аээ азэ азэ ' Ам = [азэ аэзз), А„ = [аэз азэ азз)з: или, иначе а„а„: а12:: а,э аьз а21 а22: азз ! а24 а22 ам азз,:'азз 'азэ акз А [ Аы: 'А„'.
А121 А21: 'Азз: Азз~' А „= [а„а„1, А 1, — — аш, А 1э = [а14 аэз), А„=[ ], А„=[ ], А„=[ ]. 4Б В дальыейшем теория Л-матриц будет использована при изучении методов приведения числовых матриц к каноническому виду— жордановой форме. 4. Блочные матрицы. Матрицы, элементами которых являются также матрицы, называются блочными или клеточными матрицами. Обычную числовую матрицу, объединив отдельные элементы в блоки, можно записать в виде блочной матрицы, Такое объединение можно сделать различным способом.
Например, матрицу Елочная матрица, на главной диагонали которой расположены квадратные клетки, а остальные клетки — нули, называется кеазидиагональнаи. Очевидно, что квазидиагональная матрица квадратная. Квазидиагональная матрица имеет вид Ап'0 О!0 '0 ',:'А„"-"0"-':: 0 А= —:: --" "-"-':- - =йан[Асс:А„'...'Алл). 0:О :'0]Ал„ Например, описанная в З 6 каноническая форма Жордана имеет квазидиагональный вид. Действия над блочными матрицами производятся формально по тем же правилам, что и над обычными матрицами.
Если две матрицы А и В имеют одинаковый размер и одинаковым образом разбиты на клетки, то А+ В= [Асс)+ [Всс) = [Ас, + Всс). Пусть имеем матрицу А размера тхй и матрицу В размера йхп. Матрицу А разобьем произвольно на клетки, а матрицу В разобьем иа клетки так, чтобы их вертикальный размер в столбце совпадал с соответствующим горизонтальным размером клеток в строке матрицы А. Нетрудно проверить, что в этом случае справедливо равенство г с АВ=[а А„лл]. ь=с В частности, если матрицы А и В диагональные и разбиты на блоки одинакового размера, т.
е. А = дсая [Ап Ап , :'" '. А~ ) В = йай [Вп:.' Вм: " Влл). то АВ=йад[АпВп.'АпВп ... АллВлл), или Ал = йан[А'„; Ас~с: ° ": Алл! Можно проверить также, что если матрицы Ап, Аап ..., Алл имеют собственные значения соответственно Лп Лп Лы Ли Лап ° ° ° Лы ° ° ° Ллп Ллп ° ° Лль то квазидиагональная матрица А = дсак [Асс.:' Ап .':" Алл) имеет собственные значения Лп, Лп, ° ° °, Лсь Ллп Лза ° ° ., Лзл, Л, ° ° ° Ллп Ллп ° ° Лль Для квазидиагональной матрицы А также справедливо равенство де1 А = де1 Ап де1 А„...
де1Ал„. 46 ф 4. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ !. Основные понятия и определения. Рассмотрим систему уравнений а„х, +а„х, +...+а,„х„=Ь„ аггхг +аггхг +...+аг~х =Ь~ (1) а,х,+а„,х,+...+а„„х„=Ь . Каждое из т уравнений системы (1) содержит переменные (неизвестные) в первой степени. Такая система называется системой т линейных уравнений с и неизвестными. Решением системы (1) называется такая совокупность значений неизвестных х, = сс„ х,=а„..., х„=а„, которая при подстановке обращает все уравнения в тождества.
Если система (1) имеет хотя бы одно решение, то она называется совместной. Если система (1) не имеет ни одного решения, то она называется несовместной. Совместная система линейных уравнений называется определенной, когда она имеет только одно решение, в противном случае такая система называется неопределенной. Две или несколько систем линейных уравнений называются эквивалентными, если каждое решение одной системы является решением другой системы уравнений или каждая из этих систем несовместна. Элементарными преобразованиями системы уравнений (1) называются такие преобразования, которые состоят в выполнении следующих действий: а) перестановка двух уравнений; б) умножение обеих частей какого-либо уравнения иа число, не равное нулю; в) прибавление к одному из уравнений системы другого уравнения, умноженного на некоторое число; г) удаление из системы нулевого уравнения, т.
е. такого уравнения, у которого все агл и Ьг равны нулю. Теорема !. При элементарных преобразованиях система линейных уравнений (1) преобразуется в ей эквиволенгпную. Теорему примем без доказательства. В ее справедливости легко убедиться, выполнив элементарные преобразования системы уравнений (1) и непосредственно проверяя совпадение решений исходной и преобразованной систем уравнений. Элементарные преобразования положены в основу одного из методов решения системы линейных уравнений, называемого методом Гаусса. 2. Метод Гаусса. Пусть задана система линейных уравнений (1), Будем считать, что аггФО (в противном случае можно произвести перестановку уравнений, при этом получим эквивалентную систему).
Последовательно вычтем первое уравнение из второго, третьего и т. д. уравнений, предварительно умножив его соответственно на — ", — ", ..., — "'. Этим мы исключим х, а„' ап' '''' аг, ' из всех уравнений, начиная со второго, и получим эквивалент- ную систему уравнений аз,х,+а„х,+...+п,„х„=Ь, а,',х,+...+а;„х„= Ь;, (2) (3) атзхз + ° . + азз хз = Ь~. Далее действия над уравнениями системы (3) будем продолжать аналогично. Процесс указанных эквивалентных преобразований над системой линейных уравнений называется процессом Гаусса.
В результате преобразований возможны следующие три случая: 1. При некотором преобразовании получаем уравнение, левая часть которого равна нулю, а правая не равна нулю; это свидетельствует о несовместимости системы. 2. Система (1) сводится к треугольному виду: аззхз+аззхз+аззхз+".+аз х =-Ьы аззхз+ аззхз+ ° ° + азлхи = Ьз а,"„х,+...+а,„х„=Ь,", (4) а<" — их = Ьм — '>.
зл л з Здесь ам„-йО, азз~О, ..., а!"„-Оч~О. 3. Система (1) преобразуется к трапецеидальиому виду: амх,+аззх,+агзхз+ ..+а,„х„=Ьь аззхз + аззхз + ° ° + азпхз = Ьз, а,,х,+...+а,'„х„=Ь;, ао — мх +...+ао-' х =Ьо-п, 55 5 зз з 3 4а Р а„,х, +...+ а,',„х„= Ь;,. Если при этом появятся нулевые уравнения, т. е. равенства О = О, их отбрасывают, поэтому можно считать, что в системе (2) таких уравнений нет. Кроме того, может появиться одно или несколько уравнений, где все ан =О, а Ь, Ф 0 О = 1, 2, ..., и). Этот факт будет свидетельствовать о несовместимости системы (1).
Положим, что в системе (2) а'„,~0 (в противном случае всегда можно изменить порядок следования уравнений или перенуме- ровать неизвестные). Умножая первое уравнение этой системы на †,, ..., †, и соответственно вычитая его из третьего, зя /ИЯ четвертого и т. д.
уравнений, получим систему уравнений, экви- валентную системам (1) и (2): аззх,+аззхз+аззхз+ ..+а,„х„=Ь„ а'„х,+а,',х,+...+а,'„х„=Ь;, а,',хз+ .. + а„'„х„= Ь;, Покажем, что системз уравнений (4) определена. Решим эту систему, начиная с последнего уравнения а<"„— пх„= Ь2 — П =Ь~„" и. Имеем а'„"„пФО, поэтому х„=,"„11. Подставляя по- лученное значение х„во все уравнения системы„начиная снизу, найдем значения неизвестных х„„..., х,„Система (1) эквива- лентна системе (4), поэтому полученное решение также будет единственным решением системы (1), т. е.
она является опреде- ленной. Покажем теперь, что система, приводящаяся к трапецеидаль- ному виду, является неопределенной. Для этого в последнем уравнении системы (5) выразим х, через х„„..., х„, подставляя эти неизвестные в правую часть уравнения. Подставляя х„ вычисленное из последнего уравнения, в вышестоящие уравне- ния, последовательно найдем х, „ х,,, ..., х,.
Таким образом, неизвестные х„ х„ ..., х, мы выразили через другие (свободные) неизвестные х,+„ ..., х„. Свободным неизвестным можно придать любые значения. В результате будем иметь бесчисленное множество решений системы (5), т. е. в этом 'случае система (5), а значит, и эквивалентная ей система (1) неопределенны, Полученные результаты можно сформулировать в виде сле- дующей теоремы, Теорема 2.
Если в проиессе Гаусса появится уравнение О = Ь ~ О, то исходная система несовместна, если она приводится к тре- угольному виду, то эта система являетсл определенной, а в слу- чае приведения к трапеиеидальному виду — неопределенной, Если ввести матрицу А, составленную из коэффициентов уравнения (1), и векторы-столбцы х н Ь: ь, а„а„... аы х, Ь= Ь А а21 а22 а2 аа а„, ...а,„ то системе линейных уравнений (1) будет соответствовать более компактное по записи векторное уравнение Ах=Ь. (6) При решении системы линейных уравнений методом Гаусса удобно записывать ее в виде матрицы, составленной из коэффициентов при неизвестных и свободных членов.
В такой записи система (1) имеет вид Ь, Ь, ам ам .. а1. а 21 а22 ' ' а2~ ат1 ат2 ° ° ° а212 Матрицу, составленную из козффициентов при неизвестных системы линейных уравнений, будем-называть основной матрицей систелпк (1). Если же к основной матрице приписать справа столбец из свободных членов, то полученную матрицу назовем рааииренной матрнцей системы линейных уравнений (1). Рассмотрим несколько примеров, иллюстрирующих метод Гаусса. Пример !.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
