Чемоданов. Математические основы теории автоматического регулирования. Том 1 (952248), страница 4
Текст из файла (страница 4)
1 — 1 1+ 1 ... п1 =1 — 1; з = [)ар ... )г)з ... р1 = 1 — 1+ 1ар ... )гр ... р1= 1' — 1+1', где г'=(а(1 ... )г1з ... р1. Суммируя инверсии, найдем з+г=(+1+1' — 2, откуда 1 1)зн — ( 1)иеу)+е-з — ( 1)з+у ( 1)з' Подставляя это значение в сумму Я, получим ам ам "ат. ая! ам . аа. а„, а„ь ...
а„„ то справедливы равенства Р=апАп+ад,А!,+...+а!„Аы= ~ ауАу, у=! Р = аиАу+а,~А,~+...+аюАю — — ~ , 'ауАу. (10) (11) Доказательство. Теорема будет доказана, если удастся показать, что сумма (10) или (11) содержит все слагаемые определителя Р, взятые с их знаком, и только эти слагаемые. Выберем произвольное слагаемое а!~а„а,а ... а! па!+ги ... а,р определителя Р. По доказанной выше теореме 2 оно будет входить в произведение ауАу, притом с тем же знаком, что и в определителе Р.
В другое произведение амАо, (! Фй) это слагаемое уже не войдет, так как в противном случае в это слагаемое войдут два элемента из одной и той же строки, что невозможно. Перебирая произведения апАп, амАм, ..., а,„Аао мы учтем все члены определителя Р— тем докажем возможность разложения (10) определителя Р по элементам 1-й строки.
Аналогичным образом доказывается справедливость формулы (11) разложения определителя Р по элементам /-го столбца. ° Величину суммы произведений элементов строки определителя на алгебраические дополнения элементов другой строки устанавливает следующая теорема. Теорема 4. Сумма произведений элементов некоторой строки определителя и-го порядка на алгебраические дополнения соотвепсп!вующих элементов другой строки равна нулю, т. е.
аиАп+апА,+...+а!лАт — — 0 (!4=1, !', 1=1, 2, ..., п). (12) 3 = ъ' ( — ! )!+т ( — 1)' а; а!ьа,а ... а; и а! и„... а„„= =( — 1)!+та! Х( — 1)'а, а,а ... а! — па!+!р ... а В сумме, входящей в правую часть последнего равенства, перестановка из первых индексов не имеет инверсии, а перестановка из вторых индексов имеет У инверсий, поэтому 5 = ( — 1)!и а!~Л!~ = = ауАу. ° Следующая теорема устанавливает возможность разложения определителя по элементам строки или столбца. Теорема 3. Любой определитель можно представить в виде суммы произведений элементов какой-либо строки или столбца на соответствующие аЛгебраические дополнения, т. е. если Доказательство. Рассмотрим определитель аы а12 ..
а1„ аи а1, ... ам и/1 11/2 а„1 а„а... а„„ Кроме того, рассмотрим другой определитель Л, который полу- чается из определителя О заменой 1-й строки на 1-ю: а„а12 ... а1„ ап а„... а1„ а11 а12 ... а1„ а„1 а„2 ... а„„ Согласно свойству 4 (см. 5 2), определитель А=О. Обозначим алгебраические дополнения элементов 1-й строки определителя Л через Вол а алгебраические дополнения элементов этой же строки определителя Π— через А,, Разложим вспомогательный определитель Л по элементам его )ьй строки: Л = а11В,1+ а„Вт, +... + а1„В „= О. Но определители О и Л отличаются только 1ьй строкой, поэтому А22 = Вдь А, = Вт„.. „, А-„= Ву„.
В результате можно записать, что а11А~,+а12А,2+...+п1„А~„=О. ° Заметим, что справедлйво также равенство а12Ам+а2„А21+...+а„2А,ц — — О, (1 3) так как строки и столбцы определителя в силу свойства 1 равноправны. б. Вычисление некоторых определителей. Методы вычисления определителей разберем на примерах. Вычисление определителя с помощью понижения его порядка Вычисление определителей порядка выше третьего следует выполнять путем последовательного сведения этого определителя к низшему порядку, разлагая его по элементам какой-либо строки или столбца. Пример 5.
Вычислить определитель 1203 1241 3401 23! 2 Раэложим определитель по элементам первой строки. В соответствии с теоремой 3 имеем 241 0=1401 312 1 (12+4 — 3 14 1 121 124 — 2 3 0 1 +О 3 4 1 — 3 3 4 0 = 212232231 2 — 2) — 2 (8+3 — 24 — !) — 3 (4+36 — 32 — 6) = — !8+28 — 6= 4, Однако удобнее рээложить этот определитель по элементам не первой строки, а третьего столбца, так как третий столбец имеет два нулевых элемента. В этом случае получим 123 123  — 4341 — 112! 232341 = — 4(8+4+27 — 24 — 12 — 3) — (2+6+12 — !8 — 4 — 2) =4.
Вычисление определителя с помощью приведения его к треугольному виду Вычисление определителя упрощается, если в этом определителе элементы, расположенные по одну сторону главной диагонали, равны нулю. Такой определитель называется определителем треугольного вида. В этом случае определитель равен произведению элементов, расположенных на главной диагонали. Пример 6. Вычислить определитель !+а 1 ! 1 1 1+Ь 1. 1 1 ! 1+с 1 1 1 1 1+б Согласно свойству 7, представим определитель 0 в виде суммы: 1 1 1 ' 1 1 1+Ь 1 1 1+с 1 1 1 1+б а 0 0 0 1 1+Ь 1 1 1 1 1+с 1 ! 1 1 1+0 редставим опять в виде суммы еделитель п 1 1 1 1 0 Ь 0 О 0 0 с 0 0 0 0 а 0 0 0 1 1 1 ! 1 1 !+с 1 ! 1 1 !+Н а 0 0 0 0 Ь 0 0 1 1 1+с ! 1 ! ! 1!д В первом определителе вычтем иэ второй, третьей и четвертой строк первую, а второй опр Вынесем из второго слагаемого-определителя общий множитель первой строки, а из третьего — общий множитель первой и второй строк: 1 0 0 0 1 1 1 1 1 ! 1+с ! 1 1 1 1+о 1 0 0 0 0 1 0 О 1 1 !+с 1 ! 1 1 1+0 0=бее+о +аЬ Вычитая из третьего и четвертого столбца определителя второго слагаемого его второй столбец и раскладывая определитель третьего слагаемого на сумму двух определителей, получаем 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 с 0 1 1 1 1+И +об Вычисляя полученные определители треугольного вида, а в последнем определителе вычитая третий столбец из четвертого, получаем окончательно = бсо -1- асб+ сЬс+ пбг!+ абел.
0 = бго+ асс' -1- оЬс+ обсб + оЬ Вычисление определителей с помощью рекуррентных соотношений В некоторых случаях удобно производить вычисление определителей с помощью рекуррентных соотношений *1. С помощью этого метода можно, например, вычислить определитель вида 1 а а'...а" — ' 1 1'' 1 1 ая а' ... а"-' Я ''' Я 1 а а' ...а"-' е '' и Этот определитель называется определителем Вандермонда. Пример 7.
Вычислить определитель Вандермонда: д пЯ Л-1 а аз...оя оч и» " лп ю Рскуррснтным соогпношснисм называется формула, выража1ощая какую- либо величину, зависящую от числа л, через ту же величину при меньщем абсолютном значении и. 1000 ! ! 0 0 0=Ьс1+а ! 1 с 0 110о 1000 0100 1110 1110 ! 0 0 0 0 ! 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1+о Вычтем нз каждого столбы этого определителя, начиная со второго, преаыдущнй, умноженный на ад! 1 О О ... О 1 аз а! аз(аз — а!) ... а" (аз — а ) 1 а„— а аз(а„— а!) ... а„" э(а„— а ) Раскроем определитель У„по элементам первой строки н вынесем общие множители строк за знак определителя: а — а а (а — а!) ... а" (а — а) у„= аз а! аэ(аэ а!) " аз ("э а!) а„— а а„(а„— а) ...
а„" з(а„— а) а аа — 2 а" з аз "аз =(аз — а!) (аь — а!) ..'. (аз — а!) аз " аз (а,— ад(а,— а,) ... (а„— а,) 1' и-! Здесь 1'„,— определитель Вандермонда (н — 1)-го порядка с злементамн а,, а», ..., а„. Таким же способом, как н для У„, найдем У„,=(໠— а») (а,— аз)...
... (а„ вЂ -а,) У„ ,. Продолжая аналогнчные операннн, окончательно получаем У„(аз — а»)(аз — ад ... (а„— а!) ... (а„— а„,), т. е. Уз — Ц (а! — аэ). нэ г>э>! 6. Ранг матрицы. Обратная матрица и ее свойства. Назовем минором Й-го порядка матрицы А определитель, составленный из элементов произвольно выбранных ее й строк и й столбцов. Введем понятие ранга матрицы. Если какой-либо минор порядка г матрицы А не равен нулю, а все миноры, начиная с минора порядка г+1, равны нулю, то число г называется рангом матрицы (г = гапд А).
Будем считать ранг матрицы равным нулю, если все элементы матрицы равны нулю. Очевидно, что ранг квадратной матрицы, определитель которой не равен нулю, равен ее размеру, т, е. г=п. При вычислении ранга матрицы определение всех миноров (г+1)-го порядка может оказаться громоздким. Следующая теорема устанавливает, что возможно находить ранг матрицы, определяя не все миноры (г+1)-го порядка, а лишь окаймляющие миноры порядка г+1.
Теорема 5. Если в матрице А существует минор г-го порядки, не ровный нулю, а все миноры (г+1)-го порядка, окаймляюи(ие этот минор, равны нулю, то г — ранг матрицы. Теорему примем без доказательства. " '! Доказательство теоремы см., например: Курош Л. Г. Курс высщей алгебры. М., «Наука», 1975, с. 71 — 73. 24 Для вычисления ранга матрицы удобно воспользоваться методом окаймления: сначала найти минор г-го порядка, не равный нулю, а затем, произвольно присоединяя к нему оставшиеся строки и столбцы, вычислить окаймляющие миноры (я+ 1)-го порядка. Затем вычислить все окаймляющие миноры (я+2)-го порядка и т. д, Такие вычисления надо продолжать до тех пор, пока не будет найден минор г-го порядка, не равный нулю, а все окаймляющие его миноры (г+1)-го порядка окажутся равными нулю.
Порядок г последнего минора, не равного нулю, и будет рангом матрицы. 1 1 2 — 1 Пример а. Вычислить ранг матрицы А= 2 2 1 2 1 — 1 — 1 4 — 7 Минор первого порядка, расположенный в левом верхнем углу матрицы А, не равен нулю (1Ф.О). Окаймляющий его минор второго порядка, расположенный в верхнем левом углу матрицы, равен нулю: =О.
Добавим 12 21 к указанному минору первого порядка вторую строку и третий столбец маг- (1 2! рицы А, тогда получим окаймляющий минор ~ = — 3 ~ О. Вычислим 12 1~ окаймляющие миноры третьего порядка: 1 1 2 — 1 2 — 1 2 1 2 =О. 2 2 1=0, — 1 4 7 — 1 — 1 4 Так как имеем минор второго порядка матрицы А, не равной нулю, а все окаймляющие миноры третьего порядна равны нулю, го ранг матрицы 1 1 2 — 11 г=гапа А=гана 2 2 1 2~=-2. 1 — 1 — 1 4 — 7 Введем два новых понятия.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
